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专题7.5 利用空间向量求空间角与距离
重难点题型1 求点到点的距离
1．（24-25 高二下·江苏连云港·周测）正方体
的棱长为1，
是异面直线
与
的
公垂线段，点M 在
上且N 在
上，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】以
为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，设
，由
是异面直线
与
的公垂线段列出方程求解得
，即
可求得
的长．
【详解】以
为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
求点到点的距离
重难点题型2
求点到平面的距离
重难点题型3
求平行平面之间的距离
重难点题型4
求线线角
重难点题型5
求线面角
重难点题型6
求二面角
则
，
因为点M 在
上，点N 在
上，所以设
，
因为
是异面直线
与
的公垂线段，
所以
，即
，解得
，
所以
，
所以异面直线
与
间的距离为
，
故选：C．
2．（24-25 高二下·甘肃酒泉·期末）已知点A 的坐标是
，则
（ ）
A．5
B．6
C．
D．5
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】空间向量模长的坐标表示
【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】根据题意
.
故选：C.
3．（24-25 高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点
，
．则
的最小
值为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】空间向量模长的坐标表示
【分析】首先表示出
，再由向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号.
故选：A
4．（24-25 高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1 的正方体
中，
为线段
上一动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、空间向量模长的坐标表示
【分析】建立空间直角坐标系，设
，
，表达出
，进而
求出最小值.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
故
，
过点
作
⊥
于点
，设
，
，
则
，所以
，
显然
∽
，故
，即
，
故
，则
，
，
，
，
故当
时，
取得最小值，最小值为
故选：B
5．（24-25 高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面
所成的二面角
的大小是
，M，N 分别是AC，BF 上的动点，且
，则MN 的最小值
是
【答案】
/0.5
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、异面直线距离的向量求法
【分析】利用二面角的定义证得
就是二面角
的平面角，即为
，再利用空间向量将
的长转化为
的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解.
【详解】连接
，如下图，
由题意，
，
，正方形
中
，
正方形
中
，
平面
，
平面
，
平面
平面
，
∴
就是二面角
的平面角，则
，
∴向量
与向量
夹角为
，且
，
，
设
，
，
，则
，
且由题意
，
∴
，
，
∴
，
令
，
，
图象开口向上，且对称轴为
，
∴当
时，
取得最小值
，
即
最小值为
，
∴
的最小值是
.
故答案为：
.
6．（24-25 高二上·河南周口·月考）已知正四棱柱
的体积为4，侧面积为8，动点
分
别在线段
上，则线段
长度的最小值是 ．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算、异面直线距离的向量求法
【分析】由题意可计算出该正四棱锥底面边长及高，建立适当空间直角坐标系后可表示出
的方向
向量及
的坐标，即可表示
的方向向量，要使线段
的长度最小，则
为
的公垂线，通
过空间向量计算即可得解.
【详解】设该正四棱锥底面边长为
，高为
，
则由题意可得
，解得
，
以
为原点建立如图所示空间直角坐标系
，
则有
、
、
、
，
则
，
，
则可设
，
，
，
，
则
，
要使线段
的长度最小，则
为
的公垂线，
即有
，
解得
，符合题意，
此时
，则
.
即线段
长度的最小值
.
故答案为：
.
7．（23-24 高二下·江苏南通·期中）已知正方体
的棱长为1，
是异面直线AC 与
的
公垂线段，点
在AC 上且点
在
上，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，利用
，可求出
两点的坐标，从而可求出答案.
【详解】以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
因为点M 在
上，点N 在
上，所以设
，
，
所以
,
，
因为MN 是异面直线AC 与
的公垂线段，
所以
，即
，解得
，
所以
，
，
所以点M 是线段
上靠近点
的一个三等分点，
点N 是线段
上靠近点
的一个三等分点，
且异面直线
与
间的距离为
.
故答案为：
.
8．（24-25 高二下·江苏连云港·期中）已知
，
，且
，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示
【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出
的值，进而可求出
的坐标，结合空间向量的模长公式可
求出
的值.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，解得
.
故
，所以
，故
．
故答案为：
．
重难点题型2 求点到平面的距离
1．（24-25 高二下·江西·期末）已知经过点
的平面
的一个法向量为
，则点
到平面
的距离为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可．
【详解】
，
，又
，
点
到平面
的距离为
，
故选：B
2．（24-25 高二下·江苏·月考）若平面
的一个法向量为
且该平面过点
，则点
到
平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】求得
，利用点到面的距离公式可求点
到平面
的距离.
【详解】因为点
，点
，所以
，
又平面
的一个法向量为
，
所以点
到平面
的距离为
.
故选：B.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为
的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中点，
为棱
上的一点，且
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立空间直接坐标系，写出点坐标，利用空间坐标法求点到平面的距离即可.
【详解】
以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系
．
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量为
．
所以点
到平面
的距离为
，
故选：A
4．（2025·天津南开·二模）如图所示，体积为
的半圆柱的轴截面为平面
是圆柱底面的直径，
为底面的圆心，
为一条母线，点
为棱
的中点，且
和
的弧长为
．则三棱锥
的体积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法
【分析】建立平面直角坐标系，求出点到面的距离，利用三棱锥
的体积公式求解即可.
【详解】
设
中点为
，
中点为
，以
分别为
轴建立空间直角坐标系，如图：
由题：
，
又
弧长为
，所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
即
，令
，则
，取
，
则E 到面
距离为
，
又
，
所以三棱锥
的体积为
，
故选：C.
5．（24-25 高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，
，平面
的一个法向量
为
，则点
到平面
的距离为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可.
【详解】因为
，所以点
到平面
的距离
.
故答案为：
.
6．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱
中，△ABC 是正三角形，D 为AC 的中点，点E 在
棱
上，且
，若
，
，则点
到平面BDE 的距离为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出
，其中
是平面
的法向量，结合公式
即可运
算求解.
【详解】如图，取
的中点
，因为
平面
，
平面
，
所以
，
因为三角形
是等边三角形，点
是
中点，所以
，
所以
两两互相垂直，以点
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐
标系，
因为
，
，
，D 为AC 的中点，
所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
所以
，令
，解得
，
所以可取
，
点
到平面BDE 的距离为
.
故答案为：
.
7．（24-25 高二下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形.
平面
，
，
分别是
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）连接
交
于点
，连接
，先证明
，可得
平面
，进而求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，设
，
，利用空间向量结合题设可得
，再利用点到面的距离的
空间向量公式求解即可.
【详解】（1）连接
交
于点
，连接
，
在正方形
中，
为
的中点，
因为
为
的中点，所有
，
又
平面
，所有
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）以
为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
设
，
，则
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，
易得平面
的一个法向量为
，
则
，解得
，
则
，
，即
，
所以点
到平面
的距离为
.
8．（24-25 高三上·天津·期中）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为棱
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值；
(3)求
点到平面
的距离．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）取
的中点
，连接
，利用三角形中位线，平行四边形性质以及线面平行的判定
定理即可证明；
（2）结合已知条件建立空间直角坐标系，分别写出相应的点坐标，求出平面
和平面
的法向量，
利用向量法求解即可；
（3）在（2）的基础上利用向量法求点到面的距离即可.
【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，如图所示：
在
中，因为
，
分别是为棱
，
的中点，
所以
为
中位线，
所以
，且
，
又
，
，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
平面
，
平面
，
所以
，又
，
所以以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
，
取
的中点
，连接
，如图所示：
因为
，
，且
，
所以四边形
是边长为2 的正方形，
所以
，
因为
为棱
的中点，所以
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，
即平面
的一个法向量为
，
又
平面
，
平面
,
所以
，由
，且
，
所以
平面
，即
平面
，
所以
为平面
的一个法向量，
所以
，
所以平面
和平面
夹角的余弦值为
（3）由（2）知
，平面
的一个法向量为
，
所以
点到平面
的距离为：
，
所以
点到平面
的距离为
.
重难点题型3 求平行平面之间的距离
1．正方体
的棱长为1，则平面
与平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】证明线面垂直、求点面距离、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法
【分析】将平面
与平面
的距离转化为点
到平面
的距离，建立空间直角坐标系，，然后
用空间向量求解
【详解】由正方体的性质：
∥
,
∥
，
，
，
且
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
则两平面间的距离可转化为点B 到平面
的距离．
以
为坐标原点，
所在的直线分别为
轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
．
连接
，
由
，
，
所以
，
且
，
可知
平面
，
得平面
的一个法向量为
，
则两平面间的距离：
．
故选：D.
2．正方体
的棱长为2，
，
，
，
分别是棱
，
，
，
的中点，则平面
和平面
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】平行平面距离的向量求法
【分析】将问题转化为点
到平面
的距离，以
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，并均以1 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即
可.
【详解】以
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，并均以1 为单位
长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
，因为
四点不共线，所以
∥
，
由
面
，
面
，则
面
，
因为
，
，分别是棱
，
的中点，所以
∥
，
同理，
∥平面
，而
，
面
，
所以平面
∥平面
面
，故
平面
，
所以平面
和平面
之间的距离，就是
到平面
的距离，也就是点
到平面
的距
离．
设平面
的法向量为
，则
，不妨取
，则
，
所以点
到平面
的距离
，
即平面
和平面
之间的距离是
．
故选：B
3．（24-25 高二上·上海虹口·周测）已知
是棱长为1 的正方体，则平面
与平面
的距离为 ．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面
平面
，从而平面
与平面
的距离等于
点
到平面
的距离．求得平面
的法向量
和
，结合点到平面的距离的向量公式，即可得
解．
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
可得
，
因为
，则
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
，
所以平面
与平面
的距离等于点
到平面
的距离
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
，所以
，
又因为
，所以
．
所以平面
与平面
的距离为
．
故答案为：
．
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F 分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN 与
平面EFBD 的距离为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】平行平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN 的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点
面距，最后计算即可.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，
F(2，4，4)，N(4，2，4).
∴
=(2，2，0)，
=(2，2，0)，
=(
2，0，4)，
=(
2，0，4)，
∴
，
EF
∴
∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设
=(x，y，z)是平面AMN 的一个法向量，
则
解得
取z=1，则x=2，y=-2，得
=(2，
2，1).
平面AMN 到平面EFBD 的距离就是点B 到平面EFBD 的距离.
∵
=(0，4，0)，∴平面AMN 与平面EFBD 间的距离d=
.
故答案为：
【点睛】本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，
属基础题.
5．（23-24 高二上·内蒙古赤峰·周测）如图所示，在直三棱柱
中，
，点E 在线段
上，且
，D、F、G 分别为
的中点．
(1)求证：
平面ABD；
(2)求证：平面EGF
平面ABD；
(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
.
【难度】0.65
【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、平行平面距离的向量求法
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得
，
，再由线面垂直的判定定
理即可证得结论；
（2）同（1）可证
平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证；
（3）向量法求点F 到平面ABD 的距离，结合（2）结论即可得结果.
【详解】（1）由题设，
两两互相垂直，
以B 为坐标原点，
分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，设
，则
.
所以
，易得
，
，
所以
，
，所以
，
，
又
，且
都在平面
内，故
平面ABD.
（2）由题意知
，则
，
所以
，
，则
，
，
所以
，
，
又
且
都在平面
内，所以
平面EFG，
结合（1）知，平面EGF
平面ABD.
（3）由（1）（2）知，
，
是平面ABD 的法向量，
所以点F 到平面ABD 的距离为
，
由（2）知，平面EGF 与平面ABD 的距离等于点F 到平面ABD 的距离，
所以两平面间的距离为
.
6．设正方体
的棱长为2，求：
(1)求直线
到平面
的距离；
(2)求平面
与平面
间的距离.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法
【分析】（1）直线
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，利用向量求解可得；
（2）平面
与平面
间的距离等于点
到平面
的距离，利用向量法求解即可．
【详解】（1）以D 为原点，
为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
所以
，所以
，即
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以直线
到平面
的距离等于点
到平面
的距离．
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，又
，
所以点
到平面
的距离
.
（2）由（1）知
平面
，同理，
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
，
即平面
与平面
间的距离等于点
到平面
的距离．
由（1）知，点
到平面
的距离
.
所以平面
与平面
间的距离为
.
重难点题型4 求线线角
1．（24-25 高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱
，其中底面
是正方形，
，
，则直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】取
，分别求得
和
，将
与
分别用
表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
如图，分别取
，则
，
且
，
而
由
，
，
，
设
与
的所成角为
，
则
.
故选：A.
2．（24-25 高二下·福建厦门·期末）在正四面体
中，
，则直线
与直线
所成角的余弦
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】选取空间的一组基底
，将
，
用基底表示，结合夹角公式求解.
【详解】
，设正四面体的棱长为，
则
，
故
，又
，
直线
与直线
夹角的余弦值为
，
故选：D．
3．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱
中，
，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值.
【详解】在直三棱柱中以B 为顶点，BA 为x 轴，在平面ABC 内过点B 作垂直于AB 的直线为y 轴，
为z
轴建立空间直角坐标系如图所示：
，
，
，
设异面直线
与
所成角为
，
则
.
故选：A
4．（24-25 高二下·云南·期末）在体积为
的正四棱锥
中，
为底面
内的任
意两点，则直线
与直线
所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】正棱锥及其有关计算、异面直线夹角的向量求法
【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解.
【详解】设正四棱锥
的高为
，则
，解得
，
所以
.
由已知
，
，
，
设
，且
，又
，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
设直线
与直线
所成角为
，
所以当直线
与直线
平行或重合时，
取得最大值，最大值为
.
故选：A.
5．（24-25 高二下·上海青浦·期末）在正方体
中，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的大小为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】建系，向量法求直线夹角.
【详解】不妨设正方体棱长为2，以
点为坐标原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角
坐标系，
则
则
故答案为：
.
6．（24-25 高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥
的底面为直角梯形，
，
，
底面ABCD，且
，
，则异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解.
【详解】以A 为坐标原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
因此
，
所以异面直线AC 与PB 所成角的余弦值为
.
故答案为：
7．（24-25 高二下·江苏淮安·期中）在正四面体
中，点M 在
上，且
，则异面直线
与
所成角的余弦值为
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法
【分析】设异面面直线
与
所成角为
,将
用
，表示,代入公式计算得出答案.
【详解】设棱长均为1,
因为
，所以
，所以
，所以
.
又
.
设异面直线
与
所成角为
,
则
.
故答案为:
.
重难点题型5 求线面角
1．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，平面
平面
，底面
为直角梯形，
，
，
与
相交于点
，点
满足
，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求
的长度；
(3)若点
到平面
的距离为
，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）先利用面面垂直的性质得到线面垂直进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可
得证；
（2）通过证明
平面
，得到
，进而得到
，通过比例结合
即可求得
；
（3）以
为坐标原点，
，
，
方向分别为
轴，
轴，
轴正方向建立如图所示的空间直角坐标
系
，先分别求得
及平面
的法向量，再由求线面角正弦的方法计算即可.
【详解】（1）因为底面
为直角梯形，且
，所以
，所以，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
过点
可以作
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）可知
平面
，
平面
，所以
，
在梯形
中，由
∥
,得
，
所以
，
所以
∥
，
所以
，
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
，
可得
，
又因为
，所以
，即
.
（3）以
为坐标原点，
，
，
方向分别为
轴，
轴，
轴正方向建立如图所示的空间直角坐标
系
，
则
，
，
，设
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
令
，则
，
点
到平面
的距离为
，解得
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
设
与平面
所成角为
，
则
，即
与平面
所成角的正弦值为
.
2．（24-25 高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【难度】0.85
【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）由直棱柱的性质可得
平面
，则
，而
则由线面垂直的判定可得
平面
，则
，而
，则
平面
，再由线面垂直的性质可得结论；
（2）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】（1）证明：连接
，
因为三棱柱
为直三棱柱，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，则
，
因为在直三棱柱
中，
，所以四边形
为正方形，
所以
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
又
平面
，则
．
（2）因为直三棱柱
中，
，
所以
，
，
两两垂直，
所以以
为原点，分别以
，
，
所在的直线为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
可得
．
设
与平面
所成角为
，
所以
，
即
与平面
成角的正弦值为
，
所以
与平面
成角的余弦值为
．
3．（24-25 高二下·海南·月考）如图，在直四棱柱
中，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）取AD 中点记为E，先由直四棱柱的性质结合面面垂直的性质定理即可证得
平面
，则
平面
；
（2）以C 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求得直线
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD 为等腰梯形，
取AD 中点记为E，连接CE，
因为
所以
即四边形ABCE 为平行四边形，
所以
由于
所以
又
，
所以
即
，
因为
为直四棱柱，
所以平面
平面
，平面
平面
，
平面
,
所以
平面
，即
平面
；
（2）以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：
因为
由(1)知
，
所以
，
所以
设
是平面
的一个法向量，
则
令
，则
，
所以
，
,
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
4．（24-25 高一下·海南·期末）如图，已知三棱柱
中，侧棱与底面垂直，且
，
，M、N、P、D 分别是
、
、
、
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）由已知证明
，
，可得
，可证
平面
；
（2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面
与平面
法向量，由
向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）因为P，D 分别是
，
的中点，则
，
在三棱柱
中，则
，可得
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）由题意知三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
且
，
，
故
，∴
，
以点
为坐标原点，
，
，
所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
，故
，
则
，
，
可得
，
所以直线
平面
夹角的正弦值为
.
5．（24-25 高三下·云南丽江·周测）在三棱柱
中
.
(1)证明:平面
平面
.
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）设
为
的中点，证得
和
，利用线面垂直的判定定理，证得
平
面
，进而证得平面
平面
.
（2）以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面
和平面
的一个法向量为
，结合向量的夹角公式，即可求解；
另解：设点
到平面
的距离为，结合
，求得的值，进而求得直线
平面
成角.
【详解】（1）证明：设
为
的中点，连接
，
因为
，所以
为等边三角形，
可得
，
因为
，所以
，可得
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）解:因为
，所以
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点, 以
，
，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则
，
，
，
，
则
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
，所以
，
设直线
与平面
所成的角为
，
可得
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
另解：设点
到平面
的距离为，
为
的中点,连接
，
所以
，因为
，所以
平面
，故
，
又由
，
，
，
由
，可得
.
设直线
与平面
所成的角为
，可得
，
所以直线
平面
成角的正弦值为
.
6．（24-25 高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体
中，
，
，
为
棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法
【分析】（1）以点
为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明
，
，再
根据线面垂直的判定即可证明；
（2）由（1）得
是平面
的一个法向量，设直线
与平面
所成的角为
，则
，代入计算即可.
【详解】（1）如图，以点
为坐标原点，以
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立空间
直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
因为
，
，
所以
，
.
因为
，
平面
，
，
所以
平面
.
（2）由（1）得
是平面
的一个法向量，
.
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
故
，
则直线
与平面
所成角的正弦值为
.
7．（24-25 高二下·贵州毕节·期末）如图，四边形
中，
，
，
为
的中点，
在
上，
，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）取
的中点
，连接
，
，先由几何知识证明
，再结合线面平行即可求
解证明；
（2）以点
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法即可求解.
【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，
，
由题意得
，
.
四边形
为平行四边形，
，
.
又
，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
.
又
平面
，
平面
，
平面
（2）
，
，
四边形
为矩形.
又
平面
平面
，
，
，
.
则以点
为坐标原点，以
所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
.
则
，即
，
令
，可得
，
设求
与平面
所成角为
，
所以
.
所以
与平面
所成角的正弦值为
.
重难点题型6 求二面角
1．（24-25 高一下·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，M 是
的中点，N 是
上的一点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)若异面直线
和
所成角的余弦值为
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别计算平面
，平面
的一个法向量计算即可；
（2）利用点到平面的距离的空间向量表示计算；
（3）依据题意得到点
，然后得到平面
的一个法向量，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）由题可知：建立如图所示空间直角坐标系
又
，
所以
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，
所以
，令
，则
；
，令
，则
，
又
，所以
，所以平面
平面
.
（2）由（1）可知：
，平面
的一个法向量为
点
到平面
的距离为
.
（3）由（1）可知：
，设
，
所以
，
又异面直线
和
所成角的余弦值为
，
所以
，
所以
.
设平面
的一个法向量为
，
所以
，令
，则
，
所以二面角
的余弦值为
，
则正弦值为
.
2．（24-25 高二下·重庆·期末）如图，已知
、
均是边长为2 的等边三角形，且平面
平
面
，
为
的中点，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，
，求平面
与平面
夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用线面垂直的判定与性质，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）连接
，
∵
，
均为正三角形，
为
的中点，∴
，
，
平面
，
，∴
平面
，
平面
，∴
，
，
，
平面
，∴
平面
，
平面
，∴
.
（2）∵平面
平面
，平面
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，
故以
为原点，
，
，
分别为x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，∴
，
，且
平面
，
平面
，
平面
，
由
平面
，则
，又
，
，
平面
，∴
平面
，∴
，
设平面
的法向量为
，则
令
得
是平面
的一个法向量，
显然平面
的一个法向量为
，∴
，
故所求角为
.
3．（24-25 高二下·内蒙古包头·期末）如图，在四边形
中，
，
，
，
，
，E 是
的中点．现将
沿
翻折，使得点A 移动至平面
外的点
P．
(1)若点F 是靠近P 的四等分点，求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求平面
与平面
所成二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）先证明四边形
为平行四边形得出线线平行，进而应用线面平行判定定理证明即可；
（2）先应用面面垂直性质定理得出
平面
，再建立空间直角坐标系求出平面
与平面
的法
向量，进而应用二面角公式计算求解余弦值，最后结合同角三角函数关系求值.
【详解】（1）在线段
上取靠近点P 的四等分点G，连接
与
．
∵
且E 为
的中点，∴
．
由
和
得
及
，
则
和
．
又∵
，所以
和
，
从而
和
，所以四边形
为平行四边形，则
．
又
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）由
得
．
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
．
以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系
．
则
，
，
，
，
，
所以
，
．
设平面
的法向量为
，则
，
即
，令
，则
，
，可取
．
又
平面
，可取平面
的一个法向量为
，
则
．
设平面
与平面
所成二面角为
，则
．
所以平面
与平面
所成二面角的正弦值为
．
4．（24-25 高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
平面
，
，
分别为棱
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法
【分析】（1）以
为原点建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，再利用向量法证明即可.
（2）求出平面
的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【详解】（1）在四棱锥
中，
平面
，
，
则直线
两两垂直，以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
从而
，设平面
的法向量
，
则
，取
，得
，
又
，所以
，即
，所以
平面
；
（2）设平面
的法向量
，
，
则
，取
，得
，
于是
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
5．（24-25 高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥
中，
，点Q 为棱
上一点．
(1)用几何法证明：
平面
；
(2)当点Q 为棱
的中点时，求
①四棱锥
的体积；
②直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)当二面角
的余弦值为
时，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①
；②
；
(3)
.
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）由勾股定理证得
，再由线面垂直的判定定理即可证得.
（2）①由（1）中信息，求出点Q 到平面
的距离，再求出锥体的体积；②建立空间直角坐标系，求
出平面
的法向量
，利用线面角的向量法求解.
（3）设
，分别求出平面
和平面
的法向量
和
，利用公式
，求点
的位置.
【详解】（1）在四棱锥
中，由
，
得
，
，则
，
又
，且
平面
，所以
平面
.
（2）①在四边形
中，
，则
，而
，
则梯形
的面积
，由点Q 为棱
的中点，
得点Q 到平面
的距离为
，所以四棱锥
的体积
.
②由（1）知
两两垂直，以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，由
为棱
的中点，得
，
，设平面
的法向量
，
则
，取
，得
，设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）由（2）知
，
设
，则
，
设平面
的法向量
，则
，令
，得
，
设平面
的法向量为
，由
，令
，得
，
由二面角
的余弦值为
，得
，
即
，整理得
，解得
，
所以
．
6．（24-25 高二下·陕西西安·月考）在四棱锥
中，
平面ABCD，底面ABCD 是菱形，
，点
在线段PD 上，
平面AEC.
(1)证明：
为PD 的中点；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，求PA 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】面面角的向量求法、已知面面角求其他量、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
【分析】（1）根据线面平行的性质定理，结合中位线定理，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于
，连接OE，
因为底面ABCD 是菱形，所以
是BD 中点，
又
平面
，
平面PBD，平面
平面
，所以
，
故
为PD 中点.
（2）取
的中点
，连接
，易知
，则
平面
，
在菱形
中，易知
，由
，
，则
，
，
以
为原点，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如下图：
设
，则
，
，
，
，
由
为
的中点，则
，
取
，
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量
；
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量
，
设二面角
的平面角大小为
，则
，
即
，解得
.
