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2025 年高考数学第二次模拟考试
高三数学·参考答案
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
A
A
C
B
B
D
B
C
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．
12．
13．
14．
/
15．①③④
三、解答题：本题共6 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（满分13 分）
【答案】（1）因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，又
，
平面
，
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，.......................4 分
（2）由（1）
平面
，
如下图，以
为原点，
为
轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为
，
，
，所以
，
因为
，
，
，所以
，
所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
1
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则
，即
，
取
，则
，
，
所以
为平面
的一个法向量，.......................9 分
所以
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值
；.......................13 分
17．（满分14 分）
【答案】（1）由题可知，
选择①③：
因为
，所以
，
又因为
，所以
．
所以
．
选择②③：
因为
，所以
，
2
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又因为函数
的最大值为
，所以
．
所以，
选择①②：无法确定
因为
，
当
时，可得
，
当
，即
时，
取得最小值
，
因为
时，
恒成立，所以
，
即实数
的取值范围为
........................8 分
（2）由
图象的横坐标缩小为原来的
，可得：
，
再将其向右平移
，可得：
，
即函数
，.......................10 分
因为
，所以
，在给定区间的正弦函数的零点是
，
再由函数
有且仅有4 个零点，则满足
，
解得
，所以实数的取值范围
........................14 分
18．（满分13 分）
【答案】（1）解：由图可知，亩产量是
的概率约为
，
亩产量是
的概率约为
，亩产量是
的概率约为
，
估计
地区明年每亩冬小麦统一收购总价为
元的概率为
.......................4 分
3
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（2）解：由题意可知，随机变量
的可能取值有：
、
、
、
、
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
........................11 分
（3）解：建议农科所推广该项技术改良，
设增产前每亩冬小麦产量为
，增产后每亩冬小麦产量为
，则
，
设增产后的每亩动漫小麦总价格为
元，分析可知
，
所以，增产的
会产生增加的收益为
，
故建议农科所推广该项技术改良........................13 分
19．（满分15 分）
【答案】（1）因为椭圆E 过点
，所以
，
又因为长轴长为4，所以
，所以
，
所以
.
椭圆E 的方程为：
，离心率
........................5 分
（2）由
得：
，.......................7 分
由
得：
或
，
4
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设点A 的坐标
，点B 的坐标
，则点D 的坐标
，
，
由已知得直线AD 有斜率，直线AD 的方程为：
，
令
得：
，.......................14 分
所以直线AD 过定点
........................15 分
20．（满分15 分）
【答案】（1）当
时，
，则
，
则
在区间
上单调递减，所以，
，无最小值........................4 分
（2）函数
的定义域为
，
，
（ⅰ）若
，则
，所以
在
单调递减；
（ⅱ）若
，则由
得
.
当
时，
；当
时，
，
5
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所以
在
单调递减，在
单调递增.
综上所述，当
时，函数
的减区间为
；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
......................8 分
（3）分析以下几种情况讨论：
（ⅰ）若
，函数
在
上为减函数，则
至多有一个零点；
（ⅱ）若
，由（1）知，当
时，
取得最小值，最小值为
.
当
时，由于
，故
只有一个零点；
当
时，由于
，此时，函数
没有零点；
当
时，
，
又
，故
在
有一个零点.
设正整数
满足
，
则
.
由于
，因此
在
有一个零点.
综上，
的取值范围为
........................15 分
21．（满分15 分）
【答案】（1）由题知：数列 A4
，4，2，9 经过
次“
变换”后得到的数列依次为：
........................4 分
（2）充分性：当
时，数列
，
，
经过一次“
变换”后结束，
必要性：即证明当
，
，
不全相等时，
，
，
经过有限次“
变换”后不会结束，
6
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设数列
，
，
，数列
，
，
，数列
，0，0，且
，
由充分性易知：数列 E 只能为非零常数列，
不妨设
为了变换得到数列E 的前两项，数列D 只有如下四种可能：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
那么数列E 的第三项只能是0 或者
即不存在数列D，使其经过一次“
变换”后变为非零常数列，
故当
，
，
不全相等时，
，
，
经过有限次“
变换”后不会结束，
必要性得证........................9 分
（3）数列
，2，2028 经过一次“
变换”后得到数列
，2026，
其结构为a，
，4，且
远大于
，
那么其经过
次“
变换”后得到数列依次为：
4，a，
，4，
，
，
，
，
，4，
，
，4
所以数列a，
，4 经过6 次“
变换”后得到的数列结构也是形如a，
，4 的数列，
仅除4 之外的两项均减小24，
因为
，
所以数列
经过
次“
变换”后得到数列6，10，4，
接下来经过“
变换”依次得到4，6，2；2，4，2；2，2，0；0，2，2，
至此数列各项之和最小值为4，K 的最小值为
.......................15 分
7
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