2024年高考数学试卷（北京）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2024·高考数学真题

绝密★本科目考试启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共 12页，150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
M ={x|-4< x£1} N ={x|-1< x<3} M ÈN =
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
   
A. x -4< x<3 B. x -1< x£1
C. 0,1,2 D.  x -1< x<4 
z
2. 已知 =i-1，则z =（ ）．
i
A. 1-i B. -i C. -1-i D. 1
3. 求圆x2 + y2 -2x+6y =0的圆心到x- y+2=0的距离（ ）
A. 2 3 B. 2 C. 3 2 D. 6
 4
4. x- x 的二项展开式中x3的系数为（ ）
A. 15 B. 6 C. -4 D. -13
r r r rr r r r r r
5. 已知向量a，b ，则“ a+b · a-b =0”是“a =b或a =-b”的（ ）条件．
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
π
6. 已知 f x=sinwxw>0 ， f x =-1， f x =1，|x -x | = ，则w=（ ）
1 2 1 2 min 2
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
.
S-1
7. 记水的质量为d = ，并且d越大，水质量越好．若S不变，且d =2.1，d =2.2，则n 与n 的关
lnn 1 2 1 2
系为（ ）
A. n <n
1 2
第1页/共4页
学科网（北京）股份有限公司n >n
B
. 1 2
C. 若S <1，则n <n ；若S >1，则n >n ；
1 2 1 2
D. 若S <1，则n >n ；若S >1，则n <n ；
1 2 1 2
8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，2 2，2 2，则该四棱锥的高为（ ）
2 3
A. B. C. 2 3 D. 3
2 2
9. 已知 x ,y  ， x ,y  是函数y =2x图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
1 1 2 2
y + y x +x y + y x +x
A. log 1 2 > 1 2 B. log 1 2 < 1 2
2 2 2 2 2 2
y + y y + y
C. log 1 2 > x +x D. log 1 2 < x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
10. 若集合 x,y| y = x+t(x2 -x),0£t £1,1£ x£2  表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，
则（ ）
A. d =3，S <1 B. d =3，S >1
C. d = 10 ，S <1 D. d = 10 ，S >1
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分.
11. 已知抛物线y2 =16x，则焦点坐标为________．
éπ πù
12. 已知aÎ ê , ú ，且α与β的终边关于原点对称，则cosb的最大值为________．
ë6 3û
x2
13. 已知双曲线 - y2 =1，则过 3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．
4
14. 已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为
325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．
15. 已知M =k|a =b  ，a ，b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.
k k n n
①a ，b 均为等差数列，则M中最多一个元素；
n n
②a ，b 均为等比数列，则M中最多三个元素；
n n
③a 为等差数列，b 为等比数列，则M中最多三个元素；
n n
第2页/共4页
学科网（北京）股份有限公司④a 单调递增，b 单调递减，则M中最多一个元素.
n n
三、解答题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
3
16. 在△ABC中，a=7，A为钝角，sin2B= bcosB．
7
（1）求ÐA；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．
13 5
①b=7；②cosB= ；③csinA= 3．
14 2
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
17. 已知四棱锥 P-ABCD， AD//BC， AB = BC =1， AD =3， DE = PE =2，E 是 AD上一点，
PE^AD．
（1）若F是PE中点，证明：BF//平面PCD．
（2）若AB^平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
18. 已知某险种的保费为0.4 万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润
的数学期望．
x2 y2  
19. 已知椭圆方程C： + =1a >b>0，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 0,t t > 2
a2 b2
的直线l与椭圆交于A，B，C0,1
，连接AC交椭圆于D．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t．
第3页/共4页
学科网（北京）股份有限公司20. 已知 f x= x+kln1+x 在t, f tt >0处切线为l．
（1）若切线l的斜率k = -1，求 f x 单调区间；
（2）证明：切线l不经过
0,0
；
（3）已知k=1，A  t, f t ，C  0, f t ，O0,0 ，其中t >0，切线l与y轴交于点B时．当
2S =15S ，符合条件的A的个数为？
△ACO △ABO
（参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95）
21. 设集合M = i, j,s,t iÎ1,2, jÎ3,4,sÎ5,6,tÎ7,8,2 i+ j+s+t ．对于给定有穷数列
A:a 1£n£8 ，及序列W:w,w,...,w，w =i , j ,s ,t ÎM ，定义变换T ：将数列A的第
n 1 2 s k k k k k
i , j ,s ,t 项加1，得到数列T A；将数列T A的第i , j ,s ,t 列加1，得到数列TT A …；重复上述
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1
操作，得到数列T ...TT A ，记为WA ．
s 2 1
（1）给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列W:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7 ，写出WA
；
（2）是否存在序列W，使得WA 为a +2,a +6,a +4,a +2,a +8,a +2,a +4,a +4，若存在，
1 2 3 4 5 6 7 8
写出一个符合条件的W；若不存在，请说明理由；
（3）若数列A的各项均为正整数，且a +a +a +a 为偶数，证明：“存在序列W，使得WA 为常数
1 3 5 7
列”的充要条件为“a +a =a +a =a +a =a +a ”．
1 2 3 4 5 6 7 8
第4页/共4页
学科网（北京）股份有限公司