文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（天津）01·参考答案
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
C
C
A
D
B
D
D
D
三、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．
/
11．10
12．
13. 150 120
14.
15.
或
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14 分）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形面积公式
可得角C，再用余弦定理求；
（2）根据正弦定理
即得；
（3）先用二倍角公式求出
，然后再用两角差的正弦公式求值.
【详解】（1）
，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，又
是锐角三角形，
，又由三角形余弦定理得：
，
．
（2）由三角形正弦定理得：
，即
，
.
（3）又
，
，
，
，
又
,
．
17．（本小题满分15 分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依据题意建立以A 为原点，分别以
，
，
方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直
角坐标系
，求出
和平面
的一个法向量，计算
即可得证.
（2）由（1）得直线
的方向量
，平面
的一个法向量
，设直线
与平面
所成
角为
，则由
即可得解.
（3）求出平面
的一个法向量
，计算
，则由计算结果即可得解.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）如图，以A 为原点，分别以
，
，
方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标
系
，
由题意可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
故
，即
，则
，
令
，得
，
所以
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）得直线
的一个方向向量为
，平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）设平面
的一个法向量
，由（1）可得
，
，
则
，故
，即
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，得
，
所以
，
所以平面
与平面
所成角的余弦值为
.
18．（本小题满分15 分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由条件可得
，再由离心率可求得，从而求得
，即可得到椭圆的标准方程；
（2）根据题意，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出
的坐标，再由直线
的方程表示出点
的坐标，再由等量关系，即可得到结果.
【详解】（1）由题设得
，所以
，
又离心率为
，解得
，
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）因为
，所以设直线的方程为
，且
，
联立
，整理可得：
，
则
，故
，
则
，所以
，
又直线
的方程
，联立
，整理可得：
，
所以
，则
，且满足
.
则直线的方程为
.
19．（本小题满分15 分）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据
与
的关系得到
，再根据等比数列的性质即可得到
；
（2）利用裂项相消法即可得结果；
（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.
【详解】（1）当
时，
，解得
.
当
时，
，
所以
，
即
是以首先
，公比为的等比数列，即
.
因为
，
成等比数列，
所以
，即
，解得
.
所以
.
（2）由（1）得
，
则
（3）
，
因为
，
设
，前
项和为
，
则
，
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
所以
20．（本小题满分16 分）
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
.
【分析】（1）对函数求导数，求出在点
处的斜率，最后求切线方程即可；
（2）（ⅰ）方程
有两个不相等的正实根，等价于函数
的图象与直线
有
两个交点，利用函数导数求出极值，再结合图象求出
的取值范围即可；
（ⅱ）结合（ⅰ）及指对互化得
，
，从而把
最小值化为
的最小值，多
次构造函数，求导，研究函数的单调性及最值，利用最值即可求解.
【详解】（1）当
时，
，所以
，
所以
，又
，
所以函数
在点
上的切线方程为
，即
；
（2）（ⅰ）
即
，则有
，
，
设
，
，则
，令
，得
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又x 趋向于0 时，
趋向负无穷，x 趋向于正无穷大时，
无限趋向0，且
，
函数
的图象如下：
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由题意，方程
有两个不相等的正实根，
即方程
有两个不相等的正实根，
所以函数
的图象与直线
有两个交点，
由图知，
，故实数a 的取值范围为
；
（ⅱ）因为
，由（ⅰ）得
，则
，
所以
，设
，则
，
即
，
，
由题意
有最小值
，即
有最小值，
设
，
，则
，
记
，则
，
由于
，
，
时，
，则
在
上单调递减，
时，
，则
在
上单调递增，
又
，
，且t 趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，
故存在唯一
，使得
，
时，
，即
，所以
在
上单调递减，
时，
，即
，所以
在
上单调递增，
所以
时，
有最小值
，
而
，则
，即
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
由题意知
，令
，
设
，则
，
设
，则
，
设
，则
，
故
在
上单调递增，
，此时
在
上单调递增，
有
，此时
，故
在
上单调递增，
又
，故
的唯一解是
，
故
的唯一解是
，即
，
综上所述，
.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理.
8
