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2025 年高考第二次模拟考试
数学（广东卷02）参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
D
C
A
B
B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AC
ABD
BC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【详解】（1）因为
，所以
，1 分
所以
，所以
，
化简得
，...........................................................................................................................................3 分
所以由余弦定理，得
，............................................................................................5 分
1
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又
，所以
...........................................................................................................................................6 分
（2）由（1）知，
，且
，
，
则由余弦定理
，得
，即
，解得
或
......................8 分
当
时，
，
则
，................................................................................................................................9 分
又
，
，
所以
；.............................................10 分
当
时，
，
则
，..............................................................................................................................11 分
又
，
，
所以
.................................................12 分
综上所述，
或
............................................................................................13 分
16．【详解】（1）当
时，
，其中
，则
，..1 分
2
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令
，化简得
，解得
（负值舍去），..................3 分
又此时
，则切线方程过点
，..........................................................................................................4 分
结合切线方程斜率为2，
则切线方程为
，即
......................................................................................................6 分
（2）由题可得
定义域为(0,+ ∞)，
，
因
是
的极小值点，则
，.......................................................................7 分
则
，
若
，令
，令
，
则
在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
得
是
的极大值点，不满足题意；............................................................................................................9 分
若
，令
，令
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
得
是
的极大值点，不满足题意；..........................................................................................................11 分
若
，则
，
在(0,+ ∞)上单调递减，无极值，不满足题意；............................13 分
若
，令
，令
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
得
是
的极小值点，满足题意；..............................................................................................................14 分
3
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综上，
是
的极小值点时，
..............................................................................................................15 分
17．【详解】（1）取
中点
，连接
，.............................................................................................1 分
因为点
为线段
的中点，所以
且
，
因为
，所以
，
，
故四边形
为平行四边形，所以
，............................................................................................3 分
因为
⊥平面
，所以
⊥平面
，
因为
平面
，
所以
⊥
，由三线合一得
；............................................................................................................5 分
（2）由（1）得
，又因为
，所以
为等边三角形，
故
，因为
，
，即
⊥
，
因为
，所以直线
与
所成角的正切值为
，
即
，故
，
又
，解得
，....................................................................................7 分
设
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，
故
，由勾股定理逆定理得
⊥
，
因为
，
平面
，
所以
⊥平面
，..............................................................................................................................................9 分
4
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取
中点
，连接
，取
中点
，连接
，则
⊥
，
因为
平面
，所以
⊥
，由三线合一得
⊥
，
因为
平面
，
，
所以
⊥平面
，.........................................................................................................................................10 分
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，..............................................................12 分
设平面
的法向量为
，
则
，
令
得
，
，故
，.............................................................................................14 分
设直线
与平面
所成角大小为，
则
..................................................................15 分
18．【详解】（1）焦点和长轴顶点共线，它们不会共圆，从而焦点和短轴顶点共圆，则
，为半焦
距，
，因此
的离心率为
，...........................................................................................2 分
5
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椭圆
的方程为
，由
消去得
，
由
和相切，得
，解得
，....................................................................4 分
此时
，由对称性知，
和相切，
所以
的表达式为
...................................................................................................................................6 分
（2）设
从而斜率必然存在且非0，令
，
设切线
代入
得到
由
在
上，得
，从而
，......................................................8 分
由直线
与椭圆相切，得上述方程有相等实根
，则
，即
，
从而
，即
由
，解得
，记为
.............................................................10 分
同理
，记为
，
即
，
，
，
6
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，
，
，
由
，得
，直线
的斜率分别为
，..................................12 分
，
，
，................................................15 分
当
时，
，
和重合，与已知矛盾，又
，
因此
，所以
是定值，其正切值为
．.................................................17 分
19．【详解】（1）
，
，.................................................................................................................2 分
若
，使得
成立，则
成立，
显然，当
时等式成立，
所以
，使得
成立，得证.............................................................................................................4 分
7
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（2）因为数列
的前项和为
当
时，
；
当
时，
，
所以
，.......................................................................................................................................5 分
因为存在正整数使得
成立，
则①当
时，
，即
，
因为
，
所以
，而
，所以不存在正整数
使得
成立；....................................................7 分
②当
时，若
成立，则
，得
，
所以
时存在正整数
使得
成立，
由①②得
.............................................................................................................................................................9 分
（3）假设存在
使得数列
为“
阶可分拆数列”
即存在确定的正整数
，存在正整数使得
成立.
即
，
即
，.................................................................................................................................11 分
①当
时，
时方程成立，................................................................................................12 分
②当
时，
当
时，
；
当
时，
，
8
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当
时，
，所以不存在正整数使得
成立；.............................................14 分
③当
时，
，当
时，
成立，........................................................15 分
④当
时，
，
所以不存在正整数使得
成立.
综上：
或3........................................................................................................................................................17 分
9
