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2025 年高考数学第二次模拟考试
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先计算集合A，再应用补集定义运算即可.
【详解】由题意可得
，
又
，则
.
故选：C.
2．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到
，再利用共轭复数的定义，即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
故选：C.
1
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3．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合函数奇偶性的性质以及幂函数的定义与性质分别检验各选项即可．
【详解】根据幂函数的定义可知：
为幂函数，
且定义域为
，满足
为奇函数，故A 正确；
为偶函数,故排除B 选项；
令
，∴
，所以为非奇非偶函数，C 错误；
的定义域为
，不关于原点对称，所以
为非奇非偶函数，故D 错误，
故选：A．
4．已知直线
被圆
截得的弦长为2，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】A
【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据
即可求得结果.
【详解】圆心
到直线的距离
，弦长的一半为
.
故选：A.
5．双曲线
两个焦点
，焦距为8，M 为曲线上一点，
则
（ ）
A．1
B．1 或9
C．9
D．3
【答案】C
【分析】由双曲线的定义和性质可得；
【详解】由题意可得
，即
，
又
，即
，
2
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由双曲线的定义可得
，解得
或9，
又
，所以
.
故选：C
6．记
为
的内角
的对边，则“
为直角三角形”是“
”的
（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简确定三角形形状，再利用充分条件、
必要条件的定义判断.
【详解】在
中，由
及正弦定理，得
，则
，
而
，则
，两边平方整理得
，而
，
于是
，
，因此
为直角三角形；
反之，
为直角三角形，
或
或
，
所以“
为直角三角形”是“
”的必要不充分条件，B 正确.
故选：B
7．已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】先根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出
和
的值，再代入式子求解即可.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由
，得
，
3
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即
，即
，则
，
设等比数列
的公比为
，由
，得
，
即
，则
，即
，
所以
.
故选：C.
8．已知向量
为单位向量，且满足
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律计算得解.
【详解】由
，得
，则
，
由
，得
，则
，
而
为单位向量，所以
.
故选：C
9．我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严
格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率
的公式
，其中
是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），
是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其
中
叫做信噪比．根据此公式，在不改变
的前提下，将信噪比从99 提升至
，使得
大约增加了
60%，则
的值大约为（ ）（参考数据：
）
A．1559
B．3943
C．1579
D．2512
【答案】C
【解析】由题意可得
的方程，再由对数的运算性质求解即可．
4
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【详解】由题意得：
，
则
，
，
故选：C
10．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一（如图）．曲线与
轴交于
、
两点，点
为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）
A．图形关于
轴对称
B．点
的纵坐标的最大值为
C．
D．
【答案】D
【分析】利用图形的对称性可判断A 选项；当
时，分析可知，关于
的方程
有解，
由
可判断B 选项；当
时，化简曲线
的方程，结合基本不等式可求出
的最大值，可判断C 选
项；解法一：当
时，化简曲线
的方程，结合基本不等式求出
的范围，即可求出
的范围，可判断D 选项；解法二：当
时，化简曲线
的方程可得出
，利用三角换
元可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，在曲线
上任取一点
，则
，
5
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点
关于
轴的对称点为
，则
，
所以，曲线
关于
轴对称，故A 正确；
对于B，当
时，方程变换为
，
由题意可知，关于
的方程
有解，
由
，解得
，所以
的最大值为
，故B 正确；
对于C 选项，当
时，由
可得
，（当
时取等号），
所以，
，
．故C 正确；
对于D，解法一：令
解得
，记
，
当
时，由
可得
，（当
时取等号），
所以，
，则
．
又
．故D 错误；
另解：有对称性可知，只需要讨论
即可，此时
，
即为
，
令
，其中
，可得
，
6
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，
因为
，故
，
，
．
，D 错.
故选：D.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．在
的展开式中，
的系数为
用数字填写答案
【答案】80
【分析】先求出展开式通项公式，进而得x 的系数．
【详解】解：
的展开式的通项公式为：
由
得
则展开式中x 的系数为
故答案为：80
12．在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
、
、
，则
.
【答案】
【分析】利用余弦定理可得
，进而可求
.
【详解】因为
、
、
，
由余弦定理可得
，
7
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且
，所以
.
故答案为：
.
13．已知点
在抛物线
上，则抛物线
的焦点坐标为 ；点
到抛物线
的准线的
距离为 .
【答案】
【分析】根据A 在抛物线上，代入抛物线标准方程后可求出抛物线标准方程，进而求出焦点坐标以及准线
方程，最后可求A 到准线距离.
【详解】如图所示，
由题意得，因为
在抛物线上，
所以将A 坐标代入抛物线标准方程可得
，
所以抛物线标准方程为
.
于是可得抛物线焦点坐标为
，即
，
准线方程为
，即
，
所以A 到准线的距离为
.
故答案为：
，
.
8
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14．已知函数
，若
，则
的最小值为 ；若
恰有2 个零
点，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】当
时，分段求函数的值的范围，由此求
时函数的最小值，就
时函数的零点个数展
开讨论，列不等式求
的范围.
【详解】若
，则
，
当
时，函数
在
上单调递增，故
，
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
.
若当
时，
有个零点，
则当
时，
有个零点，
则
，解得
9
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若当
时，
没有零点，
则当
时，
有
个零点，则
或
，
解得
.
综上，
或
.
故答案为：
；
.
15．设
是一个无穷数列
的前
项和，若一个数列满足对任意的正整数
，不等式
恒成立，
则称数列
为和谐数列，下列说法正确的是（ ）
①．若数列
满足：
，则
为和谐数列
②．对任意的正整数
均有
，则
为和谐数列
③．若等差数列
是和谐数列，则
一定存在最大值
④．若
的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列
是和谐数列
10
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【答案】①②④
【分析】先证明
等价于
，对于①，结合等比数列求和公式证明
，由此判断①，
对于②，由条件结合前
项和的定义证明
，判断②，对于③，设等差数列
的公差为
，
先证明
为等差数列，公差为
，再结合定义证明
，结合等差数列求和公式判断③，举例说明满
足条件的数列存在，判断④.
【详解】因为
，
对于①，
，所以
为和谐数列，故①正确；
对于②，若
，则
，所以②正确；
对于③，设等差数列
的公差为
，则
，
所以
，即
为公差为
的等差数列，
若
为和谐数列，即
，则
，
则数列
是单调递增的等差数列，又
是无穷数列，
所以
无最大值，所以③错误；
对于④，取
，
，
则
，
，
下面证明
，即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列，
11
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即证
，
即证
，
即证
，
当
时，上式左边为负数，显然成立；
当
时，即证
，即
，
而
所以
式成立，所以④正确.
故选：①②④.
三、解答题：本题共5 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（满分13 分）如图，四棱锥
的底面
为正方形，侧面
底面
．设平面
与平面
的交线为．
(1)证明：
平面
；
(2)已知
，
，
为上的点，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
．
【分析】（1）先应用线面平行判定定理结合性质定理，再结合面面垂直的性质定理得出线面垂直；
（2）应用空间向量法计算线面角结合值域即可求出最大值.
【详解】（1）在正方形
中，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，所以
，
12
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因为
，平面
平面
且平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，则
平面
．......................5 分
（2）取
中点记为
，
中点记为
，连接
，所以
，
连接
，因为
为等腰三角形，所以
，
所以
，
，
两两垂直，
如图建立空间直角坐标系
，
因为
，
，
所以
，
，
，
，
，
令
，所以
，
，
，
记平面
的一个法向量
，则
，
可取
，记直线
与平面
所成的角为
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
故直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
．......................13 分
17．（满分14 分）已知函数
13
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(1)求
的单调递增区间；
(2)若
的图像是由
的图像向右平移
单位长度得到，则当
，求满足
实
数x 的集合.
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】（1）令
，解出x 的范围即可；
（2）根据图像平移求出
)解析式，结合三角函数图像即可求解不等式.
【详解】（1）
令
，
，则
，
，
所以
的单调递增区间为
，
；......................8 分
（2）由题意可得
，
14
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由
可得
，因为
，所以
，
由正弦函数图像可得
，
则
，所以x 的取值集合为
......................14 分
18．（满分13 分）随着教育部的“双减政策”落地，为了丰富高中基础年级学生的课余生活，2025 年元
旦期间，某校师生举行一场惊心动魄的足球比赛；由教师代表队、高一学生代表队和高二学生代表队组成、
得分规则为：球队胜一场积3 分，平一场积1 分，负一场积0 分．由教师代表队与高一学生代表队和高二
学生代表队的两场比赛．根据前期比赛成绩，教师代表队与高一学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为
，平的概率为
，负的概率为
；由教师代表队与高二学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为
，平
的概率为
，负的概率为
，且两场比赛结果相互独立．
(1)求教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率；
(2)用
表示教师代表队两场比赛获得积分之和，求
的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）将事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比
赛获得积分”分为“教师胜高二且教师平高一”、“教师胜高二且教师负高一”、“教师平高二且教师负
高一”，进而可得；
（2）由题意
的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，先求随机事件对应的概率进而可得其分布列与期望.
【详解】（1）设事件
“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为3 分”，
事件
“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为1 分”，
事件
“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为0 分”，
事件
“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为3 分”，
15
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事件
“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为1 分”，
事件
“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为0 分”，
事件
“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分”，
，
，
，
则
，......................5 分
教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率为
．
（2）由题意可知
的所有可能取值为0，1，2，3，4，6．
，
，
，
，
，
．
的分布列为
0
1
2
3
4
6
．......................13 分
19．（满分15 分）已知椭圆的中心在坐标原点
，焦点在
轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个
端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点
与
轴不垂直的直线交椭圆于
，
两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在线段
上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出
的
取值范围；若不存在，请说明理由.
16
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【答案】（1）略
（2）
【详解】解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为
．
∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴
． 所求椭圆方程为
． ……………5 分
（Ⅱ）假设在线段
上存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形．因为直线
与
轴不垂直，所以设直线的方程为
．
由
可得
．
∴
．
．其中
以
为邻边的平行四边形是菱形
．
∴
． ………………………15 分
17
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20．（满分15 分）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)证明：
在
上恒成立；
(3)讨论方程
在
上的根的个数.
【答案】(1)当
时，
单调递减；当
时，
单调递增 (2)证明见解析 (3)答案见解析
【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性即可；
（2）令
，先利用导数证明
恒成立，即可证明
在
上恒成立；
（3）由（2）可知
在
上的根的个数即方程
的根的个数，令
，
利用导数求
的单调性进而得到
的范围即可求解.
【详解】（1）由题意当
时
，则
，
令
解得
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．.......................4 分
（2）先证明对任意
，
，
令
，
，
令
解得
，
所以当
时，
，
单调递减；
18
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当
时，
，
单调递增．
所以
，即
，
故
对任意
成立，且当且仅当
时取等号，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
所以
在
上恒成立．.......................9 分
（3）由（2），
在
上恒成立，当且仅当
时等号成立，
也即
的根为
的根，下讨论方程
的根的个数，
化简得
，令
，则
，
令
解得
，
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，
又
，且当
时，
，
时，
，
故当
时，方程
无实根；当
时，方程
有一个实根；当
时，方程
有两个实根；当
时，方程
有一个实根，
综上所述当
时，方程
无实根；当
时，方程
有一个实根；当
时，
方程
有两个实根；当
时，方程
有一个实根．.......................15 分
21．（满分15 分）若数列
满足如下两个条件：①
是1，2，3，
，
的一个全排
列;②
或
，k 为常数且
则称数列
为“
数列”.
19
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(1)请写出所有的“
数列”;
(2)证明：k 是奇数;
(3)当
时，求k 的最大值，并说明理由.
【答案】(1)①，2，3，
②，4，3，
③
，1，4，
④
，3，4，
⑤，2，1，
⑥，4，1，
⑦
，1，2，
⑧
，3，2，1；
(2)证明见解析
(3)
，理由见解析
【分析】（1）应用新定义写出“
数列”；
（2）应用已知新定义结合累加及分奇数，偶数分别判断证明；
（3）根据已知及数列的新定义分奇偶分类讨论计算最值.
【详解】（1）①，2，3，
②，4，3，
③
，1，4，
④
，3，4，
⑤，2，1，
⑥，4，
1，
⑦
，1，2，
⑧
，3，2，1；......................5 分
（2）由条件得
或
，
设
的有
个，
的有
个，
的有
个，
的有
个.
则
即
，
若k 为偶数，则
为偶数，
①当
为奇数，则
中的每一项均为奇数，不合题意;
②当
为偶数，则
中的每一项均为偶数，不合题意，
所以k 不能为偶数，即k 为奇数.......................10 分
（3）
的最大值为
首先我们可以写出一个满足要求的数列：
20
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当
时，
，则
当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，
当
时，
，则
当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，
且
下面用反证法证明没有比1011 更大的k 的值.
由
知， k 为奇数，假设
，现在考虑1013 这个数，
因为对于任意一个小于等于2024 的正整数i，
，
即数列
中的任意一项不能与1013 相邻，但1013 是数列
中的一项，矛盾.
所以
，所以k 的最大值为
......................15 分
21
