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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（天津）01·参考答案
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C
B
A
C
B
B
A
D
D
三、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．
11．28
12．
13.
14.
15.
或
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14 分）
【解】（1）在
中，由正弦定理
，
，
，
可得
，
因为
，所以
，即
，
显然
，解得
．
（2）在
中，由余弦定理
，
得
，解得
或
．
由已知
，
，互不相等，所以
，
1
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所以
．
（3）因为
，所以
，
所以
，
，
所以
.
17．（本小题满分15 分）
【解】（1）由题意
分别为
的中点，
所以
是
的中位线，
即
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）由于四边形
是正方形，
平面
，
所以
两两垂直，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
又
，
分别为
的中点，
则
，
2
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所以
；
设平面
的一个法向量
，
则
，
解得
，令
，得
；
即
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
解得
，令
，
即
；
设平面
与平面
夹角的大小为
，
所以
，
又
，所以
；
即平面
与平面
夹角的大小为
；
（3）由（2）平面
的一个法向量为
；
又
，
所以点
到与平面
的距离距为：
3
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.
18．（本小题满分15 分）
【解】（1）由椭圆的离心率为
，可设
，
，则
，
四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为
，
即
，所以椭圆的方程为：
.
（2）设
，联立直线
与椭圆
，
消去y 可得
，
，则
，
，
设PQ 的中点为
，则
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，所以
，
又
，所以
，
又
，故
即
，
所以
的取值范围是
，
所以
面积的取值范围为
.
4
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19．（本小题满分15 分）
【解】（1）因为
，所以
，且
，
所以
是首项为，公比为的等比数列，所以
，所以
，
所以
的通项公式为
；
（2）①设
的公差为
，因为
，
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
②所以
，
所以
，
所以
，
5
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又因为
，所以
.
20．（本小题满分16 分）
【解】（1）
,
∵曲线
在
处的切线的方程为
，
所以
， ∴
；
（2）当
时，
，则
，
当
时，
，
递减，当
时，
，
递增，
由于
，且
，故不妨设
，
则要证明
，即证
，而
，
当
时，
递增，故即证
，
由于
，即只需证明
，
令
，
则
，
当
时，
，
即
单调递减，故
，
即
时，
，即有
，
故原命题成立，即
；
（3）因为
，
，
6
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所以
，故函数
在
上单调递增，
不妨设
，则
可化为
，设
，则
，
所以
为
上的增函数，即
在
上恒成立，
等价于
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
又
，所以
，所以
，
对于函数
，
，当
时，
，
故
在
上是增函数，所以
，
所以
，即m 的取值范围为
.
7
