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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（广东卷）01·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
D
D
A
C
B
B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AC
BCD
BCD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．10
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【解析】（1）
当
时
，
当
时，
，两式相减得
， （3 分）
1
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，
数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
（6 分）
（2）由（1）可知数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
（7 分）
，
，
，
， （9 分）
两式相减得
（12 分）
（13 分）
16．（15 分）
【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以
，
又因为平面
平面ABCD，且平面
平面
，
平面ABCD，
所以
平面PCD，所以
，同理：
，
又因为
，
平面ABCD，所以
平面ABCD， （2 分）
由题知
，由平面ABCD 为矩形知：
，
所以
，所以
，ABCD 为正方形，
2
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记PB 中点为
，可求得：
， （5 分）
所以O 为该球的球心，其半径
因此，该球的体积
（7 分）
（2）若平面EFG 与平面PAC 不平行，
依平行性，不妨将点G 放在点P 的位置，不妨设E 不在A 的位置，
则
，
，不合题意
若平面
平面PAC，则
，
所以
，所以
为等边三角形， （9 分）
又因为平面
平面PAC，两平面的法向量共线，
所以直线AD 与平面EFG 所成角等于AD 与平面PAC 所成角
以D 为原点，DA，DC，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则P(0,0,1)，
，A (1,0,0)，
， （10 分）
设平面PAC 的一个法向量为
，则
，
所以
，令
，得
（13 分）
显然
，设AD 与平面PAC 所成角为
，
3
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则
. （15 分）
17．（15 分）
【解析】（1）在
中，由正弦定理及
，
得
，
即
，而
，
，
解得
，又
，所以
. （4 分）
（2）由
及
，余弦定理得
，
又
，解得
，
由
得
，
即
，则
，所以
. （9 分）
（3）因为
是
的中点，所以
，
则
，
由正弦定理得，
即
， （11 分）
为锐角三角形，
，所以
，所以
，
4
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所以
，所以
， （13 分）
所以
，
所以
，即边
上的中线
的取值范围为
． （15 分）
18．（17 分）
【解析】（1）因为
，则
，
因为
，
．
又
，所以
，
所以
对于任意
恒成立．
故
是
上的“
函数”． （4 分）
（2）（ⅰ）
，
由条件得
对任意的
恒成立，
即
任意的
恒成立．
①当
时，对一切
成立．
②当
时，
恒成立． （6 分）
设
，则
对任意的
恒成立，
所以
在
上单调递减，可得
． （8 分）
③当
时，由
恒成立．
5
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设
，则
，所以
在
上单调递减，
可得
．
综上所述，
的范围是
． （10 分）
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，
．
对
，
．
下面证：
，
，
即证
，
．
设
，则
，所以
在
上单调递增， （14 分）
又
，所以
成立．
所以
时，不等式
成立．
所以
，
成立． （17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）根据题意得
，
又
，解得
，
，
所以椭圆
：
． （4 分）
（2）（ⅰ）设点P(x0, y0)，所以
，
，
设直线的斜率为
，方程为：
，则
，
6
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由
消去
，得
①， （5 分）
因为直线与椭圆
相切，所以方程①
，
得
，
所以
②， （7 分）
其中
．
所以关于
的方程②有两相等实根，所以
，
所以
为定值． （9 分）
（ⅱ）椭圆
：
的左、右焦点F1(−1,0)，F2(1,0)．
方法1：由（ⅰ）得过点P(x0, y0)与直线垂直的直线为
：
，
令
，得
，所以直线
与
轴交点
， （10 分）
所以
，
．
（
），
同理
．所以
． （14 分）
根据内角分线定理得，
为
的角平分线，设与
轴交于点
,
所以
，
7
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即
，
，
三点共线，所以直线
过点F1(−1,0)． （17 分）
方法2：设点
，则
，
根据题意得
，解得
（13 分）
所以
， （16 分）
所以
，所以
，
，
三点共线，
所以直线
过点F1(−1,0)． （17 分）
方法3：设点
，则
，
过
垂直于的直线交于点
，
由（ⅰ）可得：
，则：
． （11 分）
联立直线与的方程得
所以
8
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所以
， （15 分）
所以
，所以
，
，
三点共线，
所以直线
过点F1(−1,0)． （17 分）
9
