6.2 等比数列（讲义）
目录
1 知识点01等比数列的定义........................................................................2
2 知识点02等比数列的通项公式................................................................2
3 知识点03等比中项....................................................................................2
4 知识点04等比数列的前n项和公式Sn....................................................2
5 题型一、等比数列的首项、公比、通项公式.........................................2
6 题型二、等比中项.....................................................................................8
7 题型三、等比数列的前n项和公式Sn....................................................111 知识点01等比数列的定义
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数
（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，
通常用字母 表示，定义的表达式为a ．
q
n+1=q
a
n
2 知识点02等比数列的通项公式
设等比数列{a }的首项为a ，公比为q(q≠0)，则
n 1
a
①通项公式a =a qn-1=c⋅qn (c= 1 )(a ,q≠0)．
n 1 q 1
②通项公式的推广：
a =a ⋅qn－m
n m
3 知识点03等比中项
①若a ，a ，a 成等比数列，那么a 叫做a 与a 的等比中项，并且
n-1 n n+1 n n-1 n+1
a2=a ∙a
n n-1 n+1
②等比中项的推广：若m+n=p+q时，则a a =a a ，特别地，当m+n=2p
m n p q
时， ．
a a =a2
m n p
4 知识点04等比数列的前n项和公式S
n
等比数列{a }的公比为q(q≠0)，则
n
{
&na (q=1)
1
①前 n 项和为S = a (1-qn ) a -a q
n & 1 = 1 n (q≠1)
1-q 1-q5 题型一、等比数列的首项、公比、通项公式
1．已知等比数列 的公比为2， ，则 （ ）
{a } a +a =10 a -a =
n 2 4 5 1
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】由等比数列通项公式求得首项即可求解；
【详解】由a +a =10，
2 4
可得：2a +8a =10，所以a =1，
1 1 1
所以a =16，
5
则a -a =15，
5 1
故选：C
2．在等比数列 中， ，则公比 （ ）
{a } a +a =3,a +a =81 q=
n 4 5 7 8
A．❑√3 B．±3 C．3 D．13
【答案】C
【分析】由等比数列的项之间的关系得到关于公比q的等式，求出q.
【详解】 ，
a +a =a q3+a q3=(a +a )q3=3q3=81
7 8 4 5 4 5
∴q=3，
故选：C.
3．已知数列 是等比数列，若 ，则 （ ）
{a } a +a =4,a +a =8 a =
n 1 4 2 5 3
16 5 3
A． B．3 C． D．
9 4 2
【答案】A
【分析】根据已知条件，利用等比数列的通项公式表达后计算求解.
【详解】a +a a 9 16
2 5=q=2,∴a +a = 3+a q= a =4,∴a =
a +a 1 4 q2 3 4 3 3 9
1 4
故选：A.
4．设 是等比数列， 成等差数列，则a （ ）
{a } a ,a ,a 11=
n 2 3 4 a
5A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【分析】根据题意，由等差中项列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设等比数列的公比为q，因为a ,a ,a 成等差数列，
2 3 4
所以 ，即 ，
2a =a +a 2a q2=a q+a q3
3 2 4 1 1 1
所以q2-2q+1=0，解得q=1，
所以a .
11=q6=1
a
5
故选：A
1 17
5．已知单调递减的等比数列{a }满足a a = ,a +a = ，则a =（ ）
n 2 4 64 1 5 32 10
1 1
A． B． C．512 D．1024
1024 512
【答案】A
【分析】应用等比数列基本量运算求解.
1 1 17
【详解】在等比数列{a }中，a a = ，所以a a = ，又a +a = ,a >a ，
n 2 4 64 1 5 64 1 5 32 1 5
1 1
解得a = ,a = ，
1 2 5 32
设 的公比为q，则 a 1 ，解得 1，
{a } q4= 5= q=±
n a 16 2
1
1 1
因为{a }单调递减，所以q= ,a =a q9= ．
n 2 10 1 1024
故选：A
6．在递增等比数列 中， ，且 ，则该数列的公比
{a } a a a =216 a +a =20 q
n 1 3 11 4 6
为（ ）
1
A． B．2 C．3 D．6
3
【答案】C
【分析】先利用等比数列的通项公式化简a a a =216得出a =6，再利用性
1 3 11 5质得a a =36，解方程组并结合数列的增减性可得a ,a ，即可求公比.
4 6 4 6
【详解】因数列 {a } 为等比数列，则 a a a =a3q12=(a q4) 3 =a3=216 ，
n 1 3 11 1 1 5
得 ，则 ，
a =6 a a =a2=36
5 4 6 5
因a +a =20，可得a =2,a =18或a =18,a =2，
4 6 4 6 4 6
因数列 为递增数列，则 且 ，此时 a ，则 .
{a } a =2,a =18 q>0 q2= 6=9 q=3
n 4 6 a
4
故选：C
7．在等比数列 中，若 ，则 （ ）
{a } a a =16，a +a =5 a =
n 3 5 2 4 2
A．1 B．9 C．1或9 D．-1或9
【答案】A
【分析】根据题意结合等比中项运算求解，并根据a ,a 同号取舍.
4 2
【详解】因为数列 为等比数列，
{a }
n
则 ，则 ，
a a =a2=16 a =±4
3 5 4 4
又因为a +a =5，所以a =5-a =1或9，
2 4 2 4
且 ，可知 同号，所以 .
a =a q2 a ,a a =1,a =4
4 2 4 2 2 4
故选：A.
8．已知数列{a }，a =1，a =2a ，若a =8，则n的取值为（ ）
n 1 n+1 n n
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由已知数列{a }是首项a =1，公比q=2的等比数列，求出通项，
n 1
再由a =8，即可求出n的值.
n
【详解】因为数列{a }，a =1，a =2a ，
n 1 n+1 n
则数列{a }是首项a =1，公比q=2的等比数列，
n 1
所以 ，
a =a qn-1=2n-1
n 1
又a =8，即2n-1=8=23，所以n=4.
n故选：A.
9．等比数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 （ ）
{a } S a +a =4 a +a =8 S =
n n 1 4 2 5 6
A．24 B．28 C．36 D．48
【答案】B
【分析】求出公比，得到a +a =16，从而得到S .
3 6 6
【详解】设公比为 ，则 a +a ，
q q= 2 5=2
a +a
1 4
所以 ，
a +a =(a +a )q2=4×4=16
3 6 1 4
所以S =a +a +a +a +a +a =4+8+16=28.
6 1 4 2 5 3 6
故选：B
10．已知等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则
{a } a =1 a 3a 9a a =
n 1 1 2 3 n
（ ）
1 1
A．3n B． C．3n-1 D．
3n 3n-1
【答案】D
1
【分析】应用等差中项的性质及等比数列的通项公式求得公比q= ，进而
3
写出通项公式.
【详解】由题设 ，若 的公比为 ，则 ， ，
6a =a +9a {a } q 6a q=a +9a q2 a =1
2 1 3 n 1 1 1 1
1 1
所以9q2-6q+1=0⇒ q= ，则a = .
3 n 3n-1
故选：D
二、填空题
11．设正项等比数列 的公比为 ，若 ， ， 成等差数列，则
{a } q a 3a a q=
n 2 1 3
．
【答案】2【分析】由条件结合等差数列定义可得2×3a =a +a ，结合等比数列通项
1 2 3
公式化简求其解，可得结论.
【详解】因为数列 的公比为 ，且 ，所以 ，
{a } q a >0 q>0
n n
因为a ，3a ，a 成等差数列，
2 1 3
所以 ，又 ，
6a =a q+a q2 a ≠0
1 1 1 1
所以q2+q-6=0，
所以q=-3（舍去）或q=2，
所以q=2.
故答案为：2.
12．若 是各项均为正数的等比数列，且 ， ，则 .
{a } a =1 a =16 a -a =
n 1 5 6 5
【答案】16
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据所给条件求出 ，再根据等
{a } q(q>0) q
n
比数列的通项公式计算可得.
【详解】设各项均为正数的等比数列 的公比为 ，因为 ，
{a } q(q>0) a =1
n 1
a =16，
5
所以 ，解得 或 （舍去），
a =a q4=q4=16 q=2 q=-2
5 1
所以a -a =a q-a =2a -a =a =16.
6 5 5 5 5 5 5
故答案为：16
13．已知等比数列 满足： ，且 是 与 的等差中项，则
{a } a =a2 -a a a a =
n 2n n 2 1 3 5
．
【答案】-1
【分析】由 得出 ，由 是 与 的等差中项得出 ，根据
a =a2 a =q -a a a a =-1
2n n 1 2 1 3 1
等比数列通项公式计算即可．
【详解】由等比数列 得， ， ，
{a } a ≠0 q≠0
n 1因为 a =a2 ，所以 a ⋅q2n-1=(a qn-1) 2，即 a ⋅q2n-1=a2q2n-2 ，化简得 a =q ，
2n n 1 1 1 1 1
因为 是 与 的等差中项，所以 ，即 ，
-a a a -2a =a +a -2a q=a +a q2
2 1 3 2 1 3 1 1 1
化简得q2+2q+1=0，解得q=-1，则a =-1，
1
得到 .
a =a ⋅q4=-1×1=-1
5 1
故答案为：-1
14．已知正项等比数列 满足 ， ，则 ．
{a } a -a =15 a -a =6 a =
n 5 1 4 2 6
【答案】32
【分析】根据等比数列定义及其通项公式列方程组即可求得结果.
【详解】设正项等比数列 的公比为 ，可知 ；
{a } q q>0
n
q2+1 5
因此可得¿，两式相除可得 = ，
q 2
1
解得q=2或q= ；
2
可得¿或¿（舍）；
因此a =32.
6
故答案为：32
三、解答题
15．已知数列 为等比数列．
{a }
n
(1)若a >0，且a a +2a a +a a =36,求a +a 的值；
n 2 4 3 5 4 6 3 5
(2)若 求数列 的通项公式．
a +a +a =7, a a a =8, {a }
1 2 3 1 2 3 n
【答案】(1)a +a =6
3 5
(2) 或
a =2n-1 a =23-n
n n
【分析】（1）根据题意结合等比数列性质可得 ，即可得结果；
(a +a ) 2=36
3 5（2）根据题意结合等比数列性质可得 ，设数列 的前3项依次为
a =2 {a }
2 n
2
,2,2q，结合题意列式求解即可.
q
【详解】（1）因为 ，则 ，即
a a +2a a +a a =36 a 2+2a a +a 2=36
2 4 3 5 4 6 3 3 5 5
，
(a +a ) 2=36
3 5
又因为a >0，所以a +a =6.
n 3 5
（2）因为 ，则 ，可得 ，
a 2=a a a a a =a3=8 a =2
2 1 3 1 2 3 2 2
2 2
设数列{a }的前3项依次为 ,2,2q，则有 +2+2q=7，
n q q
1
整理得2q2-5q+2=0，解得q=2或q= ，
2
此时 或 ，所以 或
¿ ¿ a =2n-1 a =23-n.
n n
16．已知等比数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．求
{a } S a -a =56 S -S =112
n n 6 3 6 3
数列 的通项公式.
{a }
n
【答案】 ．
a =2n
n
【分析】根据给定条件，结合等比数列通项公式列出方程组求出公比即可
得解.
【详解】依题意， ，
a -a =a (q3-1)=a (q-1)(q2+q+1)=56
6 3 3 3
q-1 1
S -S =a +a +a =a (1+q+q2 )=a q(q2+q+1)=112，则 = ，
6 3 4 5 6 4 3 q 2
解得 ， ，所以 .
q=2 a =8 a =8×2n-3=2n
3 n6 题型二、等比中项
1．设等差数列 的公差不为0，若 构成等比数列， ，则
{a } a ,a ,a a =6 a =
n 4 5 7 6 7
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据等差数列通项公式基本量运算结合三项成等比列式即可求解.
【详解】因为 构成等比数列，所以 ,
a ,a ,a a 2=a a
4 5 7 5 4 7
设等差数列公差为 ,所以 ,又因为 ,
d (a -d) 2=(a -2d)(a +d) a =6
6 6 6 6
即得 ,即 ,又因为 不是0，
(6-d) 2=(6-2d)(6+d) d2-2d=0 d
所以d=2,
所以a =a +d=6+2=8.
7 6
故选：D.
2．已知等差数列 的首项为1，若 成等比数列，则 （ ）
{a } a , a , a +1 a =
n 1 2 3 4
A．-2 B．4 C．8 D．-2或4
【答案】B
【分析】设出公差，根据a , a , a +1成等比数列，得到方程，求出d=±1，
1 2 3
检验后得到答案.
【详解】由题意得 ， ，且 ，
a =1 a2=a (a +1)=a +1 a ≠0
1 2 1 3 3 2
设公差为 ，则 ，解得 ，
d (1+d) 2=1+2d+1 d=±1
若d=1，则a =2，a =1+3=4，满足要求，
2 4
若d=-1，则a =0，不合要求，舍去，
2
故a =4.
4
故选：B
3．在等比数列 中，已知 ， ，则公比 （ ）
{a } a =2 a a =28 q=
n 2 4 6A．-2 B．❑√2 C．2 D．±2
【答案】D
【分析】由等比数列的性质得到q6=64，即可求出公比.
【详解】由已知有 ，所以
28=a a =a q2 ⋅a ⋅q4=2q2 ⋅2q4=4q6
4 6 2 2
28 256
q6= = =64，从而q=±2.
4 4
故选：D．
4．已知在等比数列 中， ， ，则 （ ）
{a } a =1 a a a =8 a =
n 4 2 6 7 7
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】由等比中项求出a 的值，再求公比，即可得到故a 的值.
5 7
【详解】因为 ，又 ， ，
a a a =8 a a =a a a a =a2
2 6 7 2 6 3 5 3 7 5
所以 ，解得 ，
a3=8 a =2
5 5
则公比 a ，
q= 5=2
a
4
故 ，
a =a q2=8
7 5
故选：B．
5．已知数列 为等比数列，其中 为方程 的两根，则
{a } a ,a x2+4x+3=0
n 6 10
a =（ ）
8
3
A． ±❑√3 B．-❑√3 C．❑√3 D．
2
【答案】B
【分析】根据韦达定理可得a ⋅a =3，利用等比数列的中项性质即可求解.
6 10
【详解】由题得，根据韦达定理可得a ⋅a =3，a +a =-4，则a ,a <0，
6 10 6 10 6 10
由等比数列的中项性质可得： .
a ⋅a =a 2=3,∴a =±❑√3
6 10 8 8
因为等比数列的偶数项符号相同，a ,a 都是负数，
6 10所以 .
a =-❑√3
8
故选：B.
6．已知正项等差数列 的首项为2，若 成等比数列，则
{a } a ,a ,a +1 a =
n 1 2 3 4
（ ）
A．2+3❑√2 B．-2+3❑√2
C．2-3❑√2 D．2+3❑√2或2-3❑√2
7．已知等差数列 的首项为1，公差不为0，且 成等比数列，则
{a } a ,a ,a
n 2 3 6
a 等于（ ）
8
A．-11 B．-13 C．-24 D．8
8．等差数列 的首项为1，公差不为0.若 成等比数列，则 的
{a } a ,a ,a {a }
n 2 3 6 n
公差为（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
二、填空题
9．在各项均为正数的等比数列 中， ， ，则 ．
{a } a a =144 a =6 a =
n 3 13 5 2
10．已知等差数列
{a }(n∈N*)
中
a
、
a
、
a
成等比数列，
a =13
，则
a =
n 1 2 6 5 9
．
11．已知数列 的通项公式为 ，若 是 与 的等比中项，则
{a } a =2n+6 a a a
n n m 1 2m
m= .
12．在等比数列 中， ， ．则 ．
{a } a a =36 a +a =60 a =
n 3 5 4 6 1
三、解答题
13．已知{an}为等比数列．
1
(1)等比数列{an}满足a a = ，求a a2a ；
2 4 2 1 3 5
(2)若a >0，a a +2a a +a a =49，求a +a ；
n 5 7 6 8 6 10 6 8
(3)若a >0，a a =9，求log a +log a +⋯+log a 的值．
n 5 6 3 1 3 2 3 107 题型三、等比数列的前n项和公式S
n
1．已知等比数列 的公比为2，前 项和为 .若 ，则 （ ）
{a } n S S =511 a =
n n 9 3
A．4 B．8 C．16 D．32
2．设 为公比为 的等比数列 的前 项和，且 ，则 （ ）
S q {a } n 2S =7a q=
n n 3 2
15 1 15 1
A． B．2 C． 或 D． 或2
2 2 4 2
3．已知等比数列 的前 项和为 ，则
{a } n S ,a +a +a =1,a +a +a =2 S -S =
n n 1 3 5 2 4 6 12 6
（ ）
A．18 B．54 C．128 D．192
4．设 为正项等比数列 的前n项和，已知 ， ，则 的值
S {a } a =2 S =a -2 a
n n 1 4 5 10
为（ ）
A．20 B．512 C．1024 D．2048
9
5．记S 为等比数列{a }的前n项和，若a =3，S = ，则公比q=（ ）
n n 2 2 2
1 1
A． B． C．3 D．2
2 3
6．设等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
{a } S a =-1 32S =31S a =
n n 1 10 5 6
1 1 1 1
A．- B．- C． D．
32 64 32 64
7．若等比数列 的前 项和 ，则公比 （ ）
{a } n S =2n-1 q=
n n1 1
A． B．- C．2 D．-2
2 2
8．已知首项为负数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
{a } n S S =3 S =63
n n 2 6
a =（ ）
4
A．8 B．16 C．24 D．48
9．已知 是等比数列 的前 项和，且 ， ，则公比 （ ）
S {a } n S =1 S =-7 q=
n n 3 6
1 1
A．- B． C．-2 D．2
2 2
二、填空题
10． 是等比数列 的前 项和，已知 ，则 ．
S {a } n a +S =6,S =3a a =
n n 3 3 3 3 2
3
11．记S 为等比数列{a }的前n项和，若a =1,S = ，则S = .
n n 1 3 4 4
12．已知公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则
q {a } n S ,a =3,S =13 q=
n n 2 3
.
13．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 .
{a } n S S =3a a =8 S =
n n 2 1 4 5
14．记 为等比数列 的前 项和.若 ，则 的公比为 .
S {a } n S =9S {a }
n n 6 3 n
三、解答题
1
15．在等比数列{a }中，已知a = ，a =4．求：
n 1 2 4
(1)数列 的通项公式；
{a }
n
(2)数列 的前5项和 ．
{a2} S
n 516．在等比数列{an}中，
3
(1)已知a =- ,a =96，求前4项和S ；
1 2 4 4
1 31
(2)已知公比q= ，前5项和S = ，求a ,a .
2 5 8 1 5
