文档文本内容
专题09 数列小题
（4 维精讲+3 维精练）
考前百日冲刺目录
引领风向--最新模考新颖题（5 题）............................................1
最新热点热搜题（5 题）......................................................5
最新高频经典题（5 题）......................................................7
最新高考真题回顾（5 题）...................................................10
最新模考基础练（5 题）.....................................................14
最新模考能力练（5 题）.....................................................16
最新模考压轴练（5 题）.....................................................19
引领风向
-- 最新模考新颖题（
5 题）
【典例】1．（2025·广东·模拟预测）设正数
满足
为
与
的等差中项，
为
与
的等比中
项，若
，则
（ ）
A．4.5
B．3
C．3.5
D．4
【答案】A
【分析】利用等差中项的性质得到
，结合题意得到
，利用等比中项的性质求出
，
结合
和
求解
即可.
【详解】由题意可得
成等差数列，
成等比数列，
得到
，
，故
，
若
，则
，解得
，
可得
，即
，故A 正确.
故选：A．
【典例】2．（2025·甘肃·二模）在数列
的项
和
之间插入个
构成新数列
，则
（ ）
A．13
B．
C．14
D．
【答案】A
【分析】根据题意条件，求出新数列中不超过
的数的个数，再分组计算
.
【详解】在
和
之间插入个
构成数列
,
，
则数列
中不超过
的数的个数为
，
当
时，
，当
时，
，
所以
.
故选：A
【典例】3．（2025·福建三明·模拟预测）现有矩形满足如下条件：第1 个矩形的相邻两边长分别为
，
1；第2 个矩形的相邻两边长分别为
，2；第3 个矩形的相邻两边长分别为
，
；…，第
个矩
形相邻两边长分别为1，
．则这
个矩形的面积和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将每个矩形的面积表示为等比数列的项，通过求和公式计算总和
【详解】第
个矩形的相邻两边长分别为
和
（
从
到
）
因此面积为：
总面积和为：
等比数列首项
，公比
，项数为
求和公式为：
代入得：
故选：
【典例】4．（2025·湖北鄂州·一模）（多选）设5 个正实数组成公差大于0 的等差数列，记其首项为
a，公差为d，且这5 个数中有3 个数组成等比数列，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】BC
【分析】结合等差数列，等比数列的性质即可求解.
【详解】由题意知等差数列的5 个正实数为
，
若
成等比数列，
则
，解得
，与题意不符；
若
成等比数列，
则
，解得
，即
，符合题意；
若
成等比数列，
则
，解得
，即
，符合题意；
若
成等比数列，
则
，解得
，与题意不符；
若
成等比数列，
则
，解得
，与题意不符；
若
成等比数列，
则
，解得
，与题意不符；
若
成等比数列，
则
，解得
，与题意不符；
若
成等比数列，
则
，解得
，与题意不符；
若
成等比数列，
则
，解得
，与题意不符；
若
成等比数列，
则
，解得
，与题意不符；
综上，
或
，
故选：BC.
【典例】5．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）已知数列
共有5 项，前三项成等比数列，后三
项成等差数列，且
，
，
.若
的前
项和为
，则下列选项可能正确的
是（ ）
A．
B．
为最大项
C．
D．数列
，
，
的公差为64
【答案】AC
【分析】根据前三项成等比数列、后三项成等差数列，设后三项的公差为
，根据题意将
表示
成关于d 的方程，解出d，分情况逐项讨论即可．
【详解】设后三项的公差为
，因为
，则
，
，
由
，得
，
由前三项成等比数列，公比
，所以
，
结合
，可得
，
解得
或
，
当
时，数列为
；
当
时，数列为
；
对于A，当
时，
，故A 正确；
对于B，两种情况的最大项分别是112 和180，均不是
，故B 错误；
对于C，当
时，
，故C 正确；
对于D，公差为16 或
，均不是64，故D 错误．
故选：AC．
最新热点热搜题（
5 题）
【典例】6．（2025·湖北武汉·二模）记等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】A
【分析】设出公差，利用等差数列前
项和公式，结合已知列出方程求解.
【详解】设等差数列
的公差为
，由
，得
，解得
，
由
，得
，则
，所以
.
故选：A
【典例】7．（2025·江苏·一模）已知
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．5
B．9
C．
D．
【答案】A
【分析】设等比数列
的公比为
，根据所给条件及等比数列通项公式求出
，再由求和公式计算可得.
【详解】设等比数列
的公比为
，显然
，
由
，即
，
则
，解得
，
所以
.
故选：A
【典例】8．（2025·浙江宁波·三模）已知数列
中，
，记
为
的前
项和，
，则
的值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【分析】根据题意，利用
与
的关系，推得
，结合累乘法，即可求得
的值，得到答案.
【详解】数列
中，满足
，当
时，可得
，
两式相减，可得
，即
，所以
，
又由
，则
.
故选：B.
【典例】9．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列
的公差
，且
成等比数列，则数
列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．505
D．1013
【答案】D
【分析】根据
成等比数列，结合等差数列的通项公式可得
，进而得到
，
，进而求和即可.
【详解】设首项为
，因为
成等比数列，
所以
，则
，
解得
或
，当
时，
，此时与
成等比数列矛盾，故排除，
当
时，
，此时令
，
而其前2025 项和为
，
.
故选：D
【典例】10．（2025·山东济南·一模）若数列
各项均为正数，则“
为等比数列”是“
为
等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断.
【详解】数列
中，
，
数列
为等比数列，令其公比为
，则
，
，
为常数，因此数列
为等差数列；
反之，
为等差数列，令其公差为
，则
，即
为常数，
因此数列
为等比数列，
所以“
为等比数列”是“
为等差数列”的充要条件.
故选：C
最新高频经典题（
5 题）
【典例】11．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则
的值为
（ ）
A．0
B．3
C．6
D．12
【答案】A
【分析】利用等差数列的片段和性质即可得解.
【详解】因为
是等差数列，所以
成等差数列，
又
，所以
成等差数列，
则
，则
.
故选：A.
【典例】12．（2025·福建厦门·二模）已知数列
满足
，
，则
的前6 项和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先，利用递推求出
的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】由
，
当
时，
，
显然，对于
时也成立，
所以
，
则
的前6 项和为
.
故选：C.
【典例】13．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知数列
的前
项和为
，且
，则（ ）
A．
B．数列
是等差数列
C．
D．
【答案】ACD
【分析】令
直接代入计算可得A 正确，根据
的关系式以及等比数列定义即可求得数列
为
等比数列，可得B 错误，再求得数列
的通项公式可得C 正确，结合分组求和以及等比数列前
项和公
式计算可得D 正确.
【详解】对于A，由
可得
，
即
，所以
，因此A 正确，
对于B，由
可得
，即
，
显然
不是定值，
因此数列
不是等差数列，即B 错误；
对于C，结合B 分析由
可知
，
即数列
是以
为首项，公比为2 的等比数列，
因此可得
，所以
，即C 正确；
对于D，
，即D 正确.
故选：ACD
【典例】14．（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知数列
满足
，
的前n
项和为
，则（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
，
，
构成等差数列
D．数列
前100 项和为
【答案】AD
【分析】令
，计算可判断A，当
，可得
，两式相减可得
，进而逐项计算可判断BCD.
【详解】对于A，当
时，可得
，故A 正确；
对于B，
当
时，
，
两式相减可得
，所以
，
当
，
适合上式，所以
；
由
不是常数，所以数列
不是等比数列，故B 错误；
对于C，由
可知，
，
所以
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，所以
，
，
，
又
，所以
，
所以
，
，
不构成等差数列，故C 错误；
对于D，
，
所以
，故D 正确.
故选：AD.
【典例】15．（2026 高三·全国·专题练习）两个等差数列
和
的前n 项和分别为
，且
，则
的值等于 ．
【答案】
/4.75
【分析】根据题意，分别设出
的表达式，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，可设
，
则
．
故答案为：
最新高考真题回顾（
5 题）
【典例】16．（2025·全国二卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和.若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由等差数列前n 项和公式结合题意列出关于首项
和公差d 的方程求出首项
和公差d，再由等差
数列前n 项和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列
的公差为d，则由题可得
，
所以
.
故选：B.
【典例】17．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
结合等差中项的性质可得
，即可计算出公差，即可得
的值.
【详解】由
，则
，
则等差数列
的公差
，故
.
故选：B.
【典例】18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
【典例】19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，
则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据
的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列
的公比为
，首项为
，
若
，则
，与题意不符，所以
；
若
，则
，与题意不符，所以
；
由
，
可得，
，
①，
由①可得，
，解得：
，
所以
．
故选：C．
方法二：设等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
，否则
，
从而，
成等比数列，
所以有，
，解得：
或
，
当
时，
，即为
，
易知，
，即
；
当
时，
，
与
矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握
的关
系，从而减少相关量的求解，简化运算．
【典例】20．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，
若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
或
于是有
或
，
即有
，解得
；
或者
，解得
；
所以
，
或
.
故选：B
最新模考基础练（
5 题）
21．（2025·湖北武汉·二模）数列
的通项公式为
，
为其前n 项和，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，可求得
，计算可求得
的最小值.
【详解】令
，因为
，所以解得
，
所以数列
的前3 项为负，从第4 项起为正，
所以
的最小值为
.
故选：D.
22．（2025·湖北·二模）在正项等比数列
中，
是方程
的两个根，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质求解.
【详解】因为
是方程
的两个根，
所以
，
又因为在等比数列
中，
，
又因为
是正项等比数列，所以
，
所以
，
故选:B.
23．（2025·浙江温州·二模）已知数列
满足
，若
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，将
把
分别表示出来，结合不等式的性质计算即可.
【详解】设
，则
，
得
，
所以
．
故选：B
24．（2025·福建厦门·模拟预测）记等差数列
的前
项和为
，公差为
，若
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由等差数列的性质有
即可判断A；由
得
，又
即可
判断C，由
即可判断B，由
解出即可判断D.
【详解】由
有
，故A 错误；
由
，
，所以
，故C 正确；
，故B 错误；
由
，故D 错误.
故选：C.
25．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列
为等比数列，且
是
与
的等差中项，若
，则该数列的前5 项和为（ ）
A．10
B．15
C．30
D．31
【答案】D
【分析】由
是
与
的等差中项可得
，再利用等比数列的通项公式代入求出
和
，
最后利用等比数列的前
项和公式求解即可.
【详解】因为数列
为正项等比数列，设公比为
，
又
是
与
的等差中项，所以
，即
，
解得
或
（舍去），
所以由
解得
，
所以该数列的前5 项和
，
故选：D
最新模考能力练（
5 题）
26．（2026·河北·模拟预测）已知公差不为0 的等差数列
的前n 项和为
，若
，
成
等比数列，则数列
的公差为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】A
【分析】根据等差数列求和公式结合
和等差中项性质，求得
，由
成等比数列，结合等比
中项性质和等差数列性质求得
和公差的关系，再联立方程求解公差.
【详解】设等差数列
的公差为
，
，解得
.
因为
成等比数列，所以
，即
，
代入
，可得
，
即
，解得
或
，因为公差不为0，所以
，
故选：A.
27．（2026·湖北·模拟预测）已知数列
是等比数列，数列
是等差数列，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由等比、等差数列的性质可得
，
，从而可得
，
，则有
，结合诱导公式求解即可.
【详解】因为数列
为等比数列，且
，
即
，解得
，
所以
；
又因为
是等差数列，且
，
即
，解得
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：C.
28．（2026·辽宁大连·一模）记
为数列
的前
项和，已知
.当
最大时，
（ ）
A．9
B．10
C．9 或10
D．10 或11
【答案】C
【分析】根据等差数列定义可判断数列
为等差数列，再根据等差数列前
项和公式以及二次函数性质
可得结果.
【详解】由
可得数列
为等差数列，
又
可得
，因此
；
所以公差
满足
，因此
；
即
，
又因为
，所以当
或
时，
取得最大为45.
故选：C
29．（2026·河北沧州·一模）在等比数列
中，若
，且
，则
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设等比数列
的公比为
，由
可得
，再根据
和
，可
得
的值，进而可得数列的通项公式.
【详解】设等比数列
的公比为
，由
可得
，解得
，
设
，
，
因为
，所以
，解得
或
.
当
时，
，
，
不成立，故
不满足题意，故舍去；
当
时，
，
，满足
，故
满足题意.
所以
．
故选：A
30．（25-26 高三上·山西太原·月考）已知等差数列
的公差为d，前n 项和为
，若
，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据条件得出
，
可判断等差数列
的增减性判断ABC 选项；再利用等差
数列的前
项和公式和下标和性质判断D.
【详解】由题意可知，
，
，
则
，故等差数列
为递减数列，
故
，
，
，故A 正确，BC 错误；
，故D 错误.
故选：BCD
最新模考压轴练（
5 题）
31．（2025·河南·模拟预测）已知数列
满足
，
，若对
，
，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，得到
，通过累加得到
，再通过分
参得到
，结合基本不等式求得
最小值，即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
即
，所以当
时，
，所以
，
也满足，
所以
，
，
所以
恒成立，
即
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
，
所以实数t 的取值范围是
，
故选：A
32．（2025·山西吕梁·模拟预测）（多选）已知正项数列
满足
为数列
的前
项和，则（ ）
A．数列
为递增数列
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由
可判断，对于B，由
得到
，即
可判断，对于C，由
和当
时，
得到
，即可；对于D，由
，裂项相消求和即可.
【详解】对于A，由
，得
，
所以
，即
，递增数列，A 正确；
对于B，由
，
得
，
即
，又
，
则
，
所以
，B 错误；
对于C，由于
，当
时，
，
当
时，
，
当
时，先证
，即证
，
由于
，
所以
，
即
，
综上：
，C 正确，
对于D，由
，得
，
所以
，D 正确，
故选：ACD
33．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选）如图，曲线
下有一系列正三角形，设第n 个正三角形
（
为坐标原点）的边长为
，则（ ）
A．
，
B．记
为
的前n 项和，则
为
C．记
为数列
的前n 项和，则
D．数列
的前n 项和为
【答案】AB
【分析】A.首先由正三角形求得点
和
的坐标，代入曲线
，即可求解
；B. 由
为边
长为
的等边三角形，求得
的坐标；C.将
坐标代入曲线
，判断C；D.根据C 的结果，利用公
式
，即可求通项公式.
【详解】A.由题意可知
为等边三角形，如图，
，则
，
因为点
在曲线
上，可得
，解得
或
（舍），
又由题意可知
为边长为
的等边三角形，则
，
则
，可得
，解得
或
（舍），故A 正确；
B.由
为边长为
的等边三角形，可得
，故B 正确；
C.由点
在曲线
上，则
，整理得
，
由
，可知
，故C 错误；
D.当
时，可得
，
所以
，
可化为
，
因为
，则
，所以
，
又因为
，符合上式，故
，
则数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以数列
的通项公式为
，
所以
，故D 错误.
故选：AB
34．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选）已知数列
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．当
时，
B．若数列
为常数列，则
或
C．若数列
为递增数列，则
D．当
时，
【答案】ABD
【分析】令
可得
，据此判断A，令
，由递推关系
求出即可判断B，根据
B 及条件数列
为递增数列，分类讨论求出
或
时判断C，通过对
取对数，构造等比数
列求解即可判断D.
【详解】对于A，当
时，
，
令
，则
，
，故
，
即
，故A 正确；
对于B，若数列
为常数列，令
，则
，解得
或
，
或
，故B 正确；
对于C，令
，则
，
若数列
为递增数列，则数列
为递增数列，
则
，解得
或
，
当
时，
，且
，
，此时数列
为递增数列，即数列
为递增数列；
当
时，
，且
，
，此时数列
不为递增数列，即数列
不为递增数列；
当
时，
，
，此时数列
为递增数列，即数列
为递增数列.
综上所述，当
或
，即
或
时，数列
为递增数列，故C 错误；
对于D，令
，则
，
，
则
，
，
数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，
，即
，故D 正确.
故选：ABD.
35．（2025·云南·模拟预测）数列
满足：
，且
，则
.
【答案】1220
【分析】首先将条件平方，再由递推公式推出数列
是等差数列，再相加求和.
【详解】由
，所以
，且
，
两式相减得：
，
又由
及
，故
是递增数列，
，
所以
，
当
时，
，解得
，又
，即
，
所以数列
是等差数列，首项为
，公差为
，
所以
，
故
.
故答案为：
.
