文档内容
应用题-经典应用题-方阵问题基本知
识-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
方阵问题基本知识 B 1.明确空心方阵和实心方阵的概念 少考
及区别
2.掌握空心方阵和实心方阵的变化
规律
知识提要
方阵问题基本知识
概述
在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为
方阵问题。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心
的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。
实心方阵的特点
总人（或物）数=每边人（或物）数 × 每边人（或物）数
空心方阵的特点
总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数 - 层数）× 层数 ×4
奇数层：总人数=中间层总数 × 层数
偶数层：总人数=（外层 + 内层）× 层数 ÷2
若最外层每边有 a 人，内部虚方阵每边有 b 人，则空心方阵共有 (a2-b2 ) 人。
变化规律
相邻两边之间相差 2；
相邻两层之间相差 8；
每层人（或物）数=每边人（或物）数 ×4-4 =[每边人（或物）数 -1 ] ×4精选例题
方阵问题基本知识
1. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边的
人数等于 8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边
的人数多 4 人，甲方阵的人数正好可以填满丙方阵的空心，那么，五年级参加广播操比赛的
一共有 人．
【答案】 260
【分析】 根据题意，乙方阵加上两个甲方阵的人数 128 人可以构成实心的丙方阵，
且丙方阵每边人数比乙方阵多 4 人，所以由 (b+4) 2-b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，
所以 b＝14，因此乙方阵每边人数 14 人，五年级一共有 14×14+8×8=260（人）．
2. 有一些人组成 2 个正方形方阵，2 个正方形方阵之间相差 97 个人，那么这 2 个正方形
方阵一共有 人．
【答案】 4705
【分析】 假设 A 方阵有 a 人，B 方阵有 b 人，那么应该有 b2-a2=97，因此
(b-a)(b+a)=97，49×49+48×48=4705．
3. 有 196 枚围棋子，摆成一个 14×14 的正方形．甲、乙两人依次从最外一层起取走每一
层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了 枚棋子．
【答案】 28
【分析】 196 枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为 14×4-4=52，相邻两层棋子
数相差 8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了
52+36+20+4=112(枚) 棋子，乙取走了 44+28+12=84(枚) 棋子，甲比乙多取了
112-84=28(枚) 棋子．
4. 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余 12 名同学，如果把这个正方形扩
大，纵横每排各增加一人，则缺少 9 人 ．
【答案】 112
【分析】 增加的一行一列有 12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有
(21-1)÷2=10(人)，东风小学仪仗队有学生 10×10+12=112(人)．5. 一个正方形方阵，其中的 4 行 5 列的人数总和为 250 人，那么如果将这个方阵去掉一
行一列还剩 人．
【答案】 841
【分析】 4 行 5 列，包括重复计算的：250＋20＝270 人，每行：270÷9＝30
人，所以还剩：30×30-30-30＋1＝841 人
6. 有大小相同的正方形白石和黑石各 n 个．首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后
在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的
外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）．那么 2n= ．
【答案】 144 个【分析】 如上图所示，记最外层的一圈白石为 a 个，它里面的一圈黑石为 b 个，
再里边的一圈白石为 c 个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈 (d个) 和里面的正
方形 (e个) 两部分．
注意到 a-b=b-c=c-d=8，所以 c=d+8,b=d+16,a=d+24．因为
黑石的总数=白石的总数，所以
b+d+e=a+c,d+16+d+e=d+8+d+24,e=32-16=4×4．
最大的正方形的每一边有 4+4×2=12（个）石子，所以石子的总数为 12×12=144（个）．
7. 小虎在 19×19 的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上
45 枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了
枚棋子．
【答案】 285
【分析】 45=3×3×5，它小于 19 的最大约数为 15，所以不变的边长应为 15，
另一边最长为 19，所以小虎最多用了 15×19=285（枚）棋子．
8. 在一个实心学生方阵中加入 13 人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，
则原来的方阵有学生多少人？
【答案】 36
【分析】 (13－1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有 6×6＝36（人）．
9. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了 324 块，最里面一层是蓝色
的，第二层是白色，第三层是蓝色……这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色
瓷砖多少块？
【答案】 蓝色；144．
【分析】 324=18×18，共有 9 层，所以最外层是蓝色的；共有白色瓷砖：
12+28+44+60=144 块．
10. 在一个实心学生方阵中加入若干人，原来的方阵变成一个多一行，多一列的方阵；若原来
的方阵减少 13 人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，问后来加入的学生有
多少人？
【答案】 15
【分析】 (13+1)÷2＝7（人），7×2＋1＝15（人），所以后来加入的学生有
15 人．11. 在一个实心学生方阵中减少 11 人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，则
原来的方阵有学生多少人？
【答案】 36
【分析】 (11+1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有 6×6＝36（人）．
12. 有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片．小高用白色纸片拼成中间没有缝隙
的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后有用白色
纸片拼下去，……，这样重复拼．当小高用黑色纸片拼过 5 次以后，黑、白纸片正好用完．
请问：黑色纸片至少有多少张？
【答案】 350 张．
【分析】 不妨设每张小纸片的边长为 1．从外往内，每次同时“剥开”一层黑纸片和
一层白纸片，剥了 5 次之后，就只剩下中心的一个由白纸片组成的长方形．每次“剥开”的
过程，黑纸片比白纸片多 8 张．由于一共有 5 层黑纸片，所以一共可以剥除 5 次，所有被
剥除 的黑纸片比所有被刹除的白纸片多 40 张，而总共的黑白纸片数量相同，所有最后剩余
的只有白纸片构成的长方形中有 40 张白纸片．这个长方形的长和宽都是整数，它的长与宽
的所有可能是：40×1、20×2、10×4、8×5．由于全部纸片铺成的大长方形的长和宽比被“剥除”五次之后剩下的长方形的长和宽都大 20，
所以大长方形的面积可以是 60×21=1260、40×22=880、30×24=720、28×25=700，
其中最小的面积是 700．而黑纸片的张数是这个面积的一半，所以最少有黑纸片 350 张．
13. 如图，一块绿地由 3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要
求在草地与草地的公共点都种上（即图中的 A、B、C 点），且每块草地上的花朵排成了一
个三角形点阵，且每条边上有 10 朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？
【答案】 162 朵．
【分析】 每个三角形草地里每边都有 10 朵花，所以每片草地有：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 朵花，三片草地共有：55×3=165 朵花．但这样算，
三角形的连接处都被算了 2 次，多算 1 次，所以整个绿地一共种花 165-3=162 朵．
14. 某小学三年级共有学生 120 人，排成一个三层的空心方阵．这个方阵最外层每边有多少
人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，
变成一个五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？
【答案】 13；56；24．
【分析】 一个三层方阵，外层比中层多 8 人，中层比内层多 8 人，所以中层有：
120÷3=40 人，最外层共有 40+8=48 人，所以，最外层每边 48÷4+1=13 人；外面加
一层需要有 48+8=56 人；内部加一层需要 40-8-8=24 人．
15. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有 20 个学生，问这个空心方
阵最内层共有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？【答案】 52；256
【分析】 20-2-2-2＝14（人）；14×4-4＝56-4＝52（人）；14-2=12
（人），202-122=400-144=256（人）．
所以这个空心方阵最内层共有 52 个学生，这个四层空心方阵共有 256 个学生．
16. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中
的阵列类似．从外向内一共 8 层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四
年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有 126 名，那么：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？（最里层可站 1 个
人）
【答案】 （1）66 人；（2）360 人；（3）37 人．
【分析】 （1）六边形阵列中，相邻两层相差 6 人，所以最外层共有：
(126+6)÷=66 人．
（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360 人
（3）还需要：18+12+6+1=37 人．
17. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有 12 人，共有多少层？1∼4 层一共有多少
人？
【答案】 6；64
【分析】 12÷2＝6（层），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有 6 层，
1∼4 层一共有 64 人．18. 120 个棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有多少棋子？
【答案】 13 个
【分析】 中间层总数为 120÷3=40（人），则每边有 40÷4+1=11（人），所以
最外层每边有 11+2=13（人）．
19. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边比最内一层多 10 人，共有多少层？
【答案】 6
【分析】 (10÷2)+1＝6（层），所以共有 6 层．
20. 同学们用 64 盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，
还需多少盆花？
【答案】 44
【分析】 对于两层方阵，外层比内层多 8 盆，两层共 64 盆，利用和差问题的解法，
可以求出外层盆数是 (64+8)÷2=36（盆），从而得出需增加的盆数，36+8=44（盆）．
21. 刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了 6 棵树苗；后来又运来了
34 棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵．那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
【答案】 11 或 7
【分析】 若增加了 1 层，则现在最外层共有 40 棵树，所以最外层每边共有：
(40+4)÷4=11；
若增加了2层，则 40=16+24，此时最外层有：(24+4)÷4=7（棵）树．
22. 在一个实心学生方阵中加入 9 人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则
原来的方阵有学生多少人？
【答案】 16
【分析】 (9－1)÷2＝4（人），所以原来的方阵有 4×4＝16（人）．
23. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个 10 行 10 列的方阵，求较
小方阵有多少人？
【答案】 36【分析】 10 行 10 列的方阵由 100 人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会
超过 10 人，大方阵人数应该在 50∼100 之间，可取 64 或 81，运用枚举法，可求出满足
条件的是：大方阵有 64 人，小方阵有 36 人．
24. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共 256 块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二
层是白色，第三层是黑色……这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？
【答案】 144．
【分析】 256=16×16，所以最外层每边 16 块，从外往里共有 8 层，所以黑的共
有：60+44+28+12=144 块．
25. 一队战士排成一个三层空心方阵多出 16 人，如果在空心部分再增加一层又缺 28 人，这
队战士共有多少人？
【答案】 196
【分析】 16+28=44（人），所以空心部分新增一层每边有 44÷4+1=12（人），
所以最外层每边有 12+2×3=18（人），所以排好的三层共 182-122=324-144=180
（人），因此这队战士共 180+16=196（人）．
26. 如图所示，用 10 枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边 4 枚棋子；用 9 枚棋子可以
摆成一个正方形点阵，每边 3 枚棋子．今有一堆棋子，棋子总数小于 100，用这堆棋子既可
以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？
【答案】 36
【分析】 100 以内的平方数，只有
62=36=1+2+3+4+5+6+7+8
所以 36 既可以组成边长为 6 的方阵，也能组成边长为 8 的正三角形点阵．
27. 有一个 240 人排成的 5 层空心方阵，再增加多少人在最内层，就可以使该方阵变成一个
6 层空心方阵？
【答案】 24【分析】 240÷4÷5＋5＝12＋5＝17（人），17-2-2-2-2-2＝7（人），
(7-1)×4＝24（人），
答：再增加 24 人在内部，就可以使该方阵变成一个 6 层空心方阵．
28. 晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，如图所示，外层每边有 14 个
棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？
【答案】 96
【分析】 方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2 个．知道最外面一层每边放 14
个棋子，就可以求出第二层每边的个数．知道各层每边的个数，就可以求出总数．
(14-1)×4=52(个)
(14-2-1)×4=44(个)
52+44=96(个)
一共用了 96 个棋子．
