文档内容
几何-直线型几何-蝴蝶模型-3 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
蝴蝶模型 C 1.了解蝴蝶模型及其公式 少考
2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模
型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的
几何知识
知识提要
蝴蝶模型
任意四边形蝴蝶模型
（1）S :S =S :S
1 2 4 3
（2）OA:OC=(S +S ):(S +S )
1 2 4 3
梯形蝴蝶模型
（1）S =S
2 4
（2）S :S =S :S
1 2 4 3
（3）S :S :S :S :S =a2:b2:ab:ab:(a+b) 2
1 3 2 4 梯形精选例题
蝴蝶模型
1. 已知 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米．则阴
影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 21
【分析】 连接 AC．
由于 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，所以 CE:AD=2:3，
根据梯形蝴蝶定理，S :S :S :S
△COE △AOC △DOE △AOD22:2×3:2×3:32 ¿=¿4:6:6:9,¿
¿
所以
S =6(平方厘米),S =9(平方厘米),
△AOC △AOD
又
S =S =6+9=15(平方厘米),
△ABC △ACD
阴影部分面积为
6+15=21(平方厘米).
2. 如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AB 边靠近点 B 的三等分点，点 F 为 BC 边
靠近点 B 的三等分点，连接 AF、DE 相交于点 O，则 DO:OE= ．
【答案】 9:2
【分析】 假设平行四边形 ABCD 面积为 1，连接线段 EF、FD，根据蝴蝶模型，
DO:OE =S :S
△ADF △AEF
¿ =9:2.
3. 在图中，E，D 分别是 AB，AC 的中点，BD 垂直于 CE，已知 CE=9 厘米，BD=6
厘米，那么三角形 ABC 的面积是 平方厘米．【答案】 36
【分析】 方法一：连接 DE．
因为 E 是中点，所以三角形 AEC 的面积是三角形 ABC 面积的一半；
因为 D 是中点，所以三角形 ADE 的面积是三角形 AEC 面积的一半．
因此，三角形 ADE 的面积是三角形 ABC 面积的四分之一，四边形 BCDE 的面积是三角
形 ABC 的四分之三．
1
令 BD 与 CE 的交点于 F．三角形 CDE 的面积为 ⋅CE⋅DF，三角形 CBE 的面积
2
1
为 ⋅CE⋅BF，因此四边形 BCDE 的面积为
2
1 1 1
⋅CE⋅DF+ ⋅CE⋅BF= ⋅CE⋅BD=27.
2 2 2
三角形 ABC 的面积为
3
27÷ =36(平方厘米).
4
方法二：连接 DE，可知 DE 与 BC 平行且 DE:BC=1:2，设 S 份，根据梯形蝴
△≝¿=1¿
1 1
蝶定理则 S =(1+2) 2=9 份，再根据相似，DF= BD=2，FE= EC=3，S =3
梯形 3 3 △AED
份，所以 S =12 份，又因为 BD 和 EC 垂直，所以
△ABC
S
△≝¿=2×3÷2=3(平方厘米),¿
所以
S =3×12=36(平方厘米).
△ABC
4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米．
则阴影部分的面积是 平方厘米．【答案】 21 平方厘米
【分析】
连接 AC．由于 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，所以
CE:AD=2:3,
根据梯形蝴蝶模型，
S :S :S :S
△COE △AOC △DOE △AOD22:2×3:2×3:32 ¿=¿4:6:6:9,¿
¿
所以
S =6(平方厘米),S =9(平方厘米),
△AOC △AOD
又
S =S =6+9=15(平方厘米),
△ABC △ACD
阴影部分面积为 6+15=21(平方厘米)．
5. 如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于 F 点，三角形
BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米．【答案】 12
【分析】
连接 DE，根据题意可知 BE:AD=1:2，根据蝴蝶模型得 S =(1+2) 2=9(平方厘米)，
梯形
S =3(平方厘米)，那么 S =12(平方厘米)．
△ECD ▫ABCD
6. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 为 AB 边的中点，点 F 为 BC 边靠近点 B 的三等分
点，连接 AF、DE 相交于点 G，则 AG:GF＝ ．
【答案】 3:4
【分析】 连接线段 EF、DF，S
AG:GF = △ADE
S
△FDE
¿ =3:4.
7. 如下图，在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 平行，且 CD=2AB，点 E、F 分别是 AD
和 BC 的中点，已知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积
是 平方厘米．
【答案】 210
【分析】连接 EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各
个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形 ABCD 面积．
1 3
设梯形 ABCD 的上底为 a，总面积为 S．则下底为 2a，EF= (a+2a)= a．
2 2
所以
3 3
AB:EF=a: a=2:3,EF:DC= a:2a=3:4.
2 2
由于梯形 ABFE 和梯形 EFCD 的高相等，所以
S :S =(AB+EF):(EF+DC)
梯形ABFE 梯形EFCD
¿ =5:7,
故
5 7
S = S,S = S.
梯形ABFE 12 梯形EFCD 12
根据梯形蝴蝶定理，梯形 ABFE 内各三角形的面积之比为
22:2×3:2×3:32=4:6:6:9,
所以
9
S = S
△EMF 4+6+6+9 梯形ABFE
3
¿ = S;
20
同理可得
9
S = S
△ENF 9+12+12+16 梯形EFCD
3
¿ = S,
28
所以
3 3 9
S =S +S = S+ S= S,
EMFN △EMF △ENF 20 28 35
由于
S =54(平方厘米),
EMFN
所以9
S=54÷ =210(平方厘米).
35
8. 下图中，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是 16，
BG:GC=3:1，则四边形 EFGH 的面积 = ．
【答案】 3
【分析】 连接 EG．易知 ABGE、CDEG 为两个相同的梯形．根据梯形中的蝴蝶
模型可知：
S 1×3 3
△EFG = = .
S (1+3) 2 16
四边形ABGE
所以
3 3
S =16÷2× = .
△EFG 16 2
所以
3
S =2S =2× =3.
四边形EFGH △EFG 2
9. 如图，长方形 ABCD 被 CE、DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平
方厘米，那么余下的四边形 OFBC 的面积为 平方厘米．【答案】 9
【分析】 连接 DE、CF．
四边形 EDCF 为梯形，所以
S =S ,
△EOD △FOC
又根据蝴蝶定理，
S ⋅S =S ⋅S ,
△EOD △FOC △EOF △COD
所以
S ⋅S =S ⋅S =2×8=16,
△EOD △FOC △EOF △COD
所以
S =4(平方厘米),
△EOD
S =4+8=12(平方厘米).
△ECD
那么长方形 ABCD 的面积为
12×2=24(平方厘米),
四边形 OFBC 的面积为
24-5-2-8=9(平方厘米).
10. 如下图所示，ABCD 是梯形，AB∥CD，对角线 AC、BD 相交于 O 点，OE∥AB，
交腰 BC 于 E 点．如果三角形 OBC 的面积是 115 平方厘米，那么三角形 ADE 的面积
是 平方厘米．【答案】 230
【分析】 根据梯形蝴蝶模型，在梯形 ABCD 中，△AOD 的面积等于 △OBC 的
面积，均为 115 平方厘米．
在梯形 ODCE 和梯形 OABE 中，可分别得出
S =S ,S =S ,
△ODE △OCE △OAE △OBE
那么三角形 ADE 的面积等于三角形 OBC 的面积的 2 倍，
115×2=230(平方厘米).
11. 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边
平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那
么阴影部分的面积为 ．【答案】 14
【分析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，
也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况．
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如下图所示，图中四个空白三角
形的高均为 1.5，因此空白处的总面积为 6×1.5÷2×4+2×2=22，阴影部分的面积为
6×6-22=14．
解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，
下底都为 6，上底、下底之比为 2:6=1:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四
个小三角形的面积之比为 12:1×3:1×3:32=1:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该
9 7
梯形面积的 ，阴影部分的面积占该梯形面积的 ，所以阴影部分的总面积是四个梯形面
16 16
7 7
积之和的 ，那么阴影部分的面积为 ×(62-22 )=14．
16 16
12. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O．如果 △ABD 的面积等于
1
△BCD 的面积的 ，且 AO=2，DO=3，那么 CO 的长度是 DO 的长度的
3
倍．【答案】 2
△ABD 1 AO
【分析】 根据蝴蝶模型： = = ，OC=2×3=6，CO 的长度是 DO 长
△BCD 3 OC
度的 6÷3=2 倍．
13. 如图，长方形 ABCD 的面积是 36，E 是 AD 的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的
面积为 ．
【答案】 2.7
【分析】 如图，连接 OE．1
根据蝴蝶定理，ON:ND=S :S = S :S =1:1，所以
△COE △CDE 2 △CAE △CDE
1
S = S ；
△OEN 2 △OED
1 1
OM:MA=S :S = S :S =1:4，所以 S = S ．
△BOE △BAE 2 △BDE △BAE △OEM 5 △OEA
1 1
又 S = × S =3，S =2S =6，所以阴影部分面积为：
△OED 3 4 矩形ABCD △OEA △OED
1 1
3× +6× =2.7．
2 5
14. 如下图所示，AB=24 厘米，长方形 BDEF 中的 EF=15 厘米，阴影 △BCE 的面积
是 60 平方厘米，则 △DCE 的面积是 平方厘米．
【答案】 30
【分析】 如下图所示，连接 AD，则三角形 BCE 的面积等于三角形 ACD 的面积，
所以 CD=60×2÷24=5（厘米），CB=15-5=10（厘米），又因为三角形 DCE 和三角
形 BCE 同高，且 CB 是 CD 的 2 倍，所以三角形 BCE 的面积是三角形 DCE 面积的
2 倍，所以三角形 DCE 的面积是 60÷2=30（平方厘米）．15. 如图，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D，张大伯常走这两条小路，他
知道 DF=DC，且 AD=2DE．则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是 ．
【答案】 1:2
【分析】 方法一：连接 BD．
设 △CED 的面积为 1，△BED 的面积 x，则根据题上说给出的条件，由
DF=DC 得 S =S ，
△BDC △BDF
即 △BDF 的面积为 x+1、S =S ；
△ADC △ADF又有 AD=2DE，S =S =2S =2、S =2S =2x，而
△ADC △ADF △CDE △ABD △BDE
S =x+1+2=2x；
△ABD
得 x=3，所以 S :S =(2+2):(1+3+4)=1:2．
△ACF △CFB
方法二：连接 BD，设 S =1(份)，则 S =S =2，设 S =x
△CED △ACD △ADF △BED
{ x+1= y {x=3
S = y，则有 ，解得 ，所以 S :S =(2+2):(4+3+1)=1:2．
△BFD 2x= y+2 y=4 △ACF △CFB
方法三：过 F 点作 FG∥BC 交 AE 于 G 点，
由相似得 CD:DF=ED:DG=1:1，又因为 AD=2DE，所以 AG:≥=AF:FB=1:2，所
以两块田地 ACF 和 CFB 的面积比 =AF:FB=1:2．
16. 图中 ABCD 是梯形，四边形 ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：
平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米．【答案】 4
【分析】
方法一：连接 AE，由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么
S =S ，根据蝴蝶模型，
△OCD △OAE
S ×S =S ×S =2×8=16,
△OCD △OAE △OCE △OAD
故 S 2=16，所以 S =4(平方厘米)．
△OCD △OCD
方法二：在平行四边形 ABED 中，
1 1
S = S = ×(16+8)=12(平方厘米),
△ADE 2 平行四边形ABED 2
所以S =S -S =12-8=4(平方厘米),
△AOE △ADE △AOD
根据蝴蝶模型，阴影部分的面积为
8×2÷4=4(平方厘米).
17. 如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD，对角线 AC，BD 交于 O，已知 △AOB
与 △BOC 的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是
平方厘米．
【答案】 144
【分析】 根据梯形蝴蝶定理，
S :S =a2:ab=25:35,
△AOB △BOC
可得
a:b=5:7,
再根据梯形蝴蝶定理，
S :S =a2:b2=52:72=25:49,
△AOB △DOC
所以
S =49(平方厘米).
△DOC
那么梯形 ABCD 的面积为
25+35+35+49=144(平方厘米).
18. 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O（如图所示）．如果三角形 ABD 的面
1
积等于三角形 BCD 的面积的 ，且 AO=2，DO=3，那么 CO 的长度是 DO 的长度的
3
倍．【答案】 2
【分析】 解法一：因为
AO:OC=S :S =1:3,
△ABD △BDC
所以
OC=2×3=6,
所以
OC:OD=6:3=2:1.
解法二：作 AH⊥BD 于 H，CG⊥BD 于 G．
因为
1
S = S ,
△ABD 3 △BCD
得到
1
AH= CG,
3
所以
1
S = S ,
△AOD 3 △DOC
得到
1
AO= CO,
3所以
OC=2×3=6,
所以
OC:OD=6:3=2:1.
19. 如下图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8，AD=15．四边形
EFGO 面积为 ．
【答案】 10
【分析】 S =S ，所以阴影部分面积等于长方形面积的一半加四边形 EFGO
△ABE △EFD
的面积，故四边形 EFGO 面积等于 70-15×8÷2=10．
20. 见下图，三角形 ABC 的面积为 1，DO:OB=1:3，EO:OA=4:5，则三角形 DOE
的面积为 ．
11
【答案】
135【分析】
设三角形 DOE 的面积为 4x，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为 5x,12x,15x，
再设三角形 DCE 的面积为 y，则有
CE y y+4x+5x
= = ,
BE 4x+12x 12x+15x
144
得 y= x，则三角形 DOE 的面积为
11
4 11
= .
144 135
4+5+12+15+
11
21. 见下图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为
．
【答案】 9
【分析】 根据上图可得到：22. 如图，在 △ABC 中，已知 M、N 分别在边 AC、BC 上，BM 与 AN 相交于 O，
若 △AOM、△ABO 和 △BON 的面积分别是 3、2、1，则 △MNC 的面积是
．
【答案】 22.5
【分析】 根据蝴蝶定理得
S ×S 3×1 3
S = △AOM △BON = =
△MON S 2 2
△AOB
设 S =x，根据共边定理我们可以得
△MON
S S
△ANM = △ABM
S S
△MNC △MBC
3
3+
2 3+2
=
x 3
1+ +x
2
解得x=22.5
23. 如图所示，已知长方形 ABCD 中，△FDC 的面积为 4，△FDE 的面积为 2，则阴影
四边形 AEFB 的面积 ．
【答案】 10
【分析】
连接 BE，由梯形蝴蝶定理可知，
S =S =4
△BEF △CDF
所以
S =4×4÷2=8
△BCF
所以
S =4+8=12
△BCDS =12×2=24
ABCD
所以
S =24-2-4-8=10
AEFB
24. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，且图中两个阴影部分（甲和
乙）的面积差是 5.04，则 S = ．
△ABC
【答案】 20.16
【分析】 由于 D，E 都是中点，则 BC=2DE，设 DE 为 1 份，则 BC 为 2
份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是 1 份，乙是 4 份，两个翅膀都是 2 份，由此可推
出 △ADE 为 3 份，且每份为
5.04÷(4-1)=1.68,
所以
S =1.68×(3+1+4+2+2)=20.16
△ABC
25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD:BE=4:3，BE:EC=2:3，且 △BOE 的面积比
△AOD 的面积小 10 平方厘米．梯形 ABCD 的面积是 平方厘米．【答案】 115
【分析】 根据题意可知
AD:BE:EC=8:6:9,
则
S 8
△ABD= ,
S 6
△ABE
3
S = S ,
△ABE 4 △ABD
而
S -S =S -S =10(平方厘米),
△ABD △ABE △AOD △BOE
所以
1
S =10,
4 △ABD
则
S =40(平方厘米).
△ABD
又
S 9+6 15
△BCD= = ,
S 8 8
△ABD
所以
15
S = ×40=75(平方厘米).
△BCD 8
所以
S =S +S =40+75=115(平方厘米).
梯形ABCD △ABD △BCD
26. 如图，长方形 ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的
长是 9．那么四边形 OECD 的面积是 ．5
【答案】 119
8
【分析】 解法一：连接 DE，
依题意
1 1
S = ×BO×AO= ×9×AO=54,
△AOB 2 2
所以
AO=12,
则
1 1
S = ×DO×AO= ×16×12=96.
△AOD 2 2
又因为
1
S =S =54= ×16×OE,
△AOB △DOE 2
所以
3
OE=6 ,
4
得1 1 3 3
S = ×BO×EO= ×9×6 =30 ,
△BOE 2 2 4 8
所以
S =S -S
OECD △BDC △BOE
3
¿ =(54+96)-30
8
¿ ¿
解法二：由于
S :S =OD:OB=16:9,
△AOD △AOB
所以
16
S =54× =96,
△AOD 9
而
S =S =54,
△DOE △AOB
根据蝴蝶定理，
S ×S =S ×S ,
△BOE △AOD △AOB △DOE
所以
3
S =54×54÷96=30 ,
△BOE 8
所以
S =S -S
OECD △BDC △BOE
3
¿ =(54+96)-30
8
¿ ¿
27. 如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4:5，四边形 2 的面积为
36，则三角形 1 的面积为 ．
【答案】 16【分析】 做辅助线如下：
利用蝴蝶模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，
4 5
所以三角形 1 的面积就是 36× =16，三角形 3 的面积就是 36× =20．
4+5 4+5
28. 正方形 ABCD 的边长为 6 米，E 是 BC 的中点（见下图）．四边形 OECD 的面积
为 平方米．
【答案】 15
【分析】 如下图所示，连接 DE，根据等积变形，设 S =1 份，那么
△BEO
S =S =2 份，S =4 份，所以 S =S =3 份，正方形 ABCD 共为
△ABO △DEO △ADO △DCE △DBE
1+2+2+4+3=12（份），四边形 OECD 的面积为 6×6÷12×(2+3)=15（平方米）．29. 下图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F，AC 和
BE 的交点为 H，AC 和 BD 的交点为 G，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则
ABCD 的面积是 平方厘米．
【答案】 180
【分析】 解法一：蝴蝶模型与一半模型．
（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以
S
△≝¿:S :S :S =1:2:2:4.¿
△DAF △BEF △ABF
（2）设平行四边形面积为“1”．E 是 CD 的中点，所以 S 、S 、S 占平行四
△ABG △ADG △BEC
1 3
边形面积的 ，梯形 S 占平行四边形面积的 ；
4 ABED 4
（3）所以
3 2 1
S = × = ,
△DAF 4 1+2+2+4 61 1 1
S = - = ,
△GAF 4 6 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（4）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（5）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12
解法二：相似模型、等积变形与一半模型．
（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以 DF:FB=1:2，而 DG=GB，
1 (1 1 )
DF:FG= : - =2:1;
1+2 2 1+2
（2）设平行四边形面积为“1”．E 是 CD 的中点，所以 S 、S 占平行四边形面
△ABG △ADG
1
积的 ，所以
4
1 1 1
S = × = ,
△GAF 4 2+1 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（3）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（4）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12
解法三：燕尾模型与一半模型．
1
（1）设平行四边形面积为“1”．S = ．
△ADC 2
（2）E 是 CD 的中点，G 为 AC 的中点，连接 FC，设 S 为 1 份，S 也为 1 份，根据燕尾 S 为 2 份，再根据燕尾 S 也为
△≝¿¿ △ECF △ADF △ACF
2 份，根据按比例分配，S 、S 都为 1 份，所以
△AGF △GCF
1 1
S = ÷(2+1+1+1+1)= ,
△GAF 2 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（3）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（4）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12
解法四：风筝模型与一半模型．
连接 EG 同样可解．
30. 如下图所示，点 C 在线段 AE 上，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是正三角形，且 F
是线段 BC 的中点，G 是线段 DE 的中点．若三角形 ABC 的面积为 27，三角形 AFG
（阴影部分）的面积是 ．【答案】 13.5
【分析】 如下图所示，连接 CG，那么 AF∥CG，根据梯形蝴蝶模型，得到
1 1
S =S = S = ×27=13.5.
△AFG △AFC 2 △ABC 2
31. 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为 ．12
【答案】
11
【分析】 连接 AD、CD、BC．
则可根据格点面积公式，可以得到 △ABC 的面积为：
4
1+ -1=2,
2
△ACD 的面积为：
3
3+ -1=3.5,
2
△ABD 的面积为：
4
2+ -1=3.
2
所以
BO:OD =S :S
△ABC △ACD
¿ =4:7,
所以4
S = ×S
△ABO 4+7 △ABD
12
¿ = .
11
32. 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE=2BE，CF=2DF，
连接 BF、DE，相交于点 G，过 G 作 MN、PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG，
设正方形 MGQA 的面积为 S ，正方形 PCNG 的面积为 S ，则 S :S =
1 2 1 2
．
【答案】 9:4
【分析】 连接 BD、EF．
设正方形 ABCD 边长为 3，则CE=CF=2,BE=DF=1,
所以，
EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.
因为
EF2 ⋅BD2=8×18=144=122,
所以
EF⋅BD=12.
由梯形蝴蝶定理，得
S :S :S :S
△GEF △GBD △DGF nBGEEF2:BD2:EF⋅BD:EF⋅BD¿=¿8:18:12:12¿=¿4:9:6:6,¿
¿
所以，
6 6
S = S = S .
△BGE 4+9+6+6 梯形BDFE 25 梯形BDFE
因为
9
S =3×3÷2= ,S =2×2÷2=2,
△BCD 2 △CEF
所以
5
S =S -S = ,
梯形BDFE △BCD △CEF 2
所以，
6 5 3
S = × = .
△BGE 25 2 5
由于 △BGE 底边 BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长，所以
3 6
CN= ×2÷1= ,
5 5
6 9
ND=3- = ,
5 5
所以
AM:CN=DN:CN=3:2,
则
S :S =AM2:CN2=9:4.
1 2
33. 四边形 ABCD 中，AC、BD 两条对角线交于 O 点，三角形 ABO 的面积 为 6，三
角形 AOD 的面积为 8，三角形 BOC 的面积是 15，那么四边形 ABCD 的面积 是多少？【答案】 49
【分析】 简答：△COD 的面积是
8×15÷6=20,
四边形 ABCD 的面积是
6+8+15+20=49.
34. 在梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，而三角形 ABO 的面积为 9，
三角形 BOC 的面积为 27，DO 上有一点 E，而三角形 ADE 的面积为 1.2，则阴影部分
三角形 AEC 的面积为多少？
【答案】 7.2
【分析】 根据题意，由于四边形 ABCD 是梯形，所以
S =S =9,
△DCO △ABO
根据蝴蝶模型，
S ×S =S ×S ,
△DCO △ABO △AOD △BOC
所以 S =3，所以
△AOD
S =S -S =3-1.2=1.8,
△AOE △AOD △ADE
同样，再根据蝴蝶模型，S ×S =S ×S ,
△ECO △ABO △AOE △BOC
所以 S =5.4，所以
△ECO
S =S +S =5.4+1.8=7.2.
△AEC △ECO △AOE
35. 如图，面积为 12 平方厘米的正方形 ABCD 中，E,F 是 DC 边上的三等分点，求阴
影部分的面积．
【答案】 3 平方厘米
【分析】 因为 E,F 是 DC 边上的三等分点，所以 EF:AB=1:3，设 S =1
△OEF
份，根据梯形蝴蝶定理可以知道 S =S =3 份，S =9 份，S =S =(1+3)
△AOE △OFB △AOB △ADE △BCF
份，因此正方形的面积为 4+4+(1+3) 2=24 份，S =6 份，所以
阴影
S :S =6:24=1:4,
阴影 正方形
所以 S =3(平方厘米)．
阴影
36. 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个
小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积．
【答案】 21 公顷
【分析】 设另两块面积分别为 x,y，如图：{ 7x=6 y
,
x+ y=52-(6+7)=39
设 x=6k，y=7k，则 x+ y=13k，13k=39，
代入，得：
{x=18
,
y=21
所以面积最大的一个的面积为 21 公顷．
37. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=6，AD=2，AE=EF=FB，求阴影部分的面积．
【答案】 3.5
【分析】
连接 DE，FC，由 AE=EF=FB，AB=DC 可以推出
EF:DC=1:3,
所以 S 为 1 份，则 S 为 3 份，△ADE 和 △≝¿ 等底等高，
△EOF △DOES =S
△ADE △≝¿=1+3=4(份),¿
S =7 份，AB=6，
阴影
所以 AE=6÷3=2，S =2×2÷2=2，
△ADE
1 份的面积为 2÷4=0.5，阴影部分的面积等于 0.5×7=3.5．
38. 如图，梯形 ABCD 中，三角形 AOB、三角形 COD 的面积分别是 1.2 和 2.7，求梯
形 ABCD 的面积．
【答案】 7.5
【分析】 由于四边形 ABCD 是梯形，所以 S =S ，根据蝴蝶模型，
△AOC △BOD
S ×S =S ×S ,
△AOC △BOD △AOB △COD
代入已知面积值，可以求出
S =S =1.8,
△AOC △BOD
所以
ABCD的面积=1.8+1.8+1.2+2.7=7.5.
39. 如图，梯形 ABCD 中，△AOB、△COD 的面积分别为 1.2 和 2.7，求梯形 ABCD
的面积．【答案】 7.5
【分析】 根据梯形蝴蝶定理，
S :S =a2:b2=4:9,
△AOB △COD
所以 a:b=2:3，S :S =ab:a2=b:a=3:2，
△AOD △AOB
3
S =S =1.2× =1.8,
△AOD △COB 2
S =1.2+1.8+1.8+2.7=7.5．
梯形ABCD
40. 如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 两条对角线交于 O 点，△ADO 的面积为 30，
△ABO 面积为 6，△DOC 的面积是 20，那么四边形 ABCD 的面积是多少？
【答案】 60
【分析】 简答：利用任意四边形中三角形的面积关系的结论，得三角形 BOC 的面
积是：
6×20÷30=4,
所以四边形 ABCD 的面积是
6+20+30+4=60.
41. 如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积是 11，三角
形 BCH 的面积是 23，求四边形 EGFH 的面积．【答案】 34
【分析】
连接 EF，S =S ，S =S ．所以，四边形 EGFH 的面积是 11+23=34．
△EFG △ADG △BCH △EFH
42. 如图，E、F 是正方形边上靠近点 C 和靠近点 A 的三等分点，求 AG:EG 和
FG:DG．【答案】 3:8，2:9
【分析】 设正方形的边长是 1，
AG = S △AFD= 1 : ( 1- 1 - 1 - 2) =3:8,
GE S 6 6 6 9
△EFD
FG S 1 1
= △AFE = : =2:9.
GD S 9 2
△ADE
43. 如下图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC,BD 相交于点 O．已知
AB=5,CD=3，且梯形 ABCD 的面积为 4．求三角形 OAB 的面积．25
【答案】
16
【分析】 根据蝴蝶模型．根据题意，AB=5,CD=3,CD:AB=3:5，
则根据蝴蝶模型，
S :S :S :S =9:15:25:15,
△DOC △AOD △AOB △COB
令 S =25 份，则梯形 ABCD 共有：
△AOB
9+15+25+15=64(份).
所以 1 份为：
1
4÷64= ,
16
则三角形 OAB 的面积为
1 25
×25= .
16 16
44. 如下图所示，ABCD 和 CGEF 是两个正方形，AG 和 CF 相交于 H，已知 CH 等
于 CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米．求五边形 ABGEF 的面积．
【答案】 49.5
【分析】 连接 AC、GF，则四边形 ACGF 构成一个梯形，根据蝴蝶模型，因为
△CHG 的面积为 6，所以 △AHF 的面积为 6（蝴蝶翅膀）．
CH 为 HF 长度的一半，所以 △AHC 的面积为 △AHF 面积的一半，三角形 AHC 的面
积为 3；同理 △HFG 面积为 12，则大正方形 EFCG 的面积为 (12+6)×2=36，所以大
正方形的边长为 6，则小正方形 ABCD 的边长为 3，所以三角形 ADF 的面积为 4.5．则
五边形 ABGEF 的面积为：36+9+4.5=49.5．45. 如图，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米，M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的
面积．
【答案】 1 平方厘米
【分析】 因为 M 是 AD 边上的中点，所以 AM:BC=1:2，根据梯形蝴蝶模型可
以知道
S :S :S :S
△AMG △ABG △MCG △BCG12:(1×2):(1×2):22 ¿=¿1:2:2:4,¿
¿
设 S =1 份，则 S =1+2=3 份，所以正方形的面积为 1+2+2+4+3=12 份，
△AGM △MCD
S =2+2=4 份，所以 S :S =1:3，所以 S =1(平方厘米)．
阴影 阴影 正方形 阴影
46. 如下图所示，点 M 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上的一点，且 DM:MC=1:2，四
边形 EBFC 为平行四边形，FM 与 BC 交于点 G．若三角形 FCG 的面积与三角形
MED 的面积之差为 13cm2，求平行四边形 ABCD 的面积．
【答案】 60
【分析】 连接 BD，因为 DE∥BC，所以
DE EM DM 1
= = = ,
BC MB MC 2
所以S S S 1
△DEM = △CEM = △DEM = .
S S S 2
△CEM △CBM △BDM
令 S =a，则 S =S =2a，S =4a，
△DEM △CEM △BDM △CBM
所以
S =S =2+4=6a.
△BCF △BCE
因为 MB∥CF，所以
CG CF EB 3
= = = .
GB MB MB 2
所以
S CG 3
△GCF = = .
S GB 2
△BGF
所以
3 3 18
S = ×S = ×6= a.
△GCF 3+2 △BCF 5 5
因为
S -S =13,
△GCF △DEM
所以
18
a-a=13;a=5.
5
因为
S =S +S =2a+4a=6a,
△BCD △BDM △BCM
所以
S =2×S =2×6a=12a=12×5=60cm2.
平行四边形ABCD BCD
47. 图中四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O 点，如果 △ABD 的面积是 30 平
方厘米，△ABC 的面积是 48 平方厘米，△BCD 的面积是 50 平方厘 米．请问：△BOC
的面积是多少？【答案】 30 平方厘米
【分析】 因为
AO:CO=S :S =3:5,
△ABD △BCD
所以
5
S =S × =30(平方厘米).
△BOC △ABC 8
48. 如图，正方形 ABCD 和正方形 ECGF 并排放置，BF 与 EC 相交于 H，已知
AB=6 厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 18
【分析】 如图，连接 DF，那么显然 △DHG 与 △DHF 同底等高，两者面积相等，
我们容易知道四边形 BCFD 是梯形，由蝴蝶模型可知 △DHF 与 △BHC 面积相等，那么
阴影部分的面积恰好为正方形 ABCD 的一半，即 18 平方厘米．
49. 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？（圆
周率取 3.14）【答案】 113.04
【分析】 方法一：设小正方形的边长为 a，则三角形 ABF 与梯形 ABCD 的面积
均为 (a+12)×a÷2．阴影部分为：大正方形 + 梯形 - 三角形 ABF - 右上角不规则部分
1
= 大正方形 - 右上角不规则部分 = 圆．因此阴影部分面积为：
4
3.14×12×12÷4=113.04．
方法二：连接 AC、DF，设 AF 与 CD 的交点为 M，由于四边形 ACDF 是梯形，根据
梯形蝴蝶定理有 S =S ，所以 S =S =3.14×12×12÷4=113.04
△ADM △CMF 阴影 扇形DCF
50. 梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO 的
2
面积等于三角形 BOC 面积的 ，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比．
3【答案】 4:9
【分析】 根据梯形蝴蝶模型，
S :S =ab:b2=2:3,
△AOB △BOC
可以求出 a:b=2:3，再根据梯形蝴蝶模型，
S :S =a2:b2=22:32=4:9.
△AOD △BOC
51. 如图所示，BD、CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，三角形 DEF 的面积 4 平方厘米，
三角形 CED 的面积是 6 平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？
【答案】 11
【分析】 连接 BF，由于 AD 与 BC 平行的，所以四边形 BCDF 是梯形，
S =S =6,
△BEF △CED
根据蝴蝶模型，
S
△≝¿×S =S ×S ,¿
△BEC △BEF △CED
代入已知部分，可得 S =9(平方厘米)，
△BEC
S =S -S =S -S =9+6-4
ABEF △ABD △≝¿¿ △ABD △≝¿¿
¿ ¿
52. 如图，已知平行四边形 ABCD 的面积为 72，E 点是 BC 上靠近 B 点的三等分点，求
图中阴影部分的面积．
2
【答案】 14
5
【分析】
1 1 1
S = S = S = ×72=12,
△ABE 3 △ABC 6 ABCD 6
S =72-12=60,
AECD
EC 2 S 4
因为 = ，所以 △EOC = ，故设
AD 3 S 9
△DOA
S =4a,S =9a,
△EOC △DOA
所以
S =S =6a,
△AOE △DOCS =6a+4a+6a+9a=25a=60,
AECD
12 72 2
解得 a= ，S =6a= =14 ．
5 △AEO 5 5
53. 图中的四边形土地的总面积是 48 平方厘米，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其
中 2 个小三角形的面积分别是 3 平方厘米和 4 平方厘米．那么最大的一个三角形的面积是
多少平方厘米？
3
【答案】 23
7
【分析】 在 △AOB，△COD 中有 ∠AOB=∠COD，所以 △AOB，△COD 的
面积比为 (AO×OB):(CO×OD)．同理有 △AOD，△BOC 的面积比为
(AO×DO):(BO×OC)．所以有 S ×S =S ×S ，所以有 △AOB 与
△AOB △COD △AOD △BOC
4 3
△AOD 的面积比为 4:3，S = ×(48-3-4)=23 (平方厘米)，
△AOB 3+4 7
3 4 3
S = ×(48-3-4)=17 (平方厘米)，最大的三角形面积是 23 (平方厘米)．
△AOD 3+4 7 7
54. 如图所示，BD、CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，△≝¿ 的面积是 5 平方厘米，
△CED 的面积是 10 平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？【答案】 25 厘米
【分析】
连接 BF，根据梯形模型，可知三角形 BEF 的面积和三角形 DEC 的面积相等，即其面积
也是 10 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为
10×10÷5=20(平方厘米),
所以长方形的面积为
(20+10)×2=60(平方厘米),
四边形 ABEF 的面积为
60-5-10-20=25(平方厘米).
55. 如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD=EC=4，BD=BE=6，那么图中阴影部分面
积是多少？【答案】 15
【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的
对称轴看看．
作辅助线 BO，则图形关于 BO 对称，有
S =S ,S =S ,
△ADO △CEO △DBO △EBO
且
S :S =4:6=2:3.
△ADO △DBO
设 △ADO 的面积为 2 份，则 △DBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为 8 份．
因为
S =6×10÷2=30,
△ABE
而阴影部分的面积为 4 份，所以阴影部分的面积为
30÷8×4=15.
解法二：连接 DE、AC．由于
AD=EC=4,BD=BE=6,
所以 DE∥AC，可知
DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,
根据梯形蝴蝶定理，
S :S :S :S =32:(3×5):(3×5):52=9:15:15:25,
△DOE △DOA △COE △COA
所以
S :S =(15+15):(9+15+15+25)=15:32,
阴影 梯形ADEC
即
15
S = S ;
阴影 32 梯形ADEC
又
1 1
S = ×10×10- ×6×6=32,
梯形ADEC 2 2
所以
15
S = S =15.
阴影 32 梯形ADEC
56. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BE=EC，CF=2FD．求阴影面积与空白面积的比．
【答案】 1:2【分析】 因为 BE=EC，CF=2FD，所以
1
S = S ,
△ABE 4 四边形ABCD
1
S = S .
△ADF 6 四边形ABCD
因为 AD=2BE，所以 AG=2≥¿，
所以
1 1
S = S = S ,
△BGE 3 △ABE 12 四边形ABCD
2 1
S = S = S .
△ABG 3 △ABE 6 四边形ABCD
同理可得，
1
S = S ,
△ADH 8 四边形ABCD
1
S = S .
△DHF 24 四边形ABCD
因为
1
S = S ,
△BCD 2 四边形ABCD
所以
(1 1 1 1 1) 2
空白部分的面积= - - + + = S ,
2 12 24 6 8 3 四边形ABCD
1
所以阴影部分的面积是 S ．
3 四边形ABCD
1 2
: =1:2，所以阴影面积与空白面积的比是 1:2．
3 3
57. 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB
面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由
陆地面积是 6.92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【答案】 0.58 平方千米
【分析】 应用蝴蝶模型
S ×S =S ×S ,
△AOB △COD △BOC △AOD
S =3×1÷2=1.5(平方千米),
△AOD
四边形 ABCD（公园）的面积是
1+2+3+1.5=7.5(平方千米),
人工湖的面积为
7.5-6.92=0.58(平方千米).
58. 下图中，ABCD 和 CGEF 是两个正方形，AG 和 CF 相交于 H，已知 CH 等于
CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积．【答案】 49.5 平方厘米．
【分析】 连接 AC、GF，由于 AC 与 GF 平行，可知四边形 ACGF 构成一个
梯形．
由于 △HCG 面积为 6 平方厘米，且 CH 等于 CF 的三分之一，所以 CH 等于 FH 的
1
，根据梯形蝴蝶定理，可知 △FHG 的面积为 12 平方厘米，△AHF 的面积为 6 平方厘
2
米，△AHC 的面积为 3 平方厘米．
那么正方形 CGEF 的面积为
(6+12)×2=36(平方厘米),
所以其边长为 6 厘米．
又 △AFC 的面积为
6+3=9(平方厘米),
所以
AD=9×2÷6=3(厘米),
即正方形 ABCD 的边长为 3 厘米．那么，五边形 ABGEF 的面积为：
1
36+9+32× =49.5(平方厘米).
259. 如图所示，梯形 ABCD 的面积是 36，下底长是上底长的 2 倍，阴影三角形的面积是多
少？
【答案】 16．
【分析】 上低与下底的长度比为 1:2，设 △OCD 面积是 1 份，则 △AOD 与
△BOC 的面积均为 2 份，△ABO 的面积为 4 份，共有 9 份，梯形面积为 36，故一份所
对应的面积为 4，则 △ABO 的面积为 16．
60. 如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形，AB=4，AD=5，DE=3．求：
（1）三角形 OBC 的面积；
（2）梯形 ABCD 的面积．
【答案】 （1）7.5；（2）40
【分析】 （1）△OBC 的面积等于 △OAD 的面积，即
DE×AD÷2=5×3÷2=7.5
（2）由于 △ABD 的面积等于
AB×AD÷2=4×5÷2=10,则 △ABO 的面积等于
10-7.5=2.5.
由任意四边形模型可求得 △ODC 的面积等于
7.5×7.5÷2.5=22.5.
所以梯形 ABCD 的面积为
7.5+7.5+2.5+22.5=40.
61. 如图所示，ABCD 是梯形，△ADE 面积是 1.8，△ABF 的面积是 9，△BCF 的面积
是 27．那么阴影 △AEC 面积是多少？
【答案】 4.8
【分析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到
S ×S =S ×S ,
△AFB △DFC △AFD △BFC
而
S =S ,
△AFB △DFC
所以可得
S ×S 9×9
S = △AFB △CDF = =3,
△AFD S 27
△BFC
并且
S =S -S =3-1.8=1.2,
△AEF △ADF △AED
而
S :S =AF:FC=9:27=1:3,
△AFB △BFC
所以阴影 △AEC 的面积是：
S =S ×4=1.2×4=4.8.
△AEC △AEF
62. 下图中的正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．1
【答案】
3
【分析】 令三角形 AGM 的面积为 1 份，则三角形 GMC 的面积为 2 份，三角
1 1
形 MCD 的面积为 3 份，所以 1份= ÷6= ．则题目中所求阴影部分面积为：
2 12
1 1
×4= ．
12 3
63. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE 的
面积依次是 2、4、4 和 6．
求：（1）求 △OCF 的面积；
（2）求 △GCE 的面积．2
【答案】 （1）2；（2）
3
【分析】 （1）根据题意可知，△BCD 的面积为 2+4+4+6=16，那么 △BCO 和
△CDO 的面积都是 16÷2=8，所以 △OCF 的面积为 8-4=4；
（2）由于 △BCO 的面积为 8，△BOE 的面积为 6，所以 △OCE 的面积为 8-6=2，根
据蝴蝶模型，
EG:FG=S :S =2:4=1:2,
△COE △COF
所以
S :S =EG:FG=1:2,
△GCE △GCF
那么
1 1 2
S = S = ×2= .
△GCE 1+2 △CEF 3 3
64. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC，CF=FD，求三角形 AEG 的面积．2
【答案】
7
【分析】 连接 EF．
因为 BE=2EC，CF=FD，所以
S
△≝¿=(1
×
1
×
1)S
=
1
S .¿
2 3 2 ▫ABCD 12 ▫ABCD
因为
1
S = S ,
△AED 2 ▫ABCD
根据蝴蝶模型，
1 1
AG:GF= : =6:1,
2 12
所以S =6S
△AGD △GDF
6 1
¿ = × S
7 4 ▫ABCD
¿ ¿
所以
S =S -S
△AGE △AED △AGD
2
¿ = S
7 ▫ABCD
¿ ¿
2
即三角形 AEG 的面积是 ．
7
65. 在三角形 ABC 中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求 BO:OE．
【答案】 8:1
【分析】 解法一：连接 OC．
AE:EC=1:3，可得
S :S =1:3,
△AOE △COE
设 S =x，则
△AOE
S =3x、
△COE
S =4x,
△AOC
再根据燕尾定理，
S :S =BD:DC=2:1,
△AOB △AOC
所以
S =8x,
△AOB
所以
BO:OE=S :S =8:1.
△AOB △AOE解法二：可以用梯形蝴蝶定理来．
2 1
连接 DE，把三角形 ABC 的面积看做“1”，S = ，而 AE 的长占 AC 的 ，
ABD 3 4
1 1 1 1
CD 的长占 CB 的 ， × =
3 4 3 12
来表示 △AED 的面积，所以
BO:OE=S :S =8:1.
△ABD △AED
66. 如图，∠ABE=∠DCF=90∘，AB=3，DC=5，BC=6，BE=EF=FC，AF 交 DE
于 O，则三角形 OEF 的面积是多少？
15
【答案】
16
3×2
【分析】 连接 AD，S = =3，
△AEF 2
1 1 1
×(3+5)×6- ×3×2- ×5×4
OA S 2 2 2 11 5 15
= △ADE= = ，S = ×3= ．
OF S 1 5 △OEF 11+5 16
△FDE ×5×2
267. 如图，梯形 ABCD 的对角线相互垂直．三角形 AOB 的面积是 12，OD 的长是 4，求
OC 的长．
【答案】 6
1
【分析】 S =S =12， ×OC×OD=12，OC=6．
△COD △AOB 2
68. 如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的
长是 9．那么四边形 OECD 的面积是多少？【答案】 119.625
【分析】 因为连接 ED 知道 △ABO 和 △EDO 的面积相等即为 54，又因为
OD:OB=16:9，所以 △AOD 的面积为
54÷9×16=96,
根据四边形的对角线性质知道：△BEO 的面积为：
54×54÷96=30.375,
所以四边形 OECD 的面积为：
54+96-30.375=119.625.
69. 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO=1，并且 $
\dfrac{\text{三角形 $ ABD $ 的面积}}{\text{三角形 $ CBD $ 的面积}}= \dfrac{3}{5}$，那么
OC 的长是多少？
5
【答案】
3
【分析】 根据蝴蝶定理，\[\dfrac{\text{三角形 $ABD$ 的面积}}{\text{三角形 $CBD$
AO 3 5
的面积}}= \dfrac{{AO}}{{CO}},\]所以 = ，又 AO=1，所以 CO= ．
CO 5 370. 如图，长方形 ABCD 中，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形 DFG 的面积为 2
平方厘米，求长方形 ABCD 的面积．
【答案】 72 平方厘米．
【分析】 连接 AE，FE．
因为 BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，所以
S
△≝¿=(3
×
1
×
1)S
=
1
S .¿
5 3 2 长方形ABCD 10 长方形ABCD
1
因为 S = S ，
△AED 2 长方形ABCD
1 1
AG:GF= : =5:1,
2 10
所以 S =5S =10 平方厘米，所以 S =12 平方厘米．因为
△AGD △GDF △AFD
1
S = S ，所以长方形 ABCD 的面积是 72 平方厘米．
△AFD 6 长方形ABCD
71. 如图，ABCD 是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3，那么梯形 ABCD 的面积是多少？【答案】 40
【分析】 分别计算 △AOD,△AOB,△DOC,△BOC 的面积，再求和．
延长 EO 交 AB 于 F 点，
可得
DE:BF=DO:OB=3:1,
所以
S :S =3:1;
△AOD △AOB
S :S =3:1,
△DOC △BOC
S =S .
△AOD △BOC
又因为
1
S = ×4×5=10,
△ABD 2
得到
3
S = S =7.5,
△AOD 4 △ABD
S =2.5,S =7.5,
△AOB △BOCS =3S =3×7.5=22.5.
△DOC △BOC
所以
S =7.5+2.5+7.5+22.5=40.
梯形ABCD
72. 如图，正六边形面积为 6，那么阴影部分面积为多少？
8
【答案】
3
【分析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性
质，和梯形蝴蝶模型把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积
8 8
×6= ．
18 373. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，E 为 AD 中点，F 为 CE 中点，G 为
BF 中点，求三角形 BDG 的面积．
【答案】 6.25 平方厘米．
【分析】 设 BD 与 CE 的交点为 O，连接 BE、DF．
由蝴蝶定理可知
EO:OC=S :S ,
△BED △BCD
而
1 1
S = S ,S = S ,
△BED 4 ▫ABCD △BCD 2 ▫ABCD
所以
EO:OC=S :S =1:2,
△BED △BCD
故1
EO= EC.
3
由于 F 为 CE 中点，所以
1
EF= EC,
2
故
EO:EF=2:3,FO:EO=1:2.
由蝴蝶定理可知
S :S =FO:EO=1:2,
△BFD △BED
所以
1 1
S = S = S ,
△BFD 2 △BED 8 ▫ABCD
那么
1
S = S
△BGD 2 △BFD
1
¿ = ×10×10
16
¿ ¿
74. 如图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点．三角形 ABC 由
① ～ ⑥ 这 6 部分组成，其中 ② 比 ⑤ 多 6 平方厘米．那么三角形 ABC 的面积是多少
平方厘米？
【答案】 48【分析】 因为 E 是 DC 中点，F 为 AC 中点，有 AD=2FE 且 EF 平行于
AD，则四边形 ADEF 为梯形．在梯形 ADEF 中有 ③=④，②×⑤=③×④，
②:⑤=AD2:FE2=4．
又已知 ②-⑤=6，所以 ⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4=8，所以 ②×⑤=④×④=16，
而 ③=④，所以 ③=④=4，梯形 ADEF 的面积为 ②、③、④、⑤ 四块图形的面积和，
为 8+4+4+2=18．
有 △CEF 与 △ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，即为 1:4．所以 △ADC
4 4 4
面积为梯形 ADEF 面积的 = ，即为 18× =24．
4-1 3 3
因为 D 是 BC 中点，所以 △ABD 与 △ADC 的面积相等，而 △ABC 的面积为 △ABD、
△ADC 的面积和，即为 24+24=48(平方厘米)．三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米．
75. 如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积．
10
【答案】
7
5
【分析】 因为 BD:CE=2:5，且 BD∥CE，所以 DA:AC=2:5，S = ，
△ABC 2+5
5 10
S = ×2= ．
△DBC 7 7
76. 如图所示，在正方形 ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是 48 和 12，且红、绿
两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一
个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是多少？【答案】 27
【分析】 由于黄色正方形的两个顶点分别在红色正方形和绿色正方形的中心，所以红
色正方形与黄色正方形重合部分的面积为
1
×48=12
4
绿色正方形与黄色正方形重合部分的面积为
1
×12=3
4
黄色正方形可分为 4 部分，如右上图所示，除了与其它两个正方形重合的两个部分，另外两
个部分的面积相等，设为 a．在其中可类似运用四边形中的蝴蝶定理，可得
a2=12×3=36=62
所以 a=6．
所以黄色正方形的面积为
12+3+6×2=27
77. 梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9 平方厘米，问三角形 AOD 的
面积是多少？【答案】 4 平方厘米
【分析】 根据梯形蝴蝶模型，a:b=1:1.5=2:3，S :S =a2:b2=22:32=4:9，
△AOD △BOC
所以 S =4(平方厘米)．
△AOD
78. 如图，BD，CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，红色三角形面积是 4 平方厘米，黄色三
角形面积是 6 平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米？
【答案】 11
【分析】 连接 BF，四边形 BCDF 为梯形，则 △BFE 的面积与黄色 △CDE 的
面积相等为 6．
S ×S =S ×S =6×6=36,
△FED △BCE △BFE △CDE
所以
S =36÷4=9.
△BCE
S =S +S =9+6=15.
△BCD △BEC △CDE
又因为 BD 是长方形 ABCD 的对角线，
S =S =15
△ABD △BCD
所以
S =S -S =15-4=11.
绿色四边形ABEF △ABD 红色△FED绿色四边形面积为 11 平方厘米．
1 1
79. 如图，△ABC 中 AE= AB，AD= AC，ED 与 BC 平行，△EOD 的面积是 1 平
4 4
方厘米．那么 △AED 的面积是 平方厘米．
5
【答案】
3
1 1
【分析】 因为 ED 与 BC 平行，且 AE= AB，所以 ED= BC，所以
4 4
S :S =1:16 又因为 △EOD 的面积是 1 平方厘米，所以 △BOC 的面积是 16 平
△EOD △BOC
方厘米，由蝴蝶模型结论知 △DOC 的面积是 4 平方厘米，所以 △EDC 的面积是 5 平方
1 5
厘米，又因为 AD= AC，所以 AD:DC=1:3 所以 △AED 的面积是 平方厘米．
4 3
80. 如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、
AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形 ABC 的
面积是 ．【答案】 36
【分析】 方法一：延长 AD 交 BC 于点 M，连接 BD、CD，应用燕尾模型，
得
2 3
S = ,S = ,
1 5 2 5
再由蝴蝶模型，S =S ，所以
△BDE △ADE
2 12
S =2+ = ,
△BDM 5 5
18
同理 S = ，而
△CDM 5
2
MD:DA= :2=1:5,
5
所以 S =5S ，同理 S =5S ，所以
△ABD △BDM △ACD △CDM
(12 18)
S =6S =6× + =36.
△ABC △BDC 5 5方法二：由于等腰直角三角形 DEF 的面积是 1，所以 EF＝2，而
S =1+2+3=6,
△AEF
所以等腰直角 △ABC 的高为
6×2÷2=6,
所以 △ABC 的面积是
6×6÷2×2=36.
81. 如图，在三角形 ABC 中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD．连接 CF 交 DE 于
EP
P 点，求 的值．
DP
9
【答案】
4
【分析】 连接 DF、FE．
因为 AF=2BF，所以
1 1
S = S = S .
△BFC 2+1 △ABC 3 △ABC
又因为 CD=2BD，所以
2 2 1 2
S = S = × S = S .
△DFC 2+1 △BFC 3 3 △ABC 9 △ABC
因为 AF=2BF，所以2 2
S = S = S .
△AFC 2+1 △ABC 3 △ABC
又因为 CE=3AE，所以
3 3 2 1
S = S = × S = S .
△EFC 1+3 △AFC 4 3 △ABC 2 △ABC
所以
1
×S
EP S 2 △ABC 9
= △FEC = = .
PD S 2 4
△EFD ×S
9 △ABC
82. 如图中四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O，如果三角形 ABD 的面积是
30 平方厘米，三角形 ABC 的面积是 48 平方厘米，三角形 BCD 的面积是 50 平方厘米．
请问：三角形 BOC 的面积是多少？
【答案】 30
【分析】 根据题意可得：\[\text{三角形 $BAD$ 与三角形 $BCD$ 的面积比}=AO:CO
5
= 30:50 = 3:5,\]所以三角形 BOC 的面积为 48× =30．
8
83. 如图所示，BD，CF 将长方形 ABCD 分成4块，△≝¿ 的面积是 4 cm ❑ 2，△CED 的
面积是 6cm2．四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？【答案】 11
【分析】 连接 BF，在右边的梯形 BCDF 中，由梯形基本结论知：
S =S =6，所以 S =9，S =9+6=15，又 AF:BC=(6-4):6=1:3，所以
△BEF △CDE △BEC △BFC
S =5，所以四边形 ABEF 的面积是 11 平方厘米。
△ABF
84. 如图，梯形 ABCD 的上底 AD 长为 3 厘米，下底 BC 长为 9 厘米，而三角形 ABO
的面积为 12 平方厘米．则梯形 ABCD 的面积为多少平方厘米？
【答案】 64
【分析】 △ADD 与 △BCO 的面积比为 AD 平方与 BC 平方的比，即为
1
9:81= .
9
而 △DCO 与 △ABO 的面积相等为 12，又
S S △×S =S ×S =12×12=144,
△BCO △DCO △ADO △BCO
ABO
因为 144÷9=4×4，所以
S =4,
△ADO
则
S △=4××9=36,
BCO
而梯形 ABCD 的面积为 △ADO、△BCO、△ABO、△CDO 的面积和，即为
4+36+12+12=64(平方厘米).即梯形 ABCD 的面积为 64 平方厘米．
85. 长方形 ABCD 中，对角线交于 O 点，F 是 BC 上一点，连接 AF、DF．如图得到
三块阴影，已知阴影的面积之和是 28 平方厘米，长方形的长是 8 厘米，宽是 6 厘米．求
四边形 OEFG 的面积．
【答案】 4 平方厘米．
【分析】 由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形 CDG 的面积就等于 AFG 的
面积．
这样阴影面积之和就变成了 △ABD 和四边形 OEFG 的面积之和．
前者面积是
8×6÷2=24(平方厘米).
后者面积是
28-24=4(平方厘米)
即为所求．
86. 图中 △AOB 的面积为 15cm2，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的
面积．
【答案】 80cm2【分析】 在 △ABD 中，因为
S =15(cm2 ),
△AOB
且 OB=3OD，所以有
S =S ÷3=5(cm2 ).
△AOD △AOB
因为 △ABD 和 △ACD 等底等高，所以有
S =S .
△ABD △ACD
从而
S =15(cm2 ),
△OCD
在 △BCD 中，
S =3S =45(cm2 ),
△BOC △OCD
所以梯形面积：
15+5+15+45=80(cm2 ).
87. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，F 是 BC 边的中点，E 是 DC 边上的点，且
DE:EC=1:3，AF 与 BE 相交于点 G，求 S ．
△ABG
32
【答案】
11
【分析】 方法一：连接 AE，延长 AF，DC 两条线交于点 M，构造出两个沙漏，所以有
AB:CM=BF:FC=1:1,
因此 CM=4，根据题意有 CE=3，再根据另一个沙漏有
GB:≥=AB:EM=4:7,
所以
4 4 32
S = S = ×(4×4÷2)= .
△ABG 4+7 △ABE 11 11
方法二：
连接 AE,EF，分别求
S =4×2÷2=4,
△ABF
S =4×4-4×1÷2-3×2÷2-4=7,
△AEF
根据蝴蝶定理
S :S =BG:≥=4:7,
△ABF △AEF
所以
4 4 32
S = S = ×(4×4÷2)= .
△ABG 4+7 △ABE 11 11
