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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（广东卷）01·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得
，解得
，则
，
因为
，则
，
因此，
.
故选：A．
2．若复数
满足
（i 为虚数单位），则
的虚部是（ ）
A．i
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，可得
，
所以
的虚部是
.
故选：D.
1
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3．已知平面向量
，
，
，若
与
平行，则实数
的值为（ ）
A．
B．4
C．
D．1
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
所以
，
由
与
平行，
得
，
解得
故选：D.
4．已知
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】
如图
为正方体，
设直线
为
，直线
为
，平面
为
，
则
，但
，A 错误；
2
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设平面
为
，平面
为
，直线
为
，
因为
，则直线
为直线
，
满足条件
，但
不垂直，B 错误；
设平面
为
，平面
为
，平面
为
，
则
，则
相交，C 错误；
设直线
的方向向量为
，直线
的方向向量为
，
平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
因为
，
所以
，
，
，
所以
，所以
，D 正确；
故选：D.
5．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10 名参赛选手，获得
他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，
，，
，
，
，
，
，
，若该组数
据的中位数是极差的
，则该组数据的第40 百分位数是( )
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】A
【解析】由题可得极差是
，该组数据的中位数是极差的
，
列出等式
，解得
，
因为
，
故该组数据的第40 百分位数为从小到大第4 个数据和第5 个数据的平均值，即
，
所以该组数据的第40 百分位数是.
故选：A.
6．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八
3
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种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数
，正割函数
，余割函数
，
正矢函数
，余矢函数
.如图角
始边为
轴的非负半轴，其终边与单位
圆交点
，
、
分别是单位圆与
轴和
轴正半轴的交点，过点
作
垂直
轴，作
垂直
轴，垂
足分别为
、
，过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂线分别交
的终边于
、，其中
、
、
、
为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，易得
，
对于A，因为
，即
，故A 错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得
，故D 错误.
故选：C.
7．已知
为定义在R上的奇函数，其导函数为
，且
为奇函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
为定义在R上的奇函数，即f (−x)=−f (x)，
4
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等式f (−x)=−f (x)两边同时求导得
，即
，
即
①，所以函数
为偶函数，
因为
为奇函数，则
②，
联立①②可得
，
当
时，
，仅当x =0时取等号，所以函数
在
上为增函数，
由函数
为偶函数，由
可得
，可得
，
即
，整理得
，解得
，
因此不等式
的解集为
.
故选：B.
8．已知
为坐标原点，抛物线
上一点
到其准线的距离为3，过
的焦点
的直
线交
于
两点.当
时，
的值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【答案】B
【解析】因为抛物线
上一点
到其准线
的距离为3，
所以
，解得
，所以抛物线
的标准方程为
．
由抛物线
的方程可知，焦点F (1,0)，根据题意可知直线
的斜率存在且不为0，
设直线
，
，A(x1, y1),B(x2, y2)．
由
消去
整理得
，
，
5
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所以
，
．又
，
所以
，
解得
，
则
，
，
则
．
故选：B．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知点
，若点
在圆
：
上，则（ ）
A．点
在直线
上
B．点
可能在圆
上
C．
的最小值为1
D．圆
上至少有2 个点与点
的距离为1
【答案】AC
【解析】对于选项A：点
，代入直线得
，故点
在直线
上，A 正确
对于选项B：圆心到直线
的距离为
，
6
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故直线
与圆相离，结合选项A 可知，点
不可能在圆
上，故B 错误.
对于选项C：结合选项B 可知，
，故C 正确
对于选项D：由选项C 可知圆
上只有1 个点与点
的距离为1，故D 错误.
故选：AC
10．定义；在区间
上，若数
是减函数且
是增函数，则称
在区间
上是“弱减
函数”，根据定义可得（ ）
A．
在
上是“弱减函数”
B．
在
上是“弱减函数”
C．
在
上是“弱减函数”
D．若
在
上是“弱减函数”，则
【答案】BCD
【解析】对于A 选项，因为函数
在
上不是增函数，A 不满足条件；
对于B 选项，当
时，
，函数
在
上为减函数，
令
，则
，函数
在
上为增函数，B 满足条件；
对于C 选项，当
时，
，
令
，其中
，则
，
所以，函数
在
上为减函数，
故当
时，
，则
，
则函数
在
上为减函数，
7
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又因为函数
在
上为增函数，C 满足条件；
对于D 选项，因为
在
上是“弱减函数”且该函数的定义域为
，
由
，解得
，所以，
，
又因为函数
在
上为增函数，D 满足条件.
故选：BCD.
11．如图，
为圆锥
的轴截面，B 是底面圆周上异于点A，C 的一动点，
，
，则
（ ）
A．
的面积无最大值
B．
与平面
不可能垂直
C．当点B 为
的中点时，三棱锥
的体积最大
D．当点B 为
的中点时，二面角
的余弦值为
【答案】BCD
【解析】由
，
，可求得
，
，所以
.
对于A，
，当且仅当
时取等号，故A 错误；
对于B，若
平面
，
平面
，则
，即
，
从而
，与
矛盾，所以
与平面
不可能垂直，故B 正确；
对于C，
，
显然当点B 为
的中点时，
取得最大值，
8
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此时三棱锥
的体积最大，故C 正确；
对于D，如图，
作
于点D，连接
，
，
，因为点B 为
的中点，
由对称性可知，
，即
为二面角
的平面角，
且
，
，
，
由等面积法得
，所以
，
又
，所以
，则
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线
上，且
，则
【答案】10
【解析】根据题意，双曲线
：
，
，
，
又由点
在双曲线
上，则
，即
．
又由
，则
等于
或10，又
，故
．
故答案为：10
13．在
中，点
满足
，
，
，则
．
9
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【答案】
【解析】设
，
由正弦定理得
，
，
即
，
所以
，
即
，
同除
得
，
解得
舍去，或
，
所以
．
故答案为：
．
14．现有质量分别为
千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两
件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是
.
10
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【答案】
【解析】由于六件货物的质量之和不是3 的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况.
设事件
表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件
表示第一､二个箱子的总质量均不小于
第三个箱子的总质量.
考虑三个箱子的摆放顺序，可得
.
当
发生时，这两个箱子的货物组合只能是
和
和
和
三种可能，故
.
当
不发生时，
表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得
.
故
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，比较
大小.
【解析】（1）
当
时
，
当
时，
，两式相减得
，
11
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，
数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
（2）由（1）可知数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
，
，
，
，
两式相减得
16．（15 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，
，平面
平面ABCD，平面
平
面ABCD，平面PAD 与平面PBD 夹角为45°.
(1)点P，A，B，C，D 均在同一球面上，求该球的体积；
12
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(2)点E，F，G 分别在棱AB，BC，PB 上，当
为等边三角形时，求直线AD 与平面EFG 所成角的正
弦值
【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以
，
又因为平面
平面ABCD，且平面
平面
，
平面ABCD，
所以
平面PCD，所以
，同理：
，
又因为
，
平面ABCD，所以
平面ABCD，
由题知
，由平面ABCD 为矩形知：
，
所以
，所以
，ABCD 为正方形，
记PB 中点为
，可求得：
，
所以O 为该球的球心，其半径
因此，该球的体积
（2）若平面EFG 与平面PAC 不平行，
依平行性，不妨将点G 放在点P 的位置，不妨设E 不在A 的位置，
则
，
，不合题意
若平面
平面PAC，则
，
所以
，所以
为等边三角形，
又因为平面
平面PAC，两平面的法向量共线，
所以直线AD 与平面EFG 所成角等于AD 与平面PAC 所成角
以D 为原点，DA，DC，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则P(0,0,1)，
，A (1,0,0)，
，
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设平面PAC 的一个法向量为
，则
，
所以
，令
，得
显然
，设AD 与平面PAC 所成角为
，
则
17．（15 分）
在
中，内角
的对边分别是
，
，
．
(1)求角
；
(2)若
，求边
上的角平分线
长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围．
【解析】（1）在
中，由正弦定理及
，
得
，
即
，而
，
，
解得
，又
，所以
.
（2）由
及
，余弦定理得
，
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又
，解得
，
由
得
，
即
，则
，所以
.
（3）因为
是
的中点，所以
，
则
，
由正弦定理得，
即
，
为锐角三角形，
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，即边
上的中线
的取值范围为
．
18．（17 分）
设函数
的定义域为
，其导函数为
，区间
是
的一个非空子集．若对区间
内的任意实
数
，存在实数，使得
，且使得
成立，则称函数
为区间
上的“
函数”．
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(1)判断函数
是否为
上的“
函数”，并说明理由；
(2)若函数
是
上的“
函数”．
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）证明：
，
．
【解析】（1）因为
，则
，
因为
，
．
又
，所以
，
所以
对于任意
恒成立．
故
是
上的“
函数”．
（2）（ⅰ）
，
由条件得
对任意的
恒成立，
即
任意的
恒成立．
①当
时，对一切
成立．
②当
时，
恒成立．
设
，则
对任意的
恒成立，
所以
在
上单调递减，可得
．
③当
时，由
恒成立．
设
，则
，所以
在
上单调递减，
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可得
．
综上所述，
的范围是
．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，
．
对
，
．
下面证：
，
，
即证
，
．
设
，则
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
成立．
所以
时，不等式
成立．
所以
，
成立．
19．（17 分）
已知椭圆
：
（
）的离心率为
，短轴长为2．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线与椭圆
相切于点
．
（ⅰ）证明：直线
与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）设椭圆
的右焦点
关于的对称点为
，求证：直线
过定点．
【解析】（1）根据题意得
，
又
，解得
，
，
所以椭圆
：
．
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（2）（ⅰ）设点P(x0, y0)，所以
，
，
设直线的斜率为
，方程为：
，则
，
由
消去
，得
①，
因为直线与椭圆
相切，所以方程①
，
得
，
所以
②，
其中
．
所以关于
的方程②有两相等实根，所以
，
所以
为定值．
（ⅱ）椭圆
：
的左、右焦点F1(−1,0)，F2(1,0)．
方法1：由（ⅰ）得过点P(x0, y0)与直线垂直的直线为
：
，
令
，得
，所以直线
与
轴交点
，
所以
，
．
（
），
同理
．所以
．
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根据内角分线定理得，
为
的角平分线，设与
轴交于点
,
所以
，
即
，
，
三点共线，所以直线
过点F1(−1,0)．
方法2：设点
，则
，
根据题意得
，解得
所以
，
所以
，所以
，
，
三点共线，
所以直线
过点F1(−1,0)．
方法3：设点
，则
，
过
垂直于的直线交于点
，
由（ⅰ）可得：
，则：
．
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联立直线与的方程得
所以
所以
，
所以
，所以
，
，
三点共线，
所以直线
过点F1(−1,0)．
20
