文档文本内容
单元集训卷01 集合、常用逻辑用语、不等式
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
，则
的元素个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合
，再由交集的定义可得.
【详解】由
得
，即
，
又因为
，所以
，即
.
由
，解得
，所以
.
因此，
，所以
的元素个数为
.
2．设
，
，则
是
的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断.
【详解】充分性：若
，由不等式的性质可知
成立，
必要性：若
成立，但
不一定成立，
例如：
，
成立，但不满足
，
所以
是
的充分不必要条件.
3．已知命题
∶
，
，则命题
的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可.
【详解】命题
的否定形式为：
，
.
4．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解.
【详解】将不等式
移项得
，通分得
，即
，
等价于
，解得
，故C 正确.
5．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15 元，若按每盏台灯15 元的价格销售，每天能卖出30 盏，若售
价每提高1 元，则日销售量将减少2 盏，为了使这批台灯每天获得400 元以上（不含400 元）的销售收入，则这批
台灯的销售价格
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知得到销售收入
且
，再由
求范围.
【详解】由题设，销售收入
且
，
为了使这批台灯每天获得400 元以上（不含400 元）的销售收入，则
，
所以
，可得
，
综上，
.
故选：C
6．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果
【详解】根据题意当
时，解得
当
时，不等式
恒成立，符合题意；
当
，不等式
，不符合题意；
当
，
的不等式
的解集为
，
所以
，解得
综上所述，
.
7．已知函数
在区间
内有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】函数在区间
上有两个零点，即函数在
上与x 轴有两个交点，则需要满足
，根据二
次函数图像列出不等式即可求解.
【详解】由函数
在区间
内有两个零点，得到函数在
上与x 轴有两个交点，
所以
，即{
(a−1)
2−4>0
0<1−a<4
1>0
4 +2(a−1)+1>0)
，
整理得{
a
2−2a−3>0
−3<a<1
2a+3>0 )
，解得
所以则
的取值范围为
.
故选：A.
8．已知
，
，且
若关于
，
的不等式
恒成立，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件
，将其转化为关于
的函数，再通过均值不等式求
函数的最值来确定实数
的取值范围.
【详解】令
，则
代入
得
，
将
代入原不等式，得
，
两边同时除以
，得
，
把
代入，得
，
即
，
由均值不等式可得，
，当且仅当
，即
时等号成立，
，
恒成立，
故实数
的取值范围为
.
故选：
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
，
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可.
【详解】对于A：
，
，则
，故
，A 正确.
对于B：当
，
，
，
时，
，故B 错误.
对于 C：因为
，所以
，所以
，C 正确.
对于D：当
，
，
，
时，
，
，故
，D 错误.
10．（多选）已知函数
，则
的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先求解
的解集，充分不必要条件对应的集合是该解集的真子集，据此逐一判断选项即可。
【详解】
即为
，故
或
.
设
，则充分不必要条件对应的集合应为
的真子集，
4 个选项中只有BD 对应的集合为
的真子集.
11．已知
，
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
的最大值为1
B．
的最小值为1
C．
的最小值为4
D．若
，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用
和基本不等式
即可判断C；将
拆分成
，再利用基本不等式即可判断D，
【详解】对于A，已知
，
，由基本不等式有
，
两边平方得
，当且仅当
，即
，
时等号成立，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
由基本不等式有
，
当且仅当
，即
时等号成立，
因为
，所以
，故B 错误；
对于C，已知
，
，由
可得
，
当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对于D，已知
，
，
，则
，
，
，
由基本不等式有
，
当且仅当
，即
时等号成立，
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
当且仅当
，
，即
，
时等号成立，故D 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
，则
的取值范围为______
【答案】
【分析】利用不等式待定系数配凑求解
【详解】设
展开得
对比系数列方程得
，解得
所以
因为
，
所以
，即
，两不等式相加得
，即
13．当
时，则
的最小值是______.
【答案】
【分析】将函数变形成
，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以函数
的最小值为
.
14．若存在
，使不等式
成立，则a 的取值范围是______．
【答案】
【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为
的形式，只需
即可.
【详解】因为
，所以
.
又因为
，所以
，所以
，
设
，其中
，则
.
设
，则
转化为
，
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，
所以存在
，使不等式
成立时，只需
，
故
的取值范围是
，
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值集合；
(3)若
中有3 个整数，求实数
的取值集合；
(4)若
，求实数
的取值集合；
(5)若
，求实数
的取值取值集合；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）略
（2）略
（3）根据区间长度得
，解得
，接下来再分
，
，
和
，
根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解；
（4）根据集合的包含关系确定参数范围；
（5）根据集合的包含关系确定参数范围.
【详解】（1）因为
，
，所以
.
（2）因为
，
若
，则
，解得
，
所以实数
的取值集合为
.
（3）因为
，
中有3 个整数，
所以
，解得
，
当
时，
，符合题意，
当
时，
，
若
中有3 个整数，则
，即
，
此时集合
中的整数为
，符合题意；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，
若
中有3 个整数，则
，即
，
此时集合
中的整数为
，符合题意；
综上所述，实数
的取值集合为
.
（4）当
时，如图，此时
．
则
，即
，因此
的取值集合为
．
（5）当
时，如图，
此时
，解得
，此时无解；
当
时，由
，解得
．
综上可得：
的取值集合为
．
16．已知集合
，集合
，其中
．
(1)当
时，求
；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；
(3)设命题p：
，使得
．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【详解】（1）解不等式
，得
．
当
时，
，故
．
因此
．
（2）“
”是“
”的必要不充分条件
．
由题意得：
，列不等式组：
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
．
（3）由
，解得
或
，
命题p 为真
或
，
即
或
得：
或
．
17．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入
万元，则该材料的销售量可增加
吨，每吨的销售价格为
万元，另外生产
吨该材料还需要投入其他成本
万元.
(1)求出该公司本季度增加的利润
（单位:万元）与
之间的函数关系式.
(2)若要追加的总成本不超过3 万元，求
的取值范围.
(3)当
为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？
【答案】(1)
；
(2)
的取值范围为
；
(3)当
为5 万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大
万元.
【分析】（1）由题意知，增加的利润
增加的产量售价
追加投入
投入的其他成本；（2）由题意知，追加的
总成本
追加投入
投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基
本不等式求解.
【详解】（1）由题知
，
又
，解得
，
所以
.
（2）由题知追加的总成本
，
整理得
，解得
，
又
，所以
的取值范围为
.
（3）由
知
，令
，则
，
代入函数解析式得
，
当且仅当
时，等号成立，
此时
，
.
故当
为5 万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大
万元.
18．设
．
(1)若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
．
【答案】(1)
(2)当
时，解集为
；
时，解集为
；当
时，解集为
【分析】（1）将问题转化为
对一切实数
恒成立，再分
和
两种情况讨论求解即可；
（2）将问题转化为
，再分
，
，
三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）解：因为
对一切实数
恒成立，
所以
对一切实数
恒成立，
所以，当
时，
，不满足成立；
当
时，需满足
，即
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
（2）解：
，
，
因为
的实数根为
，
所以，当
，即
时，
的解集为
；
当
，即
时，
的解集为
；
当
，即
时，
的解集为
.
综上，
时，解集为
；
时，解集为
；当
时，解集为
.
19．记关于
的不等式
的解集为
.
(1)①若
或
，求实数a，b 的值；
②当
且满足
时，
恒成立，求
的取值范围；
(2)求关于
的不等式
的解集.
【答案】(1)①
；②
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）①由题可得1 为方程
的根，据此可得答案；②由①结合基本不等式可得
答案；
(2)分类讨论
的不同取值，解不等式可得答案.
【详解】（1）①由题可得1 为方程
的根，
则
.
则不等式可化为：
，
解得
或
，即
；
②由①可得，
，
恒成立
.
而
，当且仅当
，
即
时取等号，
则
.
（2）对于
，
当
，原不等式化为：
；
当
，
.
若
，
.
若
，则
，则不等式解集为：
；
若
，原不等式化为：
，解集为：
；
若
，则
，则不等式解集为：
；
若
，
，
因
，则不等式解集为：
或
.
综上，
时，解集为
或
；
，解集为：
；
若
，解集为
；若
，解集为
；
若
，解集为：
.
