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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）01·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
A
A
C
A
A
D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ACD
ABD
ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．60
13．10
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13 分）
【解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
故
， …………………………2 分
可得
， …………………………3 分
在
中，
，
，
所以
，
，则
， …………………………5 分
所以
. …………………………6 分
（2）由正弦定理可得
（
为
外接圆的半径），
所以
，
， …………………………7 分
因为
，则
，
，
所以
， …………………9 分
因为
为锐角三角形，则
，解得
， ………………………11 分
则
，
，故
. …………………………13 分
16．（本小题满分15 分）
【解】（1）依题意可得
，
，故
， …………………………1 分
设
，则
， …………………………2 分
，
在
上单调递增， …………………………4 分
，
在
上单调递增，无极小值点； …………………………6 分
（2）令
，可得
，
所以
与
恰有两个交点， …………………………7 分
设
，则
， …………………………8 分
令
可得
，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增 …………………………11 分
， …………………………13 分
当
时，
；当
时，
， …………………………14 分
的取值范围是
…………………………15 分
17．（本小题满分15 分）
【解】（1）在三棱台
中，
取
的中点
，连接
， …………………………1 分
由
，得
，
由平面
平面
，平面
平面
，
平面
，得
平面
，
而
平面
，则
， …………………………3 分
又
，
则四边形
是菱形，
， …………………………4 分
而
平面
，
因此
平面
，又
平面
，
所以
. …………………………5 分
（2）取
中点
，则
，
由平面
平面
，平面
平面
，
平面
，则
平面
，直线
两两垂直， ……………………6 分
以点
原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
设
，
则
，
，
， …………………………7 分
设平面
的法向量
，则
，
取
，得
， …………………………9 分
设直线
与平面
所成的角为
，
， …………………12 分
当且仅当
，即
时取等号，
所以三棱台
的体积
. …………………………15 分
18．（本小题满分17 分）
【解】（1）由椭圆
短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，
得
，则
， ………………………2 分
所以椭圆
的方程为
. …………………………3 分
（2）设直线
方程为
，
，
， …………………4 分
由点
在第一象限且与点
关于
轴对称，得直线
关于
轴对称，
，
由
消去
得
，
则
，
， ………………………6 分
直线
方程为
， …………………………7 分
令
，得
， ……………………10 分
所以点
. …………………………11 分
（3）由（2）知，
，
， …………………………13 分
由
，
得
， …………………………15 分
因此
，
所以
. …………………………17 分
19．（本小题满分17 分）
【解】（1）由题意，前2 次移动向雷达发送信息，
则需要连续向左移动2 次，则
， …………………………1 分
若机器人经过
，则必不经过3，包括：
前两次都向左移动1 个单位；
先向左移动1 个单位，再向右移1 个单位，再向左移动2 个单位；
先向右移动1 个单位，再向左移动3 个单位，
则其概率
， …………………………3 分
若机器人经过3，则必不经过
，包括：前3 次连续向右移动，
则其概率
，
故
； …………………………5 分
（2）（i）
，
因此
， …………………………7 分
，
，
对于一系列无穷事件
，存在正数
，
对于任意的n 都有，
， …………………………9 分
则“
中只有有限个事件同时发生”的概率为1，
即“
中有事件不发生”的概率为1，即“雷达会收到信息”的概率为
………………………10 分
（ii）设事件
机器人从出发，运动至3 首次发送信息
，
根据（i），机器人发信息的概率为1，即它会从0 运动至
或3 的概率为1，
再根据对称性，机器人初始位置为0，首次发信息在
的概率与初始位置在1，
首次发信息在3 的概率相等，即
………………………11 分
设事件
表示点移动到1，事件
，表示点移动到0，设事件
表示点移动到
易知事件
与事件
相互独立，故
…………………………12 分
又根据全概率公式，若机器人初始位置为0，
第一次移动后的位置为1 或
，故
，
故
，① …………………………14 分
若机器人初始位置为
，第一次移动后的位置为0，故
，
即
，② …………………………16 分
解①②，解得
，
从而雷达第一次收到信息时机器人位置为3 的概率为
…………………………17 分
