文档文本内容
第02 讲 等差数列及其前n 项和
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 等差数列前n 项和基本量的计算..................................................................................5
考点二 等差数列片段和的性质..................................................................................................7
考点三 两个等差数列前n 项和的比值......................................................................................8
考点四 等差数列前n 项和最值................................................................................................10
考点五 等差数列前n 项和的其他性质....................................................................................12
考点六 等差数列求和的实际应用............................................................................................14
三阶突破训练...............................................................................................................16
基础过关......................................................................................................................................16
能力提升......................................................................................................................................21
真题感知......................................................................................................................................29
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第7 题，5
分
等差数列及其求和
无
2024 年新I 卷，第19 题,17 分
等差数列通项公式的基本量计算
数列新定义
2024 年新Ⅱ卷，第12 题,5 分
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n 项和
无
2024 年全国甲卷，第4 题,5
分
等差数列通项公式的基本量计算
利用等差数列的性质计算
等差数列前n 项和的基本量计算
无
2023 年新I 卷，第7 题,5 分
由递推关系证明数列是等差数列
等差数列前n 项和的性质
充分条件与必要条件的判定
2023 年新I 卷，第20 题,12 分
等差数列通项公式的基本量计算利用等差
数列的性质计算
等差数列前n 项和的基本量计算
无
2023 年新Ⅱ卷，第18 题,12
分
利用定义求等差数列通项公式
等差数列通项公式的基本量计算求等差数
列前n 项和
分组 (并项)-奇偶项求和
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6 分，大题13-17 分
【备考策略】1.理解等差数列的概念
2 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n 项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n 项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通
项公式及前n 项和。需综合复习
一、等差数列
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即
，
为常数．
2．等差中项
如果a，A，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且
．
3．等差数列的通项公式及其变形
以
为首项，d 为公差的等差数列
的通项公式为
．
公式的变形：
，
．
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式
，可得
．
令
，
，则
，其中
，
为常数．
（1）当
时，
在一次函数
的图象上，数列
的图象是直线
上均匀
分布的一群孤立的点，且当
时数列
为递增数列，当
时数列
为递减数列．
（2）当
时，
，等差数列为常数列，数列
的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均
匀分布的一群孤立的点．
二、等差数列的前n 项和
1．等差数列的前n 项和
首项为
，末项为
，项数为n 的等差数列
的前n 项和公式：
．
令
，
，可得
，则
当
，即
时，
是关于n 的二次函数，点
是
的图象上一系列孤立的点；
当
，即
时，
是关于n 的一次函数
，即
或常函数
，即
，
点
是直线
上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n 项和的相关问题．
2．用前n 项和公式法判定等差数列
等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列
的前n
项和
，那么当且仅当
时，数列
是以
为首项，
为公差的等差数列；
当
时，数列
不是等差数列．
三、等差数列的性质
1．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为
的等差数列
具有如下性质：
（1）通项公式的推广：
，
．
（2）若
，则am+an=ap+aq
．
特别地，①若
，则
；
②若
，则
．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（3）下标成等差数列的项
组成以md 为公差的等差数列．
（4）数列
是常数是公差为td 的等差数列．
（5）若数列
为等差数列，则数列
是常数仍为等差数列．
（6）若
，则
．
2．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质：
设等差数列
（公差为d）和
的前n 项和分别为
，
（1）数列
是等差数列，首项为
，公差为
．
（2）
构成公差为
的等差数列．
（3）若数列
共有
项，则
，
．
（4）若数列
共有
项，则
，
．
（5）
，
．
考点一 等差数列前n 项和基本量的计算
典例1．在数列
中，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可知数列
是一个公差为
，首项为
的等差数列，再等差数列算得前
项和.
【详解】由
，得
，
所以故数列
是一个公差为
，首项为
的等差数列.
，
.
故选：A
典例2．已知数列
满足：
，
.若
，
(1)求证：
为等差数列.
(2)求数列
的通项公式
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将
两边取倒数，即可得到
，从而得证；
（2）根据等差数列，先求出
的通项公式，进而根据
得出
的通项公式.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，且因为
，所以
，
，
所以
是以为首项，
为公差的等差数列；
（2）由(1)知
，
又
，所以
，
即数列
的通项公式为
.
跟踪训练1．已知等差数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而可求得数列第5 项的值.
【详解】因为数列
是等差数列，
，
所以
，化简得
，
解得
，
所以
.
故选：C.
跟踪训练2．数列
满足
，
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义即可得证；
（2）根据等差数列的通项求出数列
的通项，即可得解.
【详解】（1）由
，可得
，
数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列；
（2）由（1）知
，
．
考点二 等差数列片段和的性质
典例1．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
【答案】7
【分析】根据等差数列前n 项和的片段和性质列式求解即可.
【详解】因为数列
是等差数列，所以
成等差数列，
即
，即
，解得
.
故答案为：7
典例2．已知等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
.
【答案】21
【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解.
【详解】依题意，
成等差数列，而
，
，
因此
，解得
.
故答案为：21.
跟踪训练1．设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
【答案】27
【分析】根据
的定义，可得答案.
【详解】
.
故答案为：
.
跟踪训练2．设
是等差数列{
}的前n 项的和，若
则
.
【答案】
【分析】由等差数列的性质，
也是等差数列计算得出.
【详解】因为数列
是等差数列，所以
仍然是等差数列，
所以
也是等差数列，
因为
，
，
则
构成等差数列，
所以
，
解得：
，
所以
，
所以
，即
故答案为：
考点三 两个等差数列前n 项和的比值
典例1．已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，且
，则
．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前
项和公式计算可得.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
典例2．两个等差数列
，
的前
项和分别为
和
，已知
，则
的值是 .
【答案】
/9.3
【分析】根据等差数列的性质以及前
项和公式计算即可.
【详解】因为两个等差数列
，
的前
项和分别为
和
，
，
设
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，满足
；
，满足
，
所以
，
，
所以
故答案为：
跟踪训练1．两个等差数列
和
，其前
项和分别为
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得
，结合题意计算即可求解.
【详解】
.
故选：D.
跟踪训练2．已知等差数列
的前
项和分别为
，若
，则满足
的正整数
有
（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】C
【分析】利用等差数列性质得
，由
即可求解.
【详解】由
，得
，
又
，所以
，
整理得
，所以
，故符合条件的
可取1，2，
故选：C．
跟踪训练3．已知
，
分别为等差数列
，
的前
项和，
，设点
是直线
外一点，
点
是直线
上一点，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前
项和的性质可求解
，结合向量共线的性质即可求解.
【详解】由题意可知
三点共线，且
，故
，
由于
可得
则
，其中
为非零实数，
故
，
故
，故
，得
，
故选：A
考点四 等差数列前n 项和最值
典例1．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．当
取得最大值时，
D．
【答案】D
【分析】由已知
，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：
，
，进
而判断选项即可.
【详解】因为
是等差数列，且
，
所以
，
，
即
，所以
，
，且
，所以B 错误，D 正确；
因为
，所以等差数列
是递减数列，所以A 错误；
所以当
时，
取得最大值，所以C 错误.
故选：D
典例2．在等差数列
中，
，且
是其前
项和，则（ ）
A．
都小于
都大于0
B．
都小于
都大于0
C．
都小于
都大于0
D．
都小于
都大于0
【答案】B
【分析】利用等差数列的前
项和的性质求解即可.
【详解】等差数列
中，
，故
，又
，故
，
所以
,
，
结合
，可知
都小于
,
都大于0.
故选：B
跟踪训练1．设
为等差数列
的前
项和，
.若
，则（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是
C．
的最大值是
D．
的最小值是
【答案】D
【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
可得
和
的符号，即可判断
的最小值.
【详解】由
得：
，整理可得：
，
等差数列
为递增数列，又
，
，
，
当
且
时，
；当
且
时，
；
有最小值，最小值为
.
故选：D.
跟踪训练2．（多选）已知数列
是等差数列，公差为
，前
项和为
，且
，则
（ ）
A．当
时，
取最大值
B．使得
的
的最大值为4048
C．使得
的
的最小值为4050
D．
【答案】ABD
【分析】根据等差数列的性质可得
，
结合等差数列求和公式判断C 和B，利用通项
公式求
的范围，即可判断D.
【详解】由
，
，得
．所以
，A 正确，
由
和
得
，
结合
，
，
故使得
的
的最大值为4048，使得
的
的最小值为4049，所以B 正确，C 错误．
，解得
，D 正确．
故选：ABD．
考点五 等差数列前n 项和的其他性质
典例1．等差数列
共有2n+1 项，其中
，
，则n 的值为
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】A
【分析】根据等差数列的前
项和公式，以及等差数列的性质可知，奇数项的和为
，同理偶数项的和为
，两式相减得
.再计算前
项的
和，即
，由此解得
的值.
【详解】由
，可得
，由
，可得
，
，
又
，
.故选A.
典例2．（多选）等差数列
的前n 项和为
，已知
，
，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
，
B．等差数列
的公差
C．使
成立的n 最小为10
D．当
时，
取得最小值
【答案】BC
【分析】对于A，由等差数列
的前n 项和为
、
可得
即可判断；对于B，只需求出
，然
后由
即可判断；对于C，直接解不等式即可判断；对于D，由n 为正整数即可判断.
【详解】对于A 选项，因数列
为等差数列，
，则
，且
，
则
，所以
，A 错误；
对于B 选项，由A 知
，则
，则
，
则公差
，B 正确；
对于C 选项，由
，得
或
，因为n 为正整数，所以n 最小值为10，C 正确；
对于D 选项，因为n 为正整数，所以D 错误.
故选：BC.
跟踪训练1．设
为等差数列
的前n 项和，且
，
，则
A．
B．
C．2018
D．2016
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质：设
为等差数列
的前n 项和，则数列
为等差数列，可得数列
的首项、公差．再由条件可求
，进而可求得
．
【详解】因为数列
为等差数列，
，
所以数列
是首项为
，公差为1 的等差数列．所以
，所以
．所以
．
故选A．
跟踪训练2．一个等差数列共有2n+1 项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（
）
A．30
B．31
C．32
D．33
【答案】C
【分析】利用等差数列前
项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为
的形式，然后两式相减，可得到
的值.
【详解】中间项为
.因为
，
，所以
.故选C.
跟踪训练3．在等差数列
中，已知
，
，求
.
【答案】
.
【分析】利用等差数列前n 项和的性质，
成等差数列，求出对应的首项和公差，即
得解
【详解】将数列依照原有的顺序每10 项分为一组，每组的和作为一项构造新数列：
，
，
，…，
，
则这个数列是一个首项为
，第10 项为
的等差数列，
设新数列的公差为
，则该数列的前10 项和等于
.
∴
，
解得
.
于是前11 项和
.
故答案为：
考点六 等差数列求和的实际应用
典例1．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5 个人
分5 钱，5 人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少
的一人钱数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设第
所得钱数为
钱，设数列
、
、
、
、
的公差为
，根据已知条件
可得出关于
、
的值，即可求得
的值.
【详解】设第
所得钱数为
钱，则数列
、
、
、
、
为等差数列，
设数列
、
、
、
、
的公差为
，
则
，解得
，故
.
故选：C
典例2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4
节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为 升．
【答案】
【分析】设从上到下各节的容积依次构成等差数列
的公差为
则
,用首
项和公差表示上两式，求出首项和公差，再利用通项公式即可求出
.
【详解】设从上到下各节的容积依次构成等差数列
，公差为
，
则由题
,
故
,
解得:
,
所以
,
故答案为:
.
跟踪训练1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大
寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数
列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36 尺，前八个节气日影长之和为92 尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】B
【分析】令所给等差数列为
，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解.
【详解】令所给等差数列为
，其前
项和为
，
则
，即
，因此
，
解得
，
则数列
的公差
，所以谷雨日影长
.
故选：B
跟踪训练2．（多选）佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到
米．要登上皂幕山的最高峰，
一共需要走
级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前
分钟中，每分钟走
级阶递，由于体力有限，小明每隔
分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔
分钟，其速度降
低
，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：
，
，
，
）
A．小吉到达最高峰的时间比小明早
B．小明到达最高峰的时间比小吉早
C．小吉登上最高峰所需时间多于
分钟
D．两人到达最高峰的时间差距超过
分钟
【答案】AC
【分析】由题意可知小明和小吉每
分钟走的级数分别形成一列等差数列和一列等比数列，根据题中数据
分别求出两列数列的通项公式及其前n 项和公式即可计算估计小明和小吉登上最高峰所需的时间，进而得
解.
【详解】记第
个
分钟小明和小吉走的级数分别为
、
，
则由题意可知
，
，且
，
，
故数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
且
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
且
，
所以数列
和
前
项和分别为：
，
，
所以
，
，
而
，故第
个
分钟小明每分钟走的级数为
，
所以小明登上最高峰所需时间为
分；
因为
，
，
而
，故第
个
分钟小吉每分钟走的级数为
，
所以小吉登上最高峰所需时间为
分，
且
分，
，
所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过
分钟，小吉登上最高峰所需时间多于
分钟.
故选：AC.
1.已知数列
的前
项和
，则
（ ）
A．6
B．11
C．12
D．2
【答案】A
【分析】方法1：
计算即可；方法2：根据前
项和可知数列
为等差数列，再根据等差数列
求解第三项；
【详解】方法1：
．
方法2：等差数列
的前
项和为
，
因为
，所以数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列．
于是
．
故选：A．
2.已知数列
的前
项和为
.若
，则
（ ）
A．80
B．85
C．90
D．95
【答案】C
【分析】根据
分别求解
的奇数项和偶数项的通项，即可分组求和得解，或者根据
为等差数列，由求和公式求解.
【详解】方法一：
，
当
时，
，
两式相减，得当
时，
，
的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为
当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
.
.
方法二：
，
，
故数列
是以5 为首项，4 为公差的等差数列，
.
故选：C
3.已知数列
的前n 项和为
，满足
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
有
，结合已知通项公式，即可得.
【详解】由
可知数列
为等差数列，
由
，知
，
即
，即
.
故选：C
4.已知等差数列
的公差不为0，设
为其前
项和，若
，则集合
中元
素的个数为（ ）
A．2025
B．2023
C．2021
D．2013
【答案】D
【分析】根据等差数列求和公式可以得到首项和公差之间的关系，进一步列出等差数列和的表达式，再结
合集合的互异性排除相同大小的集合元素即可得到答案.
【详解】由
，可得
，且
，所以
，
根据二次函数的对称性：
，所以集合
中元素
的个数为
，
故选：D．
5.已知数列
是等差数列，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前
项和的性质求解即可.
【详解】由
，得
，设
，
为非零实数，则
，
因为数列
是等差数列，
所以
，…，是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，解得
，
所以
，
故选：A
6.等差数列
满足
，若
为前
项和，则
最大时，
的值为（ ）
A．9 或10
B．8
C．9
D．10 或11
【答案】A
【分析】根据已知条件求出
，把
表示为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
，
∴
，
关于n 的二次函数
，其对称轴为
，
∵
，∴当
或
时，
最大．
故选：A．
7．（多选）某植物基因型为Aa 的亲本个体自交，第1 代中杂合子Aa 出现的概率为
，纯合子AA 和aa
出现的概率分别为
，之后每一代个体都自交，记第n 代中杂合子Aa 出现的概率为
，纯合子AA 出现的
概率为
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．第5 代中杂合子Aa 出现的概率为
C．数列
是等差数列
D．第5 代中纯合子AA 出现的概率为
【答案】AD
【分析】根据递推关系可得
，
，即可结合选项求解ABC,利用累加法即可求解
D.
【详解】由题意可得，第2 代中杂合子Aa 出现的概率为
，第3 代中杂合子Aa 出现的概率为
，…，故第n 代中杂合子Aa 出现的概率
，又
，所以数列
是以
为
首项，以
为公比的等比数列，所以
，A 正确；
，B 错误；
由题意可得，第1 代中杂合子Aa 自交后在第2 代中出现纯合子AA 的概率为
，所以第2 代中出现
纯合子AA 的概率为
，第2 代中杂合子Aa 自交后在第3 代中出现纯合子AA 的概率为
，所
以第3 代中出现纯合子AA 的概率为
，…，故第n 代中纯合子AA 出现的概率
，
，
不是等差数列，C 错误；
，D 正
确．
故选：AD
8．（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值是4
【答案】ACD
【分析】利用基本量法求出公差后可求通项，再利用等差数列的性质判断A，利用通项公式求出
判断
B，利用前
项和公式判断C，利用单调性求出
的最小值后判断D.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，
，
又
，
，
，
，
.
A 选项，
，正确；
B 选项，
，错误；
C 选项，
，
，正确；
D 选项，
，
易知
在
上为单调递增，
所以当
时
有最小值为4，正确.
故选：ACD.
9．已知等差数列
，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列
，
则数列
的第13 项为 ．
【答案】16
【分析】先计算出原等差数列
的公差，进而得到新的等差数列
的公差，从而求出
的通项公式，
得到新数列的第
项.
【详解】在相邻两项之间插入一个数，形成新的等差数列，
则新的等差数列的公差为原等差数列公差的
．
设已知的等差数列为
，公差为
，易知
，则
，
则
．
令
，得
．
故答案为：
10．（多选）如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都为定值，那么这个列叫作等差数列，这
个差叫作等差列的公差.已知向量列
是以
为首项，
为公差的等差向量列，若向量
与
非零向量
垂直，则
.
【答案】
【分析】根据等差向量列定义得
，结合向量
与非零向量
垂直，可得
，进而
计算即可.
【详解】由题意知
，
因为向量
与非零向量
垂直，
所以
，所以
.
故答案为：
.
11．（多选）已知等差数列
的前
项和
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依次得
，
，
即可求解；
（2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由
可得
，
由
可得，
，公差
，
故
.
（2）由（1）得
，
故
则
.
1.已知各项均不为零的等差数列
的前n 项和为
，满足
，
，则
的公差d 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意分析得
，
，应用等差数列的通项公式列不等式求范围.
【详解】由题知，当且仅当
时，
取得最大值，
又
，故只需
，
即可，
若数列公差为
，即
，
，解得
，
则
的取值范围为
.
故选：A
2.已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】说明数列
是首项为4，公差为4 的等差数列即可求解.
【详解】因为
，所以
，即
．
又
，所以数列
是首项为4，公差为4 的等差数列，
故
，即
．
故选：C.
3.已知数列
的前
项和为
，前
项积为
，若
，则使
取得最大值时
的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】根据
，利用
的关系求出通项公式
，再求出
，利用
判断
的单调性，从
而得到答案．
【详解】
①，
当
时，
1000，即
；
当
时，
②．
①－②得
，即
．
故数列
为首项是500，公比为
的等比数列，则
．
∴
，
∵
，因
，
故当
时，
；
当
时，
，
即
，
∴使
取得最大值时
的值为9．
故选：C．
4.已知等差数列
中，
，则数列
的前2026 项的和为（ ）
A．1013
B．1014
C．2026
D．2028
【答案】C
【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列
的规律，进而求出其前2026
项的和.
【详解】设等差数列的首项为
，公差为
，则由
，得
化简得
，解得
，
，
又
，故数列
的通项公式为
，
设数列
的前
项和为
，
则
，
，
从到
共
项，两两一组，可分为
组，
.
故选：
.
5.设数列
的前n 项和为
，若
为常数，则称数列
为吉祥数列.已知等差数列
的首项为3，
且公差不为0，若数列
为吉祥数列，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设等差数列
的公差
，利用等差数列求和公式得
，根据吉祥数列的定义可
知
为常数，不妨设
，化简求得
，进而利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】设等差数列
的公差
，则
，故
.
又因为数列
为吉祥数列，所以
为常数，不妨设
，
则
，
则
，解得
，所以
.
故选：D
6.设等差数列
满足
，且其前
项和
有最大值，则当数列
的前
项和
取得最大值时，正
整数
的值为（ ）
A．12
B．11
C．23
D．22
【答案】B
【分析】由数列前
项和有最大值，可得该等差数列为递减数列，得到
，即可根据邻项变号
法判断.
【详解】因为数列
的前
项和有最大值，所以
，
由
，所以
，
，
故当
时，前
项和最大.
故选：B．
7.随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10 个数字组成，表中每一
个数都是用随机方法产生的，如图，现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体的各面写上0~9 这10
个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9 的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并
逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个
数，三个数恰好构成等差数列的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】甲投1 次，记下数字有10 种可能，乙投1 次也有10 种可能；丙投1 次也有10 种可能，所以甲、
乙、丙依次投掷1 次，由分步乘法原理可得所有记下数字的总情况数，再列举出等差数列的公差为0，1，
2，3，4 的所有情况，将公差为1，2，3，4 的等差数列中的第1 项和第3 项的数字交换，分别构成公差
为-1，-2，-3，-4 的等差数列，可得出构成等差数列的可能情况数，根据古典概率公式计算可得选项.
【详解】甲、乙、丙各投1 次，记下数字，各有10 种可能，所以甲、乙、丙依次投掷1 次，记下数字组合
有
种，
0~9 这10 个数字中选3 个，能构成等差数列的情况有：
公差为0 的等差数列有0，0，0；1，1，1；2，2，2；…；9，9，9，共10 种情况；
公差为1 的等差数列有0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9，
共8 种情况；
公差为2 的等差数列有0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9，共6 种情况；
公差为3 的等差数列有0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9，共4 种情况；
公差为4 的等差数列有0，4，8；1，5，9，共2 种情况；
公差分别为1，2，3，4 的等差数列中的第1 项和第3 项的数字交换，分别构成公差为
的等差
数列，
所以构成等差数列的可能情况有
种，
所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为
.
故选：B.
8.记
为数列
的前n 项和，已知
，
，
，若
，则
的最
小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】A
【详解】由等差数列定义数列
为等差数列，求出
，利用
求出
，则
等
价于
，再利用配方法求出
取得最大值可得答案．
【分析】由
知
，
所以数列
为等差数列，
又
，
，
则等差数列
的公差
，
所以
，
，则
，
故
，
经检验，
满足该通项公式.故
，
则
等价于
，
故当
时，
取得最大值1，故
的最小值为1．
故选：A.
9.（多选）在等差数列
中，
，
，记数列
的前
项和为
，下列选项正确的
是（ ）
A．
B．
取最小值时，
C．数列
是递增数列
D．数列
的前10 项和为50
【答案】ACD
【分析】利用等差数列的通项公式求出
判断AD，利用等差数列的前
项和公式判断BC.
【详解】对于A，设等差数列
的公差为
，则由题意知
，解得
，故A 正确；
对于B，
，
，
则当
时，
取最小值
，故B 错误；
对于C，
，所以数列
是递增数列，故C 正确；
对于D，数列
的前10 项和为
，故D 正确，
故选：ACD
10．（多选）已知点
在焦点为
的抛物线
上，其中
是各项均不
为零的数列且
．若
，则（ ）
A．
B．数列
为等差数列
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先求抛物线方程得
，由
，根据抛物线的定义得
，进而
得
，即可求
，进而判断A，根据等差数列的定义即可判断B，利用并项求和即可判断C，由
得
，令
，利用导数研究单调性即可判断
D.
【详解】由题意有：
，所以抛物线方程为
，又点
在
上，所
以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以数列
是以1 为首项，公差为1 的等差数列，
所以
，故A 正确；
又
，
不是固定不变的常数，
所以数列
不是等差数列，故B 错误；
由
，故C 正确；
由
，即
，令
，
所以
，所以
在
单调递增，又
，
所以当
时，
，
，即
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
11.（多选）已知数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4 为等差数列，
则数列1，3，6，10 被称为二阶等差数列．现有二阶等差数列
，其前6 项依次为4，8，10，10，8，
4，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列
的公差为2
B．
C．数列
的前7 项和最大
D．
【答案】BD
【分析】利用二阶等差数列定义可知数列
的公差为
，判断A；利用
是首项为4、公
差为
的等差数列，求出
，判断B；利用
，再由累加法可得
，利用数列的函数性质可得数列
的前6 项和最大，判断C；将
代入
计算判断D.
【详解】二阶等差数列
，其前6 项依次为4，8，10，10，8，4，从第二项开始，
每一项与前一项的差所组成的新数列的前5 项依次为4，2，0
，
，
易知新数列的公差为
，即数列
的公差为
，故A 错误．
是首项为4、公差为
的等差数列，所以
，故B 正确．
，所以
，
，…，
，
累加可得
，
则
，
由二次函数的性质可知当
时，数列
递减，且前6 项均为正数，易知
，所以当
时，
，
当
时，
，因此数列
的前6 项和最大，故C 错误．
由
可得
，故D 正确．
故选：BD．
12.把数列
与
的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列
，则数列
的
前202 项和为 .
【答案】49609
【分析】
与
的公共项为
，两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序可发现每两个
被去掉的相邻的公共项之间有5 项，其和构成等差数列，利用等差数列的前
项和公式即可求解.
【详解】
与
的第一个公共项为
是公差为3 的等差数列，
是公差为4 的等差数列，
则两数列的公共项构成首项为8，公差为12 的等差数列，即数列
，
两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序为
，且每两个被去掉
的相邻的公共项之间有5 项，
分别求和得
，
,
，
可以看到每相邻5 项的和依次构成首项为70，公差为60 的等差数列.
因为
，所以
的前202 项和为
.
故答案为：
.
13.1852 年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上，“物不知其数”问
题的解法被称为“中国剩余定理”．现有一个剩余问题：在［1，2025］的整数中，把被4 除余数为1，被
5 除余数也为1 的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列
，则
的项数
为 ，
的前
项
和为 ．
【答案】 102 103122
【分析】先根据题意将
表示出来，然后列出关于
的不等式并求解其范围，然后求前
项和即可.
【详解】依题意得，
既是4 的倍数也是5 的倍数，也就是20 的倍数，
所以
，即
，令
，则
，
又
，所以
，共102 项，即
．
因为
，所以
的前102 项和为
．
故答案为：①102；②103122.
1．（2025·全国二卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由等差数列前n 项和公式结合题意列出关于首项
和公差d 的方程求出首项
和公差d，再由等差
数列前n 项和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列
的公差为d，则由题可得
，
所以
.
故选：B.
2．（2025·北京·高考真题）已知
是公差不为零的等差数列，
，若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．18
【答案】C
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列
的公差为
，
因为
成等比数列，且
，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
所以
.
故选：C.
3．（2025·天津·高考真题）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
【答案】C
【分析】先由题设结合
求出数列
的通项公式，再结合数列
各项正负情况即可求解.
【详解】因为
，
所以当
时，
，
当
时，
，
经检验，
满足上式，
所以
，令
，
，
设数列
的前n 项和为
，
则数列
的前
项和为
数列
的前
项和为
.
故选：C
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成
和
来处理，亦可用等差数列的性质进行
处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由
，根据等差数列的求和公式，
，
又
.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，
，由
，根据等差数列的求和公式，
，故
.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差
，则
，则
.
故选：D
5．（2024·北京·高考真题）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4 个结论：
①若
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特
征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为
均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故
中至多一个元素，故①正确.
对于②，取
则
均为等比数列，
但当
为偶数时，有
，此时
中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设
，
，
若
中至少四个元素，则关于
的方程
至少有4 个不同的正数解，
若
，则由
和
的散点图可得关于
的方程
至多有两个不同的解，矛
盾；
若
，考虑关于
的方程
奇数解的个数和偶数解的个数，
当
有偶数解，此方程即为
，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时
，
否则
，因
单调性相反，
方程
至多一个偶数解，
当
有奇数解，此方程即为
，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时
即
否则
，因
单调性相反，
方程
至多一个奇数解，
因为
，
不可能同时成立，
故
不可能有4 个不同的整数解，即M 中最多有3 个元素，
取
，则
,故③正确.
对于④，因为
为递增数列，
为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨
论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题目所给条件
化简，即可证明结论；
（2）先求出
的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以
，作差并利用等比数列前
项和得出导
函数表达式，即可得出结论.
【详解】（1）由题意证明如下，
，
在数列
中，
，
，
∴
，即
，
∴
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，
，
在数列
中，首项为3，公差为1，
∴
，即
，
在
中，
，
∴
，
当
且
时，
∴
，
∴
∴
.
6．（2024·上海·高考真题）若
．
(1)
过
，求
的解集；
(2)存在
使得
成等差数列，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出底数
，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）存在
使得
成等差数列等价于
在
上有解，利用换
元法结合二次函数的性质可求
的取值范围．
【详解】（1）因为
的图象过
，故
，故
即
（负的舍去），
而
在
上为增函数，故
，
故
即
，
故
的解集为
.
（2）因为存在
使得
成等差数列，
故
有解，故
，
因为
，故
，故
在
上有解，
由
在
上有解，
令
，而
在
上的值域为
，
故
即
.
