专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 基底的概念及辨析】..................................................................................................................................3
【题型2 用基底表示向量】......................................................................................................................................5
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】..............................................................................................................7
【题型4 平面向量的坐标运算】..............................................................................................................................9
【题型5 向量共线的坐标表示】............................................................................................................................11
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】...........................................................................12
1、平面向量基本定理及坐标表示
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解平面向量基本定理及
其意义
(2)掌握平面向量的正交分解
及其坐标表示
(3)会用坐标表示平面向量的
加法、减法与数乘运算
(4)理解用坐标表示的平面向
量共线的条件
2023 年天津卷：第14 题，5
分
2024 年新课标I 卷：第3
题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：
第9 题，5 分
2024 年上海卷：第5 题，4 分
2025 年全国二卷：第12 题，
5 分
平面向量是高考的重点、热点内
容，属于高考的必考内容.从近几年的
高考情况来看，平面向量基本定理、平
面向量的坐标运算是高考的热点内容，
主要以选择题、填空题的形式考查，难
度较易；有时也会与三角函数、解析几
何结合出现在综合性大题中，难度中
等.学生在高考复习中应注意加强对向
量的线性运算法则、向量共线与垂直的
条件的理解，熟记平面向量的相关公
式，灵活进行求解.
知识点
1 平面向量基本定理的探究
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量⃗a，有且只有一对实数
，使
.若
不共线，我们把{
}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量⃗a在给出基底{
}的条件下进行分解——平面内的任一向量都
可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．应用平面向量基本定理求向量的实质
应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一
般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的
形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都
是唯一的.
知识点
2 平面向量坐标运算及其解题策略
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正
交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为⃗i，⃗j，取{⃗i，⃗j}作为基底.对
于平面内的任意一个向量⃗a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得⃗a=x⃗i+y⃗j.这样，平
面内的任一向量⃗a都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量⃗a的坐标，记作⃗a=(x,y)①.其中x 叫
做⃗a在x 轴上的坐标，y 叫做⃗a在y 轴上的坐标，①叫做向量⃗a的坐标表示.
显然，⃗i=(1,0)，⃗j=(0,1)，⃗0=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
区
别
表示形
式不同
向量⃗a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A 在平面直角坐标系中的位
置，⃗a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量
的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙
述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系
向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起
点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和
（差）
的坐标表示
由于向量
，
等价于
，
，所以
，即
.同理可得
.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由⃗a=(x,y)，可得
，则
，即
.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．共线的坐标表示
(1)两向量共线的坐标表示
设
，
，其中⃗b≠0.我们知道，⃗a，⃗b共线的充要条件是存在实数λ，使⃗a=λ⃗b.如果用坐标
表示，可写为(
)=λ(
)，即
，消去λ，得
.这就是说，向量⃗
a
，⃗
b
(⃗
b
≠0)共线
的充要条件是
.
(2)三点共线的坐标表示
若A(
)，B(
)，C(
)三点共线，则有
，从而
，
即
，
或由
得到
，
或由
得到
.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C 三点共线.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐
标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】
1．若⃗a与⃗b不共线，且
，则
.
2．已知P 为线段AB 的中点，若A(
)，B(
)，则P 点坐标为
.
3．已知△ABC 的重心为G，若A(
)，B(
)，C(
)，则G
.
【题型1 基底的概念及辨析】
【例1】（2025·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量⃗e1、⃗e2，则以下四组向量中不能构成平面向量的
基底的是（ ）
A．2⃗e1+⃗e2和⃗e1−⃗e2
B． ⃗e1+3⃗e2和⃗e2+3⃗e1
C． 3⃗e1−⃗e2和2⃗e2−6⃗e1
D． ⃗e1和⃗e1+⃗e2
【答案】C
【解题思路】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
【解答过程】对A：不存在实数λ，使得2⃗e1+⃗e2= λ(⃗e1−⃗e2)，
故2⃗e1+⃗e2和⃗e1−⃗e2不共线，可作基底；
对B：不存在实数λ，使得⃗e1+3⃗e2= λ(⃗e2+3⃗e1)，
故⃗e1+3⃗e2和⃗e2+3⃗e1不共线，可作基底；
对C：对 3⃗e1−⃗e2和2⃗e2−6⃗e1，因为⃗e1,⃗e2是不共线的两个非零向量，
且存在实数−2，使得2⃗e2−6⃗e1=−2(3⃗e1−⃗e2)，
故3⃗e1−⃗e2和2⃗e2−6⃗e1共线，不可作基底；
对D：不存在实数λ，使得⃗e1= λ(⃗e1+⃗e2)，故⃗e1和⃗e1+⃗e2不共线，可作基底.
故选：C.
【变式1-1】（24-25 高一下·湖北黄冈·期中）若⃗e1，⃗e2是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，
不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．⃗e1与⃗e1−⃗e2
B．⃗e1+2⃗e2与2⃗e1+⃗e2
C．⃗e1−2⃗e2与⃗e1+2⃗e2
D．6⃗e1−3⃗e2与⃗e2−2⃗e1
【答案】D
【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.
【解答过程】因为⃗e1，⃗e2是平面内一组不共线的向量，
设⃗e1−⃗e2= λ⃗e1，无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A 选项错误；
设⃗e1+2⃗e2= λ(2⃗e1+⃗e2)，则{
λ= 1
2
2= λ)
，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B 选项错
误；
设⃗e1+2⃗e2= λ(⃗e1−2⃗e2)，则{
λ=1
2=−2 λ)，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C 选项错误；
6⃗e1−3⃗e2=−3 (⃗e2−2⃗e1)，(6⃗e1−3⃗e2)// (⃗e2−2⃗e1)，不能作为平面内所有向量的一组基底，D 选项正
确；
故选：D.
【变式1-2】（24-25 高一下·江西景德镇·期中）若{⃗e1,⃗e2)是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作
平面向量的基底的是（ ）
A．{⃗e1−⃗e2,⃗e2−2⃗e1)
B．{⃗e1−⃗e2,⃗e1−1
2⃗e2)
C．{2⃗e2−3⃗e1,6⃗e1−4⃗e2)
D．{⃗e1+⃗e2,⃗e1+3⃗e2)
【答案】C
【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可.
【解答过程】对于A，设存在唯一的实数λ使⃗e1−⃗e2= λ(⃗e2−2⃗e1)= λ⃗e2−2 λ⃗e1，
则{
−1= λ
1=−2 λ)，此方程无解，故{⃗e1−⃗e2,⃗e2−2⃗e1)能作为平面向量的基底，故A 不符合题意；
对于B，设存在唯一的实数λ使⃗e1−⃗e2= λ(⃗e1−1
2⃗e2)= λ⃗e1−1
2 λ⃗e1，
则{
1= λ
−1=−1
2 λ)
，此方程无解，故{⃗e1−⃗e2,⃗e1−1
2⃗e2)能作为平面向量的基底，故B 不符合题意；
对于C，由6⃗e1−4⃗e2=−2(2⃗e2−3⃗e1)，所以2⃗e2−3⃗e1与6⃗e1−4⃗e2共线，
故{2⃗e2−3⃗e1,6⃗e1−4⃗e2)不能作为平面向量的基底，故C 符合题意；
对于B，设存在唯一的实数λ使⃗e1+3⃗e2= λ(⃗e1+⃗e2)= λ⃗e1+ λ⃗e1，
则{
1= λ
3= λ)，此方程无解，故{⃗e1+⃗e2,⃗e1+3⃗e2)能作为平面向量的基底，故D 不符合题意.
故选：C.
【变式1-3】（24-25 高一下·河南·期中）若⃗a,⃗b是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组
基底向量的为（ ）
①⃗a−⃗b和2025⃗b−2025⃗a ②⃗a+⃗b和⃗a−⃗b
③3⃗a−2⃗b和2⃗a−3⃗b ④⃗a−3⃗b和6⃗b−2⃗a
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】B
【解题思路】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解.
【解答过程】对于①中，由⃗a−⃗b和2025⃗b−2025⃗a，可得2025⃗b−2025⃗a=−2025(⃗a−⃗b)，
所以⃗a−⃗b和2025⃗b−2025⃗a是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于②中，设⃗a+⃗b= λ(⃗a−⃗b)，可得{
λ=1
λ=−1)，方程组无解，
所以⃗a+⃗b和⃗a−⃗b不共线，可以作为一组基底向量；
对于③中，设3⃗a−2⃗b= μ(2⃗a−3⃗b)，可得{
2 μ=3
−3 μ=−2)，方程组无解，
所以3⃗a−2⃗b和2⃗a−3⃗b不共线，可以作为一组基底向量；
对于④中，设⃗a−3⃗b=m(6⃗b−2⃗a)，可得{
−2m=1
6m=−3)，解得m=−1
2
所以⃗a−3⃗b和6⃗b−2⃗a是共线向量，不能作为一组基底向量.
故选：B.
【题型2 用基底表示向量】
【例2】（2025·海南三亚·一模）已知ABCD为平行四边形，E为CD的中点，记⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗BE =
（ ）
A．⃗a+ 1
2⃗b
B．⃗a−1
2⃗b
C．−1
2⃗a+⃗b
D．−1
2⃗a−⃗b
【答案】C
【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】因为E为CD的中点，所以⃗CE = 1
2⃗CD，
所以⃗BE =⃗BC +⃗CE =⃗BC + 1
2⃗CD =⃗AD−1
2⃗AB =−1
2⃗a+⃗b.
故选：C.
【变式2-1】（2024·山东济南·二模）在△ABC中，E为边AB的中点，⃗BD = 2
3⃗BC，则⃗DE =（ ）
A．−1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
B．5
6⃗AB+ 1
3⃗AC
C．1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
D．1
6⃗AB−2
3⃗AC
【答案】D
【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.
【解答过程】因为E为边AB的中点，⃗BD = 2
3⃗BC，
所以⃗DE =⃗DB+⃗BE = 2
3⃗CB−1
2⃗AB = 2
3 (⃗AB−⃗AC)−1
2⃗AB = 1
6⃗AB−2
3⃗AC.
故选：D.
【变式2-2】（2025·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD 中，⃗AB =2⃗AE，⃗BF =2⃗BC，则⃗EF =（ ）
A．2⃗AB+ 1
2⃗AD
B．1
2⃗AB+ 1
2⃗AD
C．1
2⃗AB+2⃗AD
D．2⃗AB+2⃗AD
【答案】C
【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可.
【解答过程】
如图：⃗EF =⃗EB+⃗BF = 1
2⃗AB+2⃗AD.
故选：C.
【变式2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC =3 AD，记⃗
AB =⃗m,⃗AD =⃗n，则⃗BE =（ ）
A．−1
2⃗m+2⃗n
B．1
2⃗m+2⃗n
C．−2⃗m+ 1
2⃗n
D．−1
2⃗m+ 3
2⃗n
【答案】A
【解题思路】根据图形，利用向量的几何运算得到⃗CD =−⃗m−2⃗n，即可求解.
【解答过程】因为BC =3 AD，又⃗AB+⃗BC +⃗CD +⃗DA =⃗0，所以⃗
CD =−⃗AB−⃗BC −⃗DA =−⃗m−3⃗n+⃗n=−⃗m−2⃗n，
又E为腰CD的中点，所以⃗BE =⃗BC +⃗CE =⃗BC + 1
2⃗CD =3⃗n−1
2⃗m−⃗n=−1
2⃗m+2⃗n，
故选：A.
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】
【例3】（2025·湖南·三模）在△ABC中，点D是线段BC上一点，若⃗BD = λ⃗BC，⃗AD = 1
4⃗AB+ 3
4⃗AC，
则实数λ=（ ）
A．1
4
B．1
3
C．2
3
D．3
4
【答案】D
【解题思路】由向量的线性运算得⃗AD =(1−λ)⃗AB+ λ⃗AC，结合平面向量基本定理即可得解.
【解答过程】因为⃗BD = λ⃗BC，
所以⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ λ⃗BC =⃗AB+ λ(−⃗AB+⃗AC)=(1−λ)⃗AB+ λ⃗AC，
因为⃗AD = 1
4⃗AB+ 3
4⃗AC，所以λ= 3
4 ．
故选：D．
【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）已知在△ABC中，点D 满足4⃗DB+3⃗DC =⃗0，设⃗
AD = λ⃗AB+ μ⃗AC (λ , μ∈R)，则λ+2 μ=（ ）
A．1
B．7
5
C．10
7
D．2
【答案】C
【解题思路】由平面向量基本定理结合4⃗DB+3⃗DC =⃗0，可得⃗BD = 3
7⃗BC ,⃗CD =−4
7⃗BC，再由⃗
AD = λ⃗AB+ μ⃗AC (λ , μ∈R)，即可求出λ+2 μ的值.
【解答过程】由4⃗DB+3⃗DC =⃗0，可得⃗BD = 3
7⃗BC ,⃗CD =−4
7⃗BC，
则⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 3
7⃗BC , ⃗AD =⃗AC +⃗CD =⃗AC −4
7⃗BC ,
则2⃗AD =⃗AB+⃗AC −1
7⃗BC =⃗AB+⃗AC −1
7 (⃗AC −⃗AB)= 8
7⃗AB+ 6
7⃗AC
故⃗AD = 4
7⃗AB+ 3
7⃗AC，
所以λ+2 μ= 4
7 +2× 3
7 = 10
7
故选：C.
【变式3-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足⃗CE =2⃗EA，若⃗
AB = λ⃗AD + μ⃗BE，则λ+ μ的值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．−1
2
D．−1
4
【答案】D
【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将⃗AB用⃗AD ,⃗BE表示出来，从而可求出λ , μ，进而可求得结
果.
【解答过程】因为点D 为线段BC 的中点，点E 满足⃗CE =2⃗EA，
所以{⃗
AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC )⃗
BE =⃗AE−⃗AB = 1
3⃗AC −⃗AB)
，所以{
2⃗AD =⃗AB+⃗AC
3⃗BE =⃗AC −3⃗AB)，
消去⃗AC，得2⃗AD−3⃗BE = 4⃗AB，
所以⃗AB = 1
2⃗AD−3
4⃗BE = λ⃗AD+ μ⃗BE，
所以λ= 1
2，μ=−3
4 ，所以λ+ μ=−1
4 ．
故选：D．
【变式3-3】（2025·北京朝阳·二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD , AD =2, AB = ❑√2，点E 为线段AD的
中点，BE与AC交于点F．设⃗AF =k1⃗e1+ k2⃗e2(k1,k2∈R)，其中⃗e1,⃗e2分别是与⃗AB ,⃗AD方向相同的单位
向量，则（ ）
A．k1= 2
3 ,k2=
❑√2
3
B．k1=
❑√2
3 ,k2= 2
3
C．k1= 1
3 ,k2=
❑√2
3
D．k1= 1
3 ,k2= 2
3
【答案】B
【解题思路】利用向量的线性运算，用⃗e1,⃗e2来表示⃗AF，然后利用平面向量基本定理即可确定选项.
【解答过程】
在矩形ABCD中，因为点E 为线段AD的中点，所以AF
FC = AE
BC = 1
2 ⇒AF = 1
3 AC，
则有⃗AF = 1
3⃗AC = 1
3 (⃗AB+⃗AD)= 1
3⃗AB+ 1
3⃗AD，
因为AD =2, AB = ❑√2，⃗e1,⃗e2分别是与⃗AB ,⃗AD方向相同的单位向量,
所以⃗AD =2⃗e2,⃗AB = ❑√2⃗e1，
则⃗AF = 1
3⃗AB+ 1
3⃗AD =
❑√2
3⃗e1+ 2
3⃗e2，
又因为⃗AF =k1⃗e1+k2⃗e2(k1,k2∈R)，所以k1=
❑√2
3 ,k2= 2
3，
故选：B.
【题型4 平面向量的坐标运算】
【例4】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量⃗a=(−1,0)，⃗b=(0,1)，则⃗a+2⃗b的坐标为（ ）
A．(−1,2)
B．(−1,1)
C．(0,1)
D．(1,2)
【答案】A
【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果.
【解答过程】由⃗a=(−1,0)，⃗b=(0,1)，
则⃗a+2⃗b=(−1,0)+(0,2)=(−1,2).
故选：A.
【变式4-1】（2025·云南曲靖·二模）已知A (−2,1),B (−1,3),C (3,4)，若点D 满足⃗AB =⃗DC，则点D的
坐标为（ ）
A．(2,2)
B．(3,1)
C．(1,3)
D．(5.5)
【答案】A
【解题思路】设点D (x , y)，求出⃗AB ,⃗DC，再列出方程，即可得解.
【解答过程】设点D (x , y)，
则⃗AB =(1,2),⃗DC =(3−x ,4−y)，
又⃗AB =⃗DC，所以{
1=3−x
2= 4−y)⇒{
x =2
y =2)，
所以点D的坐标为(2,2)，
故选：A.
【变式4-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量⃗w，⃗v，⃗u在正方形网格中的位置如图所示，将⃗w绕着起
点顺时针方向旋转90
∘后得到向量⃗a，若⃗u=m⃗a−n⃗v，则m+n=（ ）
A．−7
2
B．−1
2
C．3
2
D．5
2
【答案】A
【解题思路】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可；
【解答过程】
由图可得⃗a=⃗EG，以A为原点，AC为y轴，AE为x轴建立平面直角坐标系，
设每个小正方形的边长为1，
C (0,3), A (0,0), E (3,0),B (3,1), D (3,2),G (5,−2)，
所以⃗a=(2,−2),⃗u=⃗AB =(3,1),⃗v =⃗CD =(3,−1)，
因为⃗u=m⃗a−n⃗v，即(3,1)=m(2,−2)−n(3,−1)⇒(3,1)=(2m−3n,−2m+n)，
所以{
3=2m−3n
1=−2m+n)⇒{
n=−2
m=−3
2)
，
所以m+n=−7
2.
故选：A.
【变式4-3】（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D 为平面内不同的四点，若⃗
BD =2⃗DA −3⃗DC，且⃗AC =(−2,1)，则⃗AB =（ ）
A．(4 ,−2)
B．(−4,2)
C．(6,−3)
D．(−6,3)
【答案】D
【解题思路】由已知整理可得⃗AB =3⃗AC，然后由坐标运算可得.
【解答过程】由⃗BD =2⃗DA −3⃗DC得⃗BD +⃗DA =3⃗DA −3⃗DC，即⃗BA =3⃗CA，即⃗AB =3⃗AC，
又⃗AC =(−2,1)，所以⃗AB =3⃗AC =(−6,3).
故选：D．
【题型5 向量共线的坐标表示】
【例5】（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(−1, y)，若⃗a//⃗b，则y 的值为（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．2
D．−2
【答案】D
【解题思路】利用平面向量共线的坐标表示求解即可.
【解答过程】由⃗a//⃗b，则1× y =2×(−1)，解得y =−2.
故选：D.
【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量⃗a=(0,1)，⃗b=(1,1)，若⃗a+m⃗b与⃗a−n⃗b共线，则
（ ）
A．m+n=0
B．m+n=1
C．mn=0
D．mn=1
【答案】A
【解题思路】由题意⃗a+m⃗b=(m,1+m),⃗a−n⃗b=(−n,1−n)，结合向量共线的充要条件即可求解.
【解答过程】因为向量⃗a=(0,1)，⃗b=(1,1)，所以⃗a+m⃗b=(m,1+m),⃗a−n⃗b=(−n,1−n)，
因为⃗a+m⃗b与⃗a−n⃗b共线，则m(1−n)=−n(1+m)，即m+n=0.
故选：A.
【变式5-2】（2025·广东东莞·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(2, x
2)，则“(⃗a+⃗b)//(⃗a−⃗b)”是“
x =2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用向量平行的坐标表示列方程求参数值，结合充分、必要性定义判断关系即可.
【解答过程】由题设⃗a+⃗b=(3,2+ x
2)，⃗a−⃗b=(−1,2−x
2)，
若(⃗a+⃗b)//(⃗a−⃗b)，则3(2−x
2)=−(2+ x
2)，可得x =±2，
所以“(⃗a+⃗b)//(⃗a−⃗b)”是“x =2”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式5-3】（2025·辽宁盘锦·三模）已知A (0,0)，B( λ
2,1)，C( λ ,−2)，D(2,−1)，若⃗AB与⃗DC共
线，则λ =（ ）
A．1
B．2
C．−1或2
D．−2或1
【答案】D
【解题思路】首先求出⃗AB与⃗DC的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【解答过程】因为A (0,0)，B( λ
2,1)，C( λ ,−2)，D(2,−1)，
所以⃗AB =( λ
2,1)，⃗DC =( λ−2,−1)，
又⃗AB与⃗DC共线，故−λ
2= λ−2，解得λ =−2或λ =1．
故选：D.
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】
【例6】（24-25 高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD 中⃗AB⋅⃗AD =0,∠B =30
∘，AB =2❑√3,BC =2，
点E 为BC 边上一点，且⃗AE = x⃗AB+ y⃗AD，则xy的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．[0, 1
2)
C．[0,
❑√30
2 )
D．[
1
2 ,2❑√3)
【答案】B
【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过C作CF ⊥AB，垂足为F，
因为∠B =30° ,BC =2，
所以有sin B = CF
BC ,cos B = BF
BC ⇒CF =2sin30° =1,BF =2cos30° = ❑√3，
A(0,0),B(2❑√3,0),C(❑√3,1), D(0,1)，设E(a,b)，⃗BE =m⃗BC(m∈[0,1])，
因此有(a−2❑√3,b)=m(−❑√3,1)⇒{
a−2❑√3=−❑√3m
b=m
)⇒{
a=2❑√3−❑√3m
b=m
)，
因为⃗AE = x⃗AB+ y⃗AD，
所以有(a,b)= x(2❑√3,0)+ y(0,1)=(2❑√3 x , y)⇒{
a=2❑√3 x
b= y )⇒{
x =
❑√3a
6
y =b )
，
而{
a=2❑√3−❑√3m
b=m
)，
所以xy =
❑√3
6 (2❑√3−❑√3m)m=(1−1
2 m)m=−1
2 (m−1)
2+ 1
2，
当m=1时，xy有最大值1
2，当m=0，xy 有最小值0，
所以xy的取值范围是[0, 1
2)
故选：B.
【变式6-1】（24-25 高一下·广东韶关·期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE =CD
.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AE，下列判断
正确的是（ ）
A．满足λ+ μ =2的点P必为BC的中点.
B．满足λ+ μ=1的点P有且只有一个.
C．λ+ μ的最大值为3.
D．λ+ μ的最小值不存在.
【答案】C
【解题思路】建立坐标系，讨论P∈AB，P∈BC，P∈CD，P∈AD四种情况，出λ+ μ的范围，再
判断每个选项的正误，即可得出结果.
【解答过程】如图建系，取AB =1，∵⃗AE =⃗AD +⃗DE =⃗AD−⃗AB，
∴⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AE =( λ−μ)⃗AB+ μ⃗AD =( λ−μ)(1,0)+ μ(0,1)=(λ−μ, μ)，
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，
当P∈AB时，有0≤λ−μ≤1且μ=0，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+ μ≤1，
当P∈BC时，有λ−μ=1且0≤μ≤1，则λ = μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+ μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ−μ≤1且μ=1，则μ≤λ≤μ+1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ+ μ≤3，
当P∈AD时，有λ−μ=0且0≤μ≤1，则λ = μ，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+ μ≤2，
综上，0≤λ+ μ≤3，
选项A，取λ = μ=1，满足λ+ μ=2，此时⃗AP =⃗AB+⃗AE =⃗AD，因此点P不一定是BC的中点，故A 错
误；
选项B，当点P取B点或AD的中点时，均满足λ+ μ=1，此时点P不唯一，故B 错误；
选项C，当点P取C点时，λ−μ=1且μ=1，解得λ =2，λ+ μ取得最大值为3，故C 正确；
选项D，当P取点A时，λ+ μ取得最小值0，故D 错误；
故选：C.
【变式6-2】（2024·湖南常德·一模）如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，延长CD 至E，使得
DE＝2CD．动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AE，则
λ+ μ的取值范围为 ．
【答案】[0,4)
【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论P∈AB , P∈BC , P∈CD , P∈DA四种情况，即可求
出λ+ μ的取值范围.
【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：
则B (1,0), E (−2,1)，所以⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AE =(λ−2 μ, μ)，
当P∈AB时，有{
0≤λ−2 μ≤1
μ=0
)，即0≤λ≤1, μ=0，此时λ+ μ的取值范围为[0,1)，
当P∈BC时，有{
λ−2 μ=1
0≤μ≤1 )，即1≤λ+ μ=(λ−2 μ)+3 μ=1+3 μ≤4，此时λ+ μ的取值范围为[1,4)，
当P∈CD时，有{
0≤λ−2 μ≤1
μ=1
)，即3≤λ+ μ=(λ−2 μ)+3 μ=(λ−2 μ)+3≤4，此时λ+ μ的取值范围为
[3,4)，
当P∈DA时，有{
λ−2 μ=0
0≤μ≤1 )，即0≤λ+ μ=(λ−2 μ)+3 μ=3 μ≤3，此时λ+ μ的取值范围为[0,3)，
综上所述，λ+ μ的取值范围为[0,4).
故答案为：[0,4).
【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在△ABC中，∠A =90°，AB =2，AC =3，P为△ABC内一点，且
AP =1.若⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，则2 λ+3 μ的最大值为
.
【答案】❑√2
【解题思路】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解.
【解答过程】
如图，因为∠A =90°，所以以A为坐标原点，
AB , AC方向为x , y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(0,3),
设∠PAB =θ,则θ∈[0,π
2 )，
过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则AQ =cosθ , PQ =sinθ，
所以P(cosθ ,sinθ)，
所以⃗AP =(cosθ ,sinθ),⃗AB =(2,0),⃗AC =(0,3)，
因为⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，所以(cosθ ,sinθ)=(2 λ ,3 μ)，
所以2 λ =cosθ ,3 μ=sinθ，
则2 λ+3 μ=sinθ+cosθ = ❑√2sin(θ+π
4 )，
θ∈[0,π
2 )，所以θ+π
4 ∈[
π
4 ,3π
4 )，
所以当θ+π
4 =π
2 ，即θ =π
4 时，2 λ+3 μ有最大值为❑√2，
故答案为：❑√2.
一、单选题
1．（2025·山西·二模）若{⃗e1,⃗e2)是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是
（ ）
A．{⃗e1−⃗e2,⃗e2−⃗e1)
B．{2⃗e1−⃗e2,−⃗e1+ 1
2⃗e2)
C．{⃗e1+⃗e2,⃗e1+ 4⃗e2)
D．{3⃗e1−2⃗e2,−6⃗e1+ 4⃗e2)
【答案】C
【解题思路】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可.
【解答过程】对于选项A，⃗e1−⃗e2=−(⃗e2−⃗e1)，两向量共线，不符合基底的定义，故A 错误；
对于选项B，2⃗e1−⃗e2=−2(−⃗e1+ 1
2⃗e2)，两向量共线，不符合基底的定义，故B 错误；
对于选项C，不存在实数λ，使得⃗e1+⃗e2= λ(⃗e1+ 4⃗e2)，故C 正确；
对于选项D，−6⃗e1+ 4⃗e2=−2(3⃗e1−2⃗e2)，两向量共线，不符合基底的定义，故D 错误.
故选：C.
2．（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量⃗a，⃗b满足⃗a=(1,−❑√3)，⃗b=(2, x)，若⃗a//⃗b，则x =（ ）
A．−❑√3
B．−2❑√3
C．❑√3
D．2❑√3
【答案】B
【解题思路】由向量平行坐标表示可得答案.
【解答过程】因⃗a//⃗b，⃗a=(1,−❑√3)，⃗b=(2, x)，则−2❑√3= x.
故选：B.
3．（2025·甘肃甘南·三模）△ABC中，若⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗BD =3⃗DC，则向量⃗AD可用⃗a，⃗b表示为
（ ）
A．1
4⃗a+ 3
4⃗b
B．⃗a+ 3
4⃗b
C．1
4⃗a+ 1
4⃗b
D．3
4⃗a+ 1
4⃗b
【答案】A
【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可.
【解答过程】在△ABC中，⃗BD =3⃗DC，
则⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 3
4⃗BC =⃗AB+ 3
4 (⃗AC −⃗AB)
=⃗AB+ 3
4⃗AC −3
4⃗AB = 1
4⃗AB+ 3
4⃗AC.
又因为⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，所以⃗AD = 1
4⃗a+ 3
4⃗b.
故选：A.
4．（2025·湖北·模拟预测）已知向量⃗a=(1,4),⃗b=(2, x)，若⃗b//(2⃗a+⃗b)，则x =（ ）
A．8
B．4
C．2
D．−8
【答案】A
【解题思路】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【解答过程】2⃗a+⃗b=(4,8+ x)，
由⃗b//(2⃗a+⃗b)得4 x =2(8+ x)，解得x =8．
故选：A．
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在△ABC中，⃗BM =2⃗MC , N为线段AM上一点，且⃗
AN =(1−λ)⃗AB+ λ
3⃗AC，则实数λ的值为（ ）
A．3
4
B．2
5
C．5
6
D．6
7
【答案】D
【解题思路】先利用基底⃗AB，⃗AC表示⃗AM，再设⃗AN =t⃗AM，即可构造关于λ ,t的方程组.
【解答过程】因⃗BM =2⃗MC，则⃗BM = 2
3⃗BC，
故⃗AM =⃗AB+⃗BM =⃗AB+ 2
3⃗BC =⃗AB+ 2
3 (⃗AC −⃗AB)=1
3⃗AB+ 2
3⃗AC，
因A , N , M三点共线，故设⃗AN =t⃗AM，则⃗AN = t
3⃗AB+ 2t
3⃗AC，
因⃗AN =(1−λ)⃗AB+ λ
3⃗AC，则¿，解得λ= 6
7 ．
故选：D．
6．（2025·河南·二模）在△ABC中，D 是AC 边的中点，且点M 满足⃗BD =3⃗BM，若⃗AM = λ⃗AB+ μ⃗AC
，则λ+ μ=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．5
6
【答案】D
【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【解答过程】因为⃗AM =⃗AB+⃗BM =⃗AB+ 1
3⃗BD①，⃗AM =⃗AD+⃗DM = 1
2⃗AC −2
3⃗BD②，
由①×2+②，得3⃗AM =2⃗AB+ 1
2⃗AC，所以⃗AM = 2
3⃗AB+ 1
6⃗AC，
即λ= 2
3，μ= 1
6 ，所以λ+ μ= 5
6.
故选：D.
7．（2025·河南·模拟预测）已知两个不相等的向量⃗a=(2,m+1)，⃗b=(2−4 m,1)，若⃗a//(2⃗a−⃗b)，则m=
（ ）
A．1
2
B．0
C．−1
2
D．−1
4
【答案】C
【解题思路】根据向量的坐标运算得2⃗a−⃗b=(2+ 4 m,2m+1)，然后根据向量共线的坐标运算求得m=0或
m=−1
2，再代入验证即可求解.
【解答过程】因为向量⃗a=(2,m+1)，⃗b=(2−4 m,1)，所以2⃗a−⃗b=(2+ 4 m,2m+1)，
由⃗a//(2⃗a−⃗b)得2×(2m+1)−(m+1)×(2+ 4 m)=0，即m×(1+2m)=0，
解得m=0或m=−1
2，当m=0时，⃗a=(2,1)，⃗b=(2,1)，此时⃗a=⃗b，不符合题意，
当m=−1
2时，⃗a=(2, 1
2)，⃗b=(4,1)，此时⃗a≠⃗b，符合题意.
故选：C.
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ⃗a，⃗b，⃗c 在正方形网格中的位置如图所示，若 ⃗
c = λ⃗a+ μ⃗b(λ，μ∈R)，则 λ+ μ 的值为（ ）
A．2.5
B．3
C．−2.5
D．−3
【答案】C
【解题思路】建立坐标系，然后用坐标法计算即可
【解答过程】
如图，以O 为坐标原点建立坐标系，
则⃗a=(−1,1),⃗b=(6,2),⃗c =(−1,−3)
所以(−1,−3)= λ(−1,1)+ μ(6,2)
则{
−1=−λ+6 μ
−3= λ+2 μ )，则{
λ=−2
μ=−1
2)
，则λ+ μ=−2.5.
故选：C.
二、多选题
9．（24-25 高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．⃗e1=(0,0)，⃗e2=(1,−2)
B．⃗e1=(−1,2)，⃗e2=(5,7)
C．⃗e1=(3,5)，⃗e2=(−6,10)
D．⃗e1=(2,−3)，⃗e2=(
1
2 ,−3
4)
【答案】BC
【解题思路】根据平面向量基底的定义，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A：零向量与任意向量都共线, 故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故A
错误；
对于B：(−1)×7−2×5≠0，所以⃗e1=(−1,2)，⃗e2=(5,7)不共线，所以其可以作为表示它们所在平面内所
有向量的基底，故B 正确；
对于C：3×10−5×(−6)≠0，所以⃗e1=(3,5)与⃗e2=(−6,10)不共线的，所以其可以作为它们所在平面内所
有向量的基底，故C 正确；
对于D：2×(−3
4)−(−3)× 1
2 =0，所以⃗e1=(2,−3)与⃗e2=(
1
2 ,−3
4)是共线的，故其不可以作为它们所在
平面内所有向量的基底，故D 错误.
故选：BC.
10．（24-25 高二上·湖南株洲·阶段练习）已知⃗a=(−1,2)，⃗b=(2,5)，下列选项中关于⃗a，⃗b的坐标运算正
确的是（ ）
A．⃗a+⃗b=(7,1)
B．⃗a−2⃗b=(−5,−8)
C．若⃗AB =⃗a且A (2,3)，则B (3,1)
D．2⃗a+3⃗b=(4,19)
【答案】BD
【解题思路】利用平面向量的坐标运算，逐项计算判断即得.
【解答过程】向量⃗a=(−1,2)，⃗b=(2,5)，则⃗a+⃗b=(1,7)，A 错误；⃗
a−2⃗b=(−1,2)−(4,10)=(−5,−8)，B 正确；
令O为坐标原点，则⃗OB =⃗OA +⃗AB =(2,3)+(−1,2)=(1,5)，点B(1,5)，C 错误；
2⃗a+3⃗b=(−2,4)+(6,15)=(4,19)，D 正确.
故选：BD.
11．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，⃗BC =2⃗AD，E为CD的中点，BE与AC交
于点F，BD与AC交于点G，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，则下列结论正确的是（ ）
A．⃗GD = 1
3⃗BD
B．⃗GF =⃗FC
C．⃗BE =−1
2⃗a+ 3
2⃗b
D．若⃗BF = λ⃗a+ μ⃗b，则2 λ−μ=−1
【答案】AC
【解题思路】对于A，根据条件，利用几何关系得到GD = 1
2 BG = 1
3 BD，即可判断选项A 的正误；选项
B，先假设⃗GF =⃗FC，从而可得EF // DG，与题设条件相矛盾，即可判断选项B 的正误；选项C，结合
条件，利用向量的中线公式，即可求解；选项D，法一，设⃗AF =m⃗AC，根据条件，利用向量的线性质运
算，再结合条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解.
【解答过程】对于选项A，因为⃗BC =2⃗AD，所以AD // BC，且AD = 1
2 BC，
所以GD = 1
2 BG = 1
3 BD，所以⃗GD = 1
3⃗BD，故选项A 正确，
对于选项B，若⃗GF =⃗FC，则F为CG的中点，因为E为CD的中点，
所以EF // DG，与EF , DG相交于点B矛盾，故选项B 错误，
对于选项C，因为E为CD的中点，所以⃗BE = 1
2 (⃗BC +⃗BD)= 1
2 (2⃗b+⃗b−⃗a)=−1
2⃗a+ 3
2⃗b，故选项C 正确，
对于选项D，解法一：由题意可设⃗AF =m⃗AC，m∈(0,1)，
所以⃗BF =⃗AF −⃗AB =m⃗AC −⃗AB =m(⃗AB+⃗BC)−⃗AB =(m−1) ⃗AB+m⃗BC =(m−1)⃗a+2m⃗b，
又⃗BF = λ⃗a+ μ⃗b，所以λ =m−1，μ=2m，所以2 λ−μ=2(m−1)−2m=−2，故选项D 错误，
解法二：因为A , F ,C三点共线，所以⃗BF = x⃗BA + y⃗BC，且x + y =1，
又x⃗BA + y⃗BC =−x⃗a+2 y⃗b，⃗BF = λ⃗a+ μ⃗b，所以λ =−x，μ=2 y，2 λ−μ=−2，故选项D 错误，
故选：AC.
三、填空题
12．（2025·上海崇明·二模）已知⃗a=(1,0),⃗b=(2,1)，则|⃗a+2⃗b|=
．
【答案】❑√29
【解题思路】写出⃗a+2⃗b坐标，由坐标得到|⃗a+2⃗b|.
【解答过程】⃗a+2⃗b=(5,2)，∴|⃗a+2⃗b|=
❑√5
2+2
2= ❑√29.
故答案为：❑√29.
13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量⃗a=(2,1)，⃗b=(1,k )，⃗c =(−k ,2)，若(⃗a+⃗c)//(2⃗a−⃗b)，则k =
．
【答案】5或−1
【解题思路】根据向量共线的坐标形式可求参数的值.
【解答过程】由题得⃗a+⃗c =(2−k ,3)，2⃗a−⃗b=(3,2−k )，
又(⃗a+⃗c)//(2⃗a−⃗b)，则(2−k )×(2−k )−3×3=0，解得k =5或−1．
故答案为：5或−1．
14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD =2 AB，AB⊥AD，E 是CD的中
点，若⃗AC = λ⃗BD + μ⃗AE，则λ+ μ=
.
【答案】1
【解题思路】首先用AD
→
, DC
→
将向量BD
→
, AE
→
表述出来，然后化简原等式，从而可求出λ , μ的值，从而得
到答案.
【解答过程】AC
→
= λ BD
→
+ μ AE
→
= λ(−1
2 DC
→
+ AD
→)+ μ(AD
→
+ 1
2 DC
→)=(
1
2 μ−1
2 λ)DC
→
+(λ+ μ) AD
→
，
而AC
→
= AD
→
+ DC
→
，所以{
1
2 μ−1
2 λ =1
μ+ λ =1 )
，解得{
μ= 3
2
λ =−1
2)
.
所以λ+ μ=1.
故答案为：1.
四、解答题
15．（24-25 高一下·甘肃白银·期末）如图，在△ABC中，D 是AC的中点，E 是BD的中点，设⃗BA =⃗a，⃗
BC =⃗c.
(1)用⃗a，⃗c表示向量⃗AE；
(2)若点F 在AC上，且⃗BF = 1
7⃗a+ 6
7⃗c，求AD: DF.
【答案】(1)⃗AE = 1
4⃗c−3
4⃗a
(2)7:5
【解题思路】（1）利用向量基本定理得到⃗AD = 1
2
(⃗c−⃗a)，⃗AE = 1
4⃗c−3
4⃗a；
（2）设⃗AF = λ⃗AC，所以⃗BF =(1−λ)⃗a+ λ⃗c，结合条件得到λ = 6
7 ，从而得到AD: DF =7:5.
【解答过程】（1）因为⃗AC =⃗BC −⃗BA =⃗c−⃗a，D是AC的中点，所以⃗AD = 1
2⃗AC = 1
2
(⃗c−⃗a)，
因为E是BD的中点，
所以⃗AE = 1
2 (⃗AB+⃗AD)= 1
2⃗AB+ 1
2⃗AD =−1
2⃗a+ 1
4
(⃗c−⃗a)= 1
4⃗c−3
4⃗a；
（2）设⃗AF = λ⃗AC，所以⃗BF =⃗BA +⃗AF =⃗BA + λ⃗AC =⃗a+ λ(⃗c−⃗a)=(1−λ)⃗a+ λ⃗c，
又⃗BF = 1
7⃗a+ 6
7⃗c，所以λ = 6
7 ，所以⃗AF = 6
7⃗AC，
设AC =7m，则AF =6m，又D 是AC的中点，
故AD =3.5m，DF = AF −AD =2.5m，
故AD: DF =7:5.
16．（24-25 高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量⃗a=(2,3)，⃗b=(−2,4).
(1)求向量2⃗a+3⃗b的坐标；
(2)当实数k 为何值时，k⃗a−⃗b与2⃗a+3⃗b共线.
【答案】(1)(−2,18)
(2)k =−2
3
【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解；
（2）利用向量共线的坐标关系列式求解.
【解答过程】（1）2⃗a+3⃗b=2(2,3)+3(−2,4)=(4,6)+(−6,12)=(−2,18).
（2）k⃗a−⃗b=k (2,3)−(−2,4)=(2k +2,3k −4)，2⃗a+3⃗b=(−2,18)，
∵k⃗a−⃗b与2⃗a+3⃗b共线，
∴18(2k +2)=−2(3k −4)，
解得：k =−2
3.
17．（24-25 高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形ABCD中，⃗AE =2⃗EB ,⃗DF =3⃗FB，设⃗
AB =⃗a,⃗AD =⃗b.
(1)用⃗a,⃗b表示⃗BD ,⃗AF；
(2)证明：E , F ,C三点共线.
【答案】(1)⃗BD =⃗b−⃗a，⃗AF = 3
4⃗a+ 1
4⃗b
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据题意，结合⃗BD =⃗AD−⃗AB和⃗AF =⃗AB+⃗BF =⃗AB+ 1
4⃗BD，即可求解；
（2）根据题意，求得⃗EF = 1
12⃗a+ 1
4⃗b，⃗EC = 1
3⃗a+⃗b，得到⃗EC = 4⃗EF，即可得证.
【解答过程】（1）解：由题意知，向量⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b可得⃗BD =⃗AD−⃗AB =⃗b−⃗a，
又由⃗DF =3⃗FB，可得⃗BF = 1
4⃗BD，
所以⃗AF =⃗AB+⃗BF =⃗AB+ 1
4⃗BD =⃗a+ 1
4 (⃗b−⃗a)= 3
4⃗a+ 1
4⃗b.
（2）证明：因为⃗AE =2⃗EB，可得⃗AE = 2
3⃗AB，
所以⃗EF =⃗AF −⃗AE = 3
4⃗a+ 1
4⃗b−2
3⃗a= 1
12⃗a+ 1
4⃗b，
且⃗EC =⃗EB+⃗BC = 1
3⃗a+⃗b，可得⃗EC = 4⃗EF，
所以E , F ,C三点共线.
18．（24-25 高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知A (−1,0),B (3,4)．
(1)求线段AB的中点M的坐标；
(2)若点P是线段AB的一个四等分点，点P靠近B端，求点P的坐标．
【答案】(1)(1,2)
(2)(2,3)
【解题思路】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解；
（2）由向量的分解式的坐标运算即可求解.
【解答过程】（1）⃗OM =⃗OA +⃗AM =⃗OA + 1
2⃗AB =⃗OA + 1
2 (⃗AO+⃗OB)
= 1
2⃗OA + 1
2⃗OB = 1
2
(−1,0)+ 1
2
(3,4)=(1,2)，
因为O的坐标是(0,0)，所以线段AB的中点M的坐标是(1,2)；
（2）若点P是线段AB的一个四等分点，点P靠近B端，
则点P是MB的中点，
类比第一问解析可得⃗OP = 1
2⃗OM + 1
2⃗OB = 1
2
(1,2)+ 1
2
(3,4)=(2,3)，
即点P的坐标是(2,3).
19．（24-25 高一下·上海奉贤·期中）已知A，B，C三点的坐标分别为(−1,0)，(3,−1)，(1,2)，且点E满
足⃗AE = 1
3⃗AC.
(1)求点E的坐标；
(2)若点F满足⃗BF = 1
3⃗BC，判断向量⃗EF与向量⃗AB是否共线，并证明你的结论.
【答案】(1)E(−1
3 , 2
3)
(2)共线，证明见解析
【解题思路】（1）设出点E的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【解答过程】（1）设E (x , y)，因为A (−1,0)，C (1,2)，则⃗AE =(x +1, y)，⃗AC =(2,2)，
因为⃗AE = 1
3⃗AC，所以(x +1, y)= 1
3
(2,2)，即{
x +1= 2
3
y = 2
3 )
，
解得{
x =−1
3
y = 2
3 )
，所以E(−1
3 , 2
3)；
（2）向量⃗EF与向量⃗AB共线，证明如下：
设F (x0, y0)，因为B (3,−1)，C (1,2)，
所以⃗BF =(x0−3, y0+1)，⃗BC =(−2,3)，因为⃗BF = 1
3⃗BC，
则(x0−3, y0+1)= 1
3
(−2,3)，
即{
x0−3=−2
3
y0+1=1 )
，解得{
x0= 7
3
y0=0)
，所以F(
7
3 ,0)，
所以⃗EF =(
8
3 ,−2
3)，⃗AB =(4 ,−1)，所以⃗EF = 2
3⃗AB，故⃗EF与⃗AB共线.
