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专题6.3 等比数列及前n 项和
重难点题型1 等比数列基本量的求解
1．（2025·海南·模拟预测）已知
为各项均为整数的等比数列，且
，记
为
的
前
项和，则
（ ）
A．43
B．85
C．110
D．127
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n 项和
【分析】首先根据已知条件求出等比数列
的首项和公比，然后根据等比数列的前
项和公式求出
.
【详解】根据题意，已知
，且各项均为整数，
得到
，
解得
．则
．
故
．
故选：A．
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
等比数列基本量的求解
重难点题型2
等比数列的性质及应用
重难点题型3
等比数列的前n 项和的性质及应用
重难点题型4
等比数列的判断及证明
重难点题型5
等差与等比数列综合
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列
中，
且
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．7
B．11
C．18
D．1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用
【分析】由题设结合等差数列通项公式与等比中项的应用列式求出公差d，并得到通项公式即可求解．
【详解】设正项等差数列
公差为
，
又
，所以
，
，
因为
，
，
成等比数列，
所以
，则
，解得
或
（舍去），
则
，故
．
故选：A
3．（2025·云南保山·一模）若
、、
、成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等比中项的应用
【分析】根据等比中项的概念可得结果．
【详解】因为
、、
、成等比数列，根据等比中项的概念可得，
．
故选：C.
4．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n 项和的基本量计算
【分析】应用
，再结合等比数列基本量运算计算求解.
【详解】因为
，则
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
或
舍，
所以
.
故选：C.
5．（2025·北京西城·模拟预测）设
是等比数列，
，
，则
．
【答案】16
【难度】0.94
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】利用等比数列的性质求解即可.
【详解】因为
是等比数列，
所以
，
又
，所以
.
故答案为：16.
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）等比数列
的公比为2，若
，
成等差数列，设
为
的前
项和，则
．
【答案】62
【难度】0.85
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n 项和
【分析】根据等差中项的性质以及等比数列的通项，建立方程，结合等比数列求和公式，可得答案.
【详解】因为
，
成等差数列，
所以
，则
，解得
，
则
.
故答案为：62.
7．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列
满足
，
，
，
成等差数列，则其公比为
.
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等差中项公式和等比数列通项公式直接计算即可求解.
【详解】设
的公比为
，
又因为
，
，
成等差数列，
所以
，可得
，解得
或
（舍去）.
故答案为：3.
8．（2024·四川攀枝花·一模）已知等比数列
满足
，且
，则
．
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】
，其中为公比.
因为
，又
，
，
代入条件得：
，化简得：
，
两边除以
（假设
且
）得：
，即
.
又因为
，
，
，
代入条件得：
，
提取公因子得：
，代入
得：
，
化简得：
，解得：
，
.
故答案为： 8.
重难点题型2 等比数列的性质及应用
1．（2025·安徽安庆·二模）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
与
的等差中项为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列
前n 项和
【分析】由等比数列的性质可得出
的值，结合已知条件求出
的值，可求出
、
的值，再结合等比数
列的求和公式可求得
的值.
【详解】因为等比数列
的前
项和为
，设其公比为
，
由已知
，故
，所以
，
，则
，
故
，所以，
，故
.
故选：D.
2．（2023·四川成都·一模）在等比数列
中，
是方程
两根，若
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】根据等比数列性质可得
,再由根与系数的关系计算可得结果.
【详解】由
是方程
两根可得
，
由等比数列性质可得
，解得
或
（舍）；
所以
.
故选：D
3．（2025·山东烟台·一模）已知等比数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．15
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n 项和
【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解.
【详解】由等比数列
性质可知，
，
又
，解得
或
，
当
时，
，
所以
，故
，
当
时，
，
所以
，故
，
综上，
，
故选：D
4．（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列
满足对任意的正整数m，n 都有
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用
【分析】对于
，取
，得到数列
是首项为
，公比为
的等比数列，从而求得
，
再根据
即可得解．
【详解】解法一 对于
，取
，得
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，则
，得
，
所以
，
解法二 对于
，取
，得
，又
，
所以
，则
．
故选：B
5．（2025·河北张家口·三模）已知等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n 项和
【分析】由等比数列的性质结合题意可得
，再由等比数列的性质化简计算式可得答案.
【详解】由
可得
，
若
，则与
矛盾，
所以
，
则
.
故答案为：
.
6．（2025·云南曲靖·二模）已知
是公比不为1 的等比数列，将
调整顺序后可构成一个等差数列，
则满足条件的一组
的值依次为 （用数字作答）.
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、等比数列子数列性质及应用
【分析】设等比数列的公比为
，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建
立等量关系求得
的值，令
可得结果.
【详解】设等比数列
的公比为
，则等比数列为
，
不妨设调整顺序后的等差数列为
，则
，
∵
，∴
，解得
或
（舍），
令
，则
，
，
∴满足条件的一组
的值依次为
.
故答案为：
（答案不唯一）.
7．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列
的前
项和为
是等比数列，若
，且
，则
的最小值为 .
【答案】5
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n 项和、等比数列下标和性质及应用
【分析】根据题意结合等差数列分析可知
，进而可得
，再结合等比数列性质可得
，即可
得结果.
【详解】设等差数列的公差为
，
因为
，可知
，
且
，则
，即
，
所以
；
又因为
是等比数列，且
，则
，
显然
，可得
，
则
，所以最小值为5.
故答案为：5.
8．（2023·江西·一模）已知等比数列
满足：
，
，则
的值
为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】利用等比数列得性质得出
，再将所求式子通分代入即可求得.
【详解】因为
为等比数列，所以
，
故答案为：10
重难点题型3 等比数列的前n 项和的性质及应用
1．（2025·江西赣州·二模）设等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．7
C．63
D．7 或63
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列片段和的性质有
求
，注意验证结果.
【详解】由等比数列片段和的性质知，
、
、
成等比数列，
所以
，则
，
所以
，则
或
，
等比数列
的公比为
，
若
时，则
，而
，显然等式不成立；
若
时，则
，满足题设；
所以
.
故选：B
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．40
B．-30
C．30
D．-30 或40
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n 项和、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解.
【详解】因为
，且
，
所以
，
，故
，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
由等比数列性质可知，
成等比数列，公比为
所以
，解得
，
故选：A
3．（2025·福建龙岩·二模）（多选题）已知数列
的前
项和为
，则（ ）
A．若
是等差数列，则
，
，
成等差数列
B．若
是等比数列，则
，
，
成等比数列
C．若
，且
，则存在数列
，使得
D．若
，且
，则存在
，使得
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等差数列的定义和性质分析判断A；举例判断BC；根据数列特征及项的奇偶性判断D.
【详解】对于选项A：
是等差数列，设其公差为d，
因为
，
，
则
所以
，
，
，
成等差数列，故A 正确；
对于选项B：例如
，则
，
可得
，
，
不成等比数列，故B 错误；
对于选项C：例如周期数列
，满足
，且
，
此时
，故C 正确；
对于选项D：因为
，且
，所以该数列的项奇偶交替，且为整数，
而前
项包含
个奇数，
个偶数，这些项的和为奇数，而
为偶数，矛盾，
故D 错误；
故选：AC
4．（2023·辽宁·三模）（多选题）已知数列
的前n 项和是
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
是等差数列
B．若
，
，则
是等比数列
C．若
是等差数列，则
，
，
成等差数列
D．若
是等比数列，则
，
，
成等比数列
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】等差数列片段和的性质及应用、由递推关系证明等比数列、等比数列片段和性质及应用、利用
an 与sn 关系求通项或项
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n 项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D 作
答.
【详解】对于A，
，
时，
，解得
，因此
，
，
是
等差数列，A 正确；
对于B，
，
，则
，而
，
是等比数列，B 正确；
对于C，设等差数列
的公差为
，首项是
，
，
，
因此
，则
，
成等差数列，C 正确；
对于D，若等比数列
的公比
，则
不成等比数列，D 错误.
故选：ABC
5．（2023·河北沧州·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
.
【答案】510
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n 项和、等比数列片段和性质及应用
【分析】利用等比数列的性质：
，
，
，…构成等比数列，再利用条件即可求出结果.
【详解】因为数列
为等比数列，由等比数列的性质知，
，
，
，…，
，…构成首项为
，公比为
的等比数列，且
是该等比数列的前8 项和，
所以
.
故答案为：510.
6．设正项等比数列
的前
项和为
，且
，则公比
.
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】利用变形求得
，利用等比数列的性质可以得到
，结合等比数列{an}为正项
数列，进而求出公比。
【详解】由
，得
.
又正项等比数列
的前
项和为
，故
，
∴
，
∵数列{an}是等比数列，
∴
故
，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以
，故
故答案为：
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列
中，
，
，设
.
(1)证明数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，将数列
和数列
的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
，求数
列
的前50 项和
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求等差数列前n 项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n 项和、构造法求数列通项
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式.
（2）由（1）确定数列
前50 项中数列
的项数，再利用分组求和法求解.
【详解】（1）由
，
，得
，则
，
即
，又
，于是
，而
，
所以数列
为首项为3 公比为3 的等比数列，
.
（2）由（1）知
，数列
，
都是递增数列，
，即
，
因此数列
的前50 项包含
中的前46 项与
中的前4 项，
所以
.
8．（2025·河南·模拟预测）已知数列
和
满足
是等比数列，
是等差数列.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求
和
的通项公式；
(3)求
的前
项和
.
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)
.
【难度】0.85
【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n 项和、写出等比数列的通项公式、利用定义求等差数列
通项公式
【分析】（1）根据已知求
、
的基本量，再由等比、等差数列的定义写出通项公式；
（2）由（1）所得通项公式求
和
的通项公式；
（3）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n 项和公式求
.
【详解】（1）由
，
因为
是等比数列，
则公比为
，所以
，
因为
是等差数列，
则公差为
，所以
.
（2）由（1）得
，
则
.
（3）由（2）有
.
重难点题型4 等比数列的判断及证明
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列
中，
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式；
(3)令
，证明:
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求得数列
的通项公式，再求
即得；
（3）将（2）中得到的
的通项代入
求得
，化简后利用数列的单调性即可得证.
【详解】（1）由
得
，
则
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）得
,
解得：
.
（3）
令
，
，
因为
在
上单调递增，则
所以数列
在
上单调递减，从而数列
在
上单调递增，且
，
故得
.
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列
满足
，
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)设
，证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和
【分析】（1）对
取倒数，整理得
，变形得
，然后利用等比
数列定义即可证明；
（2）先利用等比数列通项公式求得
，然后利用裂项相消法求和，再利用数列的符号得范围即可.
【详解】（1）因为
，
，则
，
，…
以此类推可知，对任意的
，
，
由已知得
，即
，
所以
，且
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）知，
，
，
，
.
3．（2024·新疆喀什·三模）已知数列
的首项
，且满足
（
）．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，求数列
的前
项和
，并证明
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
，证明见解析
【难度】0.85
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和
【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，
（2）由裂项相消法求和，即可求解
,根据单调性，即可求证.
【详解】（1）由
得
，
又
，所以
是首项为2，公比为2 的等比数列．
（2）由（1）知，
，所以
所以
，
当
时，
单调递增，故
．
4．（2023·广东湛江·一模）已知
为数列
的前n 项和，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、由定义判定等比数列
【分析】（1）取
计算
，
得到
，得到证明.
（2）确定
，变换
，利用裂项求和计算得到证明.
【详解】（1）
，
，
．
由
，得
，
，
所以
，故
，
所以数列
是以6 为首项，2 为公比的等比数列．
（2）
，
故
，
所以
．
5．
为数列
的前
项和.已知
，
.
(1)证明
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n 项和、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项
或项
【分析】（1）利用题中的递推公式构造出
，从而可证求解.
（2）利用错位相减法，即可求解.
【详解】（1）证明：依题意，由
两边同时加上
，
可得
，
因为
，
所以数列
是以
为首项，为公比的等比数列，
所以
，
，
则当
时，
，
当
时，
也满足上式，
所以数列
的通项公式为：
.
（2）由（1）可得
，
则
，
，
两式相减，
可得
所以
.
6．（2023·山东济宁·一模）已知数列
的前
项和为
，且满足：
.
(1)求证：数列
为常数列；
(2)设
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n 项和、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）根据
证明
即可；
（2）先求出数列
的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由
，
当
时，
，
当
时，
，
两式相减得
，
即
，所以
，
所以
，
当
时，
，上式也成立，
所以数列
为常数列；
（2）由（1）得
，
所以
，
则
，
则
，
两式相减得
，
所以
.
重难点题型5 等差与等比综合
1．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个
根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、分组（并项）法求和
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为
是关于
的方程
的两个根，
所以
．
所以数列
是一个首项为1，公差为2 的等差数列．
因此
．
（2）由（1）知
，对于方程
，
由韦达定理得
，即
．
所以
．
所以
．
2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列
和
满足：
，
，且
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)设
，试求
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见详见
(2)
【难度】0.65
【知识点】等比数列的定义、求等比数列前n 项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；
（2）求数列
和
的通项，进而可得
的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n 项和即可求解.
【详解】（1）
，
，
又
构成以
为首项，2 为公比的等比数列.
（2）由（1）可知
，
，
又
构成以
为首项，
为公比的等比数列
，
，
∴当
为偶数时，
当
为奇数时，
所以
3．（2025·山东·模拟预测）记正项数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
(3)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和
【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解.
（2）由
结合已知推理即得.
（3）由（2）求出
，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）在正项数列
中，
，
令
，得
，解得
，负值舍去；
令
，得
，即
，则
，
所以
，负值舍去’
（2）当
时，
，而
，则
，
即
，又
，
所以
是首项为2，公差为2 的等差数列.
（3）由（2）知
，可得
，
则
，
所以
.
4．已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
、
、
的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列
的前
项和．
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据规律填写数列中的某项、由Sn 求通项公式、裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项或
项
【分析】（1）根据递推公式代入计算求解；
（2）分奇偶两种情况，当
为奇数时，当
为偶数时，应用
分别求出通项公式；
（3）应用裂项相消法计算求解.
【详解】（1）由条件知
，
，
．
（2）当
为奇数且
时，
，
也符合，
所以当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
；
所以数列
（3）由题可知
，所以
，
所以数列
的前
项和为
5．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前
项和
，数列
是首项为
的等比数列，且
有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
或
(2)
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）根据
与
的关系即可求解
，进而可求
，进而可求公比，进而得到
；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）
时，
，
时
，
时符合上式，∴
．
∴
，∴
，∴
，∴
或
．
（2）
，
设
，设其前
项和为
，则
，①
，②
①
②得
，
∴
，
时，
，
时，
，
综上
．
6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知
是公差为
的等差数列，其前
项和为
，
的前
项和为
，
，
.记
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)证明：
是等比数列；
(3)证明：
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、错
位相减法求和
【分析】（1）利用等差等比的通项公式和求和公式进行计算即可求解；
（2）利用通项公式代入化简即可证明；
（3）利用不等式的放缩法，再结合错位相减法求和，即可证明.
【详解】（1）因为
是公差为
的等差数列，其前
项和为
，
所以
，得
，
所以
，
因为
，当
时，得
，所以
，
当
时，
，两式相减可得
，
，所以
，又
，
所以
是以
为首项，
为公比得等比数列，所以
.
（2）因为
，
所以
，
所以
，且
，
所以
是以为首项，
为公比得等比数列；
（3）由上可知
，
所以
，
所以
，
设
，
则
，
两式相减得
，
所以
，
所以
.
7．（2025·江西·二模）定义“切糕”函数：在区间
上的连续函数
同时满足①
图像上任一点
处
的切线
，
（当且仅当
时等号成立）恒成立；②
，且
恒成立.
则称
为区间
上的“切糕”函数.
(1)求证：
为区间
上的“切糕”函数；
(2)数列
满足
，
是
的前
项和.若函数
为区间
上的“切糕”函数，求证：
，当且仅当
时等号成立.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【难度】0.15
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、数列求和的其他方法、数学归纳法证明恒等式、函数新定义
【分析】（1）设
，计算得切线方程
，再设
，求
导得
在
上恒成立，再说明
二次求导恒为负即可；
（2）方法一：利用导数分析得
，当且仅当
时等号成立，再利
用数学归纳法即可证明；方法二：设
，代入计算后再设
，最后代入计算放缩即可.
【详解】（1）设
为
上任意一点，则
，
切线方程为
，即
，
设
，则
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上恒成立，当且仅当
时等号成立，
又因为
的导函数为
，设
恒成立，
综上所述，
为区间
上的＂切糕＂函数；
（2）先求证对
，
定义在
上的＂切糕＂函数
恒满足:
，
不妨设
，构造函数
，
则
，
为
上的＂切糕＂函数，
且
恒成立，即
在
上单调递减，
又
，
，
当且仅当
时等号成立，
，即
恒成立，
则
在
上单调递增．
，
又
，则
，
，当且仅当
时等号成立，
现利用上述结论证明
，证明过程如下：
方法一：用数学归纳法证明：
当
时，
，则
成立；
假设
时，
成立，
则
时，
，
又
，
，当且仅当
时等号成立，
即
时，
成立，当且仅当
时等立，
综上所述：
，当且仅当
时等号成立.
方法二：
，
设
，
则
即
，
设
，
同理可得：
设
，即
，
当且仅当
时等号成立
即
成立，当且仅当
时等号成立.
8．（2025·安徽马鞍山·二模）将数列
中不同的两项
与
交换位置，其余项不变得到的数列称为
的“
对换数列”，若
时，
，则称
为
一个逆序对，例如：数列2，3，1 的逆序对
有：
，
.将数列
中逆序对的个数称为
的逆序数，记为
，记
.
(1)写出数列1，5，2，4，3，6 的所有逆序对；
(2)求数列
的所有“
对换数列”的逆序数之和
；
(3)定义：将数列
的所有项重新排列后得到的数列称为
的一个“重排数列”.若
是
数列
的一个“重排数列”，
是数列
的一个“
对换数列”，证明：
.
（注：
.）
【答案】(1)
，
，
，
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】数列求和的其他方法、数列新定义
【分析】（1）根据逆序对定义可得答案；
（2）交换与
后共产生
个逆序数，再求
可得答案；
（3）求出
，只有满足
的数
才会发生逆序数的变化，设这样的数有
个，由于这
个数对
与
的顺序同时发生变化产生
个逆序数可得答案.
【详解】（1）
，
，
，
；
（2）因为交换与
后共产生
个逆序数，
，
所以
；
（3）由（2）可知，
，
因为
是将
中
与
两项交换所得，
故
之前的项
及
之后的项
逆序数不变，
对于
与
之间的项
，
只有满足
的数
才会发生逆序数的变化，
设这样的数有
个，由于这
个数对
与
的顺序同时发生变化，
产生
个逆序数，又
与
交换产生1 个逆序数，
则共产生
个逆序数，设
，
则
，
则
.
