文档内容
数论-因数和倍数-倍数-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
倍数 C 1、理解倍数的定义 少考
2、能够准确写出一个数的较小的倍
数。
知识提要
倍数
定义
对于整数 a 和 b，如果 a∣b，我们就称 b 是 a 的倍数。
精选例题
倍数
1. 有 n 个自然数相加：1+2+⋯+n=aaa，那么 a= ．
【答案】 36
【分析】 1+2+3+⋯+n=(1+n)n÷2=111a，(1+n)n=2×3×37×a，a 取
1～9．n 和 n+1 中有一个是 37 的倍数，如果 n=37k，则 37k2+k=6a⩽54，所以
k=1，此时 a 不是整数．只有 n+1=37k，则 37k2-k=6a，同样地k只能能取 1，此时
a=6．所以 n=36．
2. 2011年3月11日，日本发生里氏 9 级大地震．在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域
再次发生 5 级地震．已知里氏地震级数每升 2 级，地震释放能量扩大到原来的 1000 倍，
那么3月11日的大地震释放能量是3月15日东海岸地震的 倍．
【答案】 1000000
【分析】 1000×1000=10000003. 一个四位数 2abc 扩大 3 倍后，变成了 abc8，这个四位数是 ．
【答案】 2856
【分析】 根据题意，c×3 的个位数字是 8，知道 c=6，b×3 的个位数字是
6-1=5，所以 b=5，a×3 的个位数字是 5-1=4，所以 a=8，因此这个四位数是 2856．
4. 阿凡达有一个出了故障的计算器．当打开电源时，视窗上显示数字 0．如果按下“+”键则
它会加上 51；按下“-”键则它会减去 51；按下“×”键则它会加上 85；按下“÷”键则它
会减去 85；而其他的按键则无效．阿凡达打开计算器电源，任意操作上述按键，那么他可以
得到最接近 2010 的数是 ．
【答案】 2006
【分析】 该题关键在于发现 51 与 85 均为 17 的倍数，因为初始显示是 0，那么
不管怎么按 +,-,×,÷ 四个按键，得到的一定是 17 的倍数，而最接近 2010 的 17 的倍数
为 2006，并且 2006=17×118 是可以操作出来的．如按 23 次“×”键，再按一次“+”
键．
5. （1）1～1000 中有 个 3 的倍数．
（2）1～100 中有 个是 2 的倍数也是 3 的倍数的数．
【答案】 （1）333；（2）67
【分析】 （1）高斯记号作为“记号”的应用实例，[1000÷3]=333；
（2）2 的倍数的个数：
[100÷2]=50;
3 的倍数的个数：
[100÷3]=33;
6 的倍数的个数：
[100÷6]=16;
所以
50+33-16=67.
6. abc 是三位数，若 a 是奇数，且 abc 是 3 的倍数，则最小是 ．
【答案】 102
【分析】 a 为奇数，且要求最小，则 a=1，b=0．又要求为 3 的倍数，则
a+b+c 为 3 的倍数，所以 b=0，c=2．7. 一个五位数恰好等于它各位数字和的 2007 倍，则这个五位数是多少？
【答案】 36126；54189
【分析】 这个五位数是 abcde，则 abcde=(a+b+c+d+e)×2007．
因 2007=3×3×223=9×223，所以 abcde 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，
(a+b+c+d+e) 数字和的可能是：9、18、27、36、45．逐一试验．
数字和是 9，则数是：2007×9=18063，不符；
数字和是 18，则数是：2007×18=36126，符合；
数字和是 27，则数是：2007×27=54189，符合；
数字和是 36，则数是：2007×36=72252，不符；
数字和是 45，则数是：2007×45=90315，不符．
8. 在算式“路亨+路亨=刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同
的数字．已知 刘吉吉 是 8 的倍数，那么四位数 亨吉刘路 是多少？
【答案】 2417
【分析】 易知“刘是”1，且“吉”是偶数．那么“刘吉吉”可能是 100、122、
144、166、188．其中只有 144 是 8 的倍数．那么算式应该是 72+72=144，要求的四位
数是 2417．
9. 下列哪些数是 2 的倍数？哪些是 3 的倍数？哪些是 5 的倍数？
12466012035320421653120
【答案】 见解析．
【分析】 2 的倍数：
124660120320423120;
3 的倍数：
1260120421653120;
5 的倍数：
60120353201653120.
10. 在算式 12×23▫=▫32×21 的两个方框中填入一个相同的数字，使得等式成立且等式关于
等号是对称的．【答案】 12×231=132×21
【分析】 21 有质因数 7，所以 23▫ 应该是 7 的倍数，只能填 1 或 8，经检验，
应填 1．
11. 在 1、2、3、4、⋯、2002、2003 这 2003 个自然数中，
（1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是 160 的倍数？
（2）写出你所取的所有数．
【答案】 （1）13
（2）80,240,400,560,720,880,1040,1200,1360,1520,1680,1840,2000
【分析】 因为选出的数中任意两个数的和都是 160 的倍数，那么有两种情况，第一
种：这些数都是 160 的倍数，第二种：这些数除以 160 的余数都是 80．从 1～2003 之
[2003]
间，满足第一种情况的数共有 =12 个．满足第二种情况的数共有 13 个，所以最多
160
为 13 个．
12. 一个三位数恰好等于它各位数字和的 27 倍，则这个三位数是多少？
【答案】 243；486
【分析】 这个四位数是 abc，则 abc=(a+b+c)×27．
因 27=3×3×3=9×3，所以 abc 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，(a+b+c) 数
字和的可能是：9、18、27、36、45．逐一试验．
数字和是 9，则数是：27×9=243，符合；
数字和是 18，则数是：27×18=486，符合；
数字和是 27，则数是：27×27=729，不符；
13. 从 1～10 这 10 个自然数中，每次取出两个不同的自然数，使它们的和是 5 的倍数．
一共有多少种不同的取法？
【答案】 9
【分析】 从 1～10 这 10 个自然数中，每次取出两个不同的自然数有
10×9÷2=45 种，和是 5 的倍数有三类可能，
第一类，和是 5，有 1+4，2+3；
第二类，和是 10，是 5 的 2 倍数，有 1+9，2+8，3+7，4+6；
第三类，和是 15，是 5 的 3 倍数，有 5+10，6+9，7+8，把它们的数加起来共 9 种．
14. 一个四位数恰好等于它各位数字和的 207 倍，则这个四位数是多少？
【答案】 3726；5589【分析】 这个四位数是 abcd，则 abcde=(a+b+c+d)×207．
因 207=3×3×23=9×23，所以 abcd 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，
(a+b+c+d) 数字和的可能是：9、18、27、36、45．逐一试验．
数字和是 9，则数是：207×9=1863，不符；
数字和是 18，则数是：207×18=3726，符合；
数字和是 27，则数是：207×27=5589，符合；
数字和是 36，则数是：207×36=7452，不符．
15. 如图，点 B 是正方形一条边上的四等分点．连结 AB、BC，点 D、E 又是 AB、BC
的四等分点，连结 CD、DE．如果正方形边长为 24 厘米，那么：
（1）三角形 ABC 的面积是多少？
（2）三角形 CDE 的面积是多少？
【答案】 （1）288 平方厘米；（2）162 平方厘米．
【分析】 （1）△ABC 的面积是正方形面积的一半，即
242÷2=288(平方厘米);
3
（2）△BCD 的面积是 △ABC 面积的 ，即
4
3
×288=216(平方厘米);
4
3
△CDE 的面积是 △BCD 面积的 ，即
4
3
×216=162(平方厘米).
4
16. （1）1～100 中有 个是 3 的倍数也是 5 的倍数的数．（2）计算 {1÷5}+{2÷5}+{3÷5}+⋯+{19÷5}+{23÷5}．
【答案】 （1）47；（2）9.2
【分析】 （1）3 的倍数的个数：
[100÷3]=33;
5 的倍数的个数：
[100÷5]=20;
15 的倍数的个数：
[100÷15]=6;
所以
33+20-6=47.
（2）一共有
23÷5=4⋯⋯3.
原式 =(0.2+0.4+0.6+0.8+0)×4+0.2+0.4+0.6
¿ ¿
17. 猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数
的密码是：
A B C D E F
他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A 是 5 的最大因数，B
的所有因数是 1，2，4，8，C 是最小的自然数．D 只有一个因数，E 既是质数，又是偶数，
F 既是 9 的因数又是 9 的倍数．你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推
理的理由是什么？
【答案】 580129；理由见解析．
【分析】 A 是 5 的最大因数，因为 5 的最大因数是 5，所以 A 是 5；B 的所有
因数是 1，2，4，8，根据一个数最大的因数是它本身，可知 B 是 8；C 是最小的自然数，
最小的自然数是 0，所以 C 是 0；D 只有一个因数，是 1；E 是 2；F 既是 9 的因数又
是 9 的倍数，所以 F 是 9；由此即可写出答案．
