文档内容
数论-因数和倍数-倍数-2 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
倍数 C 1、理解倍数的定义 少考
2、能够准确写出一个数的较小的倍
数。
知识提要
倍数
定义
对于整数 a 和 b，如果 a∣b，我们就称 b 是 a 的倍数。
精选例题
倍数
1. 一个四位数 2abc 扩大 3 倍后，变成了 abc8，这个四位数是 ．
【答案】 2856
【分析】 根据题意，c×3 的个位数字是 8，知道 c=6，b×3 的个位数字是
6-1=5，所以 b=5，a×3 的个位数字是 5-1=4，所以 a=8，因此这个四位数是 2856．
2. 有 n 个自然数相加：1+2+⋯+n=aaa，那么 a= ．
【答案】 36
【分析】 1+2+3+⋯+n=(1+n)n÷2=111a，(1+n)n=2×3×37×a，a 取
1～9．n 和 n+1 中有一个是 37 的倍数，如果 n=37k，则 37k2+k=6a⩽54，所以
k=1，此时 a 不是整数．只有 n+1=37k，则 37k2-k=6a，同样地k只能能取 1，此时
a=6．所以 n=36．
3. 一只小蜜蜂发现了一处蜜源，它立刻回巢招来 10 个同伴，可还是采不完．于是，每只蜜
蜂回去分头各找来 10 只蜜蜂，大家再接着干，还是剩下很多蜜没有采．于是，蜜蜂们又回去叫同伴，每只蜜蜂又叫来 10 个同伴，但仍然采不完．蜜蜂们再回去，每只蜜蜂又叫来 10
个同伴．这一次，终于把这一片蜜源采完了．
你来算一算采这块蜜源的蜜蜂一共有 只．
【答案】 14641
【分析】 每只小蜜蜂每次都叫来 10 只蜜蜂，所以每次新叫来的蜜蜂是原来蜜蜂数
目的 10 倍，即每叫一次，蜜蜂数目变为原来的 11 倍，共叫了 4 次．现在的蜜蜂共有
1×11×11×11×11=14641（只）．
4. 阿凡达有一个出了故障的计算器．当打开电源时，视窗上显示数字 0．如果按下“+”键则
它会加上 51；按下“-”键则它会减去 51；按下“×”键则它会加上 85；按下“÷”键则它
会减去 85；而其他的按键则无效．阿凡达打开计算器电源，任意操作上述按键，那么他可以
得到最接近 2010 的数是 ．
【答案】 2006
【分析】 该题关键在于发现 51 与 85 均为 17 的倍数，因为初始显示是 0，那么
不管怎么按 +,-,×,÷ 四个按键，得到的一定是 17 的倍数，而最接近 2010 的 17 的倍数
为 2006，并且 2006=17×118 是可以操作出来的．如按 23 次“×”键，再按一次“+”
键．
5. 2011年3月11日，日本发生里氏 9 级大地震．在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域
再次发生 5 级地震．已知里氏地震级数每升 2 级，地震释放能量扩大到原来的 1000 倍，
那么3月11日的大地震释放能量是3月15日东海岸地震的 倍．
【答案】 1000000
【分析】 1000×1000=1000000
6. 已知 x，y 是大于 0 的自然数，且 x+ y=150，若 x 是 3 的倍数，y 是 5 的倍数，
则 (x,y) 的不同取值有 对．
【答案】 9
【分析】 由题意得，x，y 为 3 和 5 的公倍数才符合要求，公倍数有 15、30、45、
60、75、90、105、120、135，则共有 9 对不同取值．
7. 橘子、苹果、梨共有六箱，这六箱水果的重量分别为 15、16、18、19、20、31 千克，
其中苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱．这箱橘子重 千克．【答案】 20
【分析】 因题目中提到“苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱”，这表明除去橘子
后，剩下的水果重量恰好等于苹果重量的 3 倍，也就是说重量是 3 的倍数．而事实上，在
15、16、18、19、20、31 这六个数中，只有除去 20 后剩下的五个数之和恰好是 3 的倍
数，所以这箱橘子重 20 千克．
8. abc 是三位数，若 a 是奇数，且 abc 是 3 的倍数，则最小是 ．
【答案】 102
【分析】 a 为奇数，且要求最小，则 a=1，b=0．又要求为 3 的倍数，则
a+b+c 为 3 的倍数，所以 b=0，c=2．
9. 将 1 从开始到 100 的连续的自然数相乘，得到 1×2×3×4×⋯⋯×99×100．记为
100！（读作 100 的阶乘）．用 3 除 100！，显然，100！ 被 3 整除，得到一个商：再
用 3 除这个商，⋯⋯，这样一直用 3 除下去，直到所得的商不能被 3 整除为止，那么，
在这个过程中用 3 整除了 次．
【答案】 48
【分析】 从 1 到 100 里，3 的倍数有 3、6、9、⋯⋯、99（根据等差数列）共
33 个；
其中 9=3×3，9 的倍数有 9、18、27、⋯⋯、99，共 11 个；
27=3×3×3，27 的倍数有 27、54、81，共有 3 个；
81=3×3×3×3，1 个；
所以，在这个过程中用 3 整除了
33+11+3+1=48(次).
10. （1）1～1000 中有 个 3 的倍数．
（2）1～100 中有 个是 2 的倍数也是 3 的倍数的数．
【答案】 （1）333；（2）67
【分析】 （1）高斯记号作为“记号”的应用实例，[1000÷3]=333；
（2）2 的倍数的个数：
[100÷2]=50;
3 的倍数的个数：
[100÷3]=33;
6 的倍数的个数：
[100÷6]=16;所以
50+33-16=67.
11. 将 1 至 8 填入方格中，使得数列 □□,9,□□,□□,□□ 从第三个项开始，每一项都等
于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是 ．
【答案】 198
【分析】 第三个数比第一个数多 9，第四个数比第三个数多 9；
若第一个数除以 9 余 a，则第三个数和第四个数也余 a，第五个数则余 2a，五个数总和除
以 9 余 4a；而由于
1+2+3++9=45
是 9 的倍数，易知 a=0，即这五个数都是 9 的倍数；若设第一个数为 18，则这五个数分
别为 18，9，27，36，63；6 出现两次不符合要求；若设第一个数为 27，则这五个数分别
为 27，9，36，45，81；符合要求．
所有项之和为
27+9+36+45+81=198
12. 已知和数 1+2+3+⋯+n 的个位数为 6，十位数为 0，百位数不为 0．则 n 最小是
．
【答案】 28
【分析】 详解：由题意得：4+5+6+⋯+n（n>3）的末两位是 00，因而是 100
(4+n)(n-3)
的倍数．即 是 100 的倍数，所以 (4+n)(n-3) 是 200 的倍数．又因为
2
4+n、n-3 两数互质，因而两个数中必有一个数是 8 的倍数，也必有一个数是 25 的倍数．
{8∣(4+n) {8∣(n-3) {8∣(4+n) {8∣(n-3)
于是有四种情形： ， ， ， ．每种情形对应
25∣(n-3) 25∣(4+n) 25∣(4+n) 25∣(n-3)
的最小 n 的值分别是 28、171、196、203．所以所求的最小值是 28．
13. 某个三位数 ABC 与它的反序数 CBA 相乘，所得乘积的 3 倍是 2010 的倍数，那么
ABC×CBA×3÷2010= ．
【答案】 508
【分析】 ABC、CBA 两数中必一个数是 67 的倍数，也必有一个数是 5 的倍数，
如果不妨设 ABC 是 67 的倍数．
情形一 ABC 是 5 的倍数，则只能等于 335，335×533×3 并不是 2010 的倍数．
情形二：ABC 不是 5 的倍数，则 CBA 是 5 的倍数且 ABC 是 2 的倍数．
故 ABC 是 134 的倍数，且 A=5．所以 ABC=134×4=536．14. 给定一个除数（不为 0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足
被除数=除数×商+余数
其中，0⩽余数<除数 。这就是带余数的除法。当余数为 0 时，也称除数整除被除数，或
者称除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数）．
请写出所有不超过 88 并且能够被 6 整除的大于 1 的自然数有 ．
【答案】 6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．
【分析】 能被 6 整除的数一定为 6 的倍数，并且要求不超过 88．
所以有 6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．
15. 自然数 1，2，⋯，50 中，是 3 的倍数，但不是 2 的倍数的数有
个．
【答案】 8
【分析】 3 的倍数有 50÷3=16⋯2．
16÷2=8(个)．
3、9、15、21、27、33、39、45
16. 在所有是 20 的倍数的自然数中，不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是
．
【答案】 32340
【分析】 是 20 的倍数也是 14 的倍数，则这些数是 [14,20]=140 的倍数．最小
的是 0，最大的是 2940，有 (2940-0)÷140+1=22 个．所以这些数的和是
(0+2940)×22÷2=32340.
17. 有 8 只盒子，每只盒内放有同一种笔．8 只盒子所装笔的支数分别为 17 支、23 支、
33 支、36 支、38 支、42 支、49 支、51 支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的 2
倍，铅笔支数是钢笔支数的 3 倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有
支．
【答案】 49
【分析】 铅笔数是钢笔数的 3 倍，圆珠笔数是钢笔数的 2 倍，因此这三种笔支数
的和是钢笔数的 3+2+1=6(倍)．17+23+33+36+38+42+49+51=289，除以 6 余 1，所以水彩笔的支数除以 6 余 1，在上述 8 盒的支数中，只有 49 除以 6 余 1，因此水彩
笔共有 49 支．
18. 用 7、8、9、0 各组成一个四位数，使其是 169 的倍数．
【答案】 7098
【分析】 7、8、9、0 组成的四位数肯定是 3 的倍数，169×3=507，四位数前两
位后两位 5:7，枚举可得 7098．
19. 一个五位数恰好等于它各位数字和的 2007 倍，则这个五位数是多少？
【答案】 36126；54189
【分析】 这个五位数是 abcde，则 abcde=(a+b+c+d+e)×2007．
因 2007=3×3×223=9×223，所以 abcde 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，
(a+b+c+d+e) 数字和的可能是：9、18、27、36、45．逐一试验．
数字和是 9，则数是：2007×9=18063，不符；
数字和是 18，则数是：2007×18=36126，符合；
数字和是 27，则数是：2007×27=54189，符合；
数字和是 36，则数是：2007×36=72252，不符；
数字和是 45，则数是：2007×45=90315，不符．
20. 在 1、2、3、4、⋯、2002、2003 这 2003 个自然数中，
（1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是 160 的倍数？
（2）写出你所取的所有数．
【答案】 （1）13
（2）80,240,400,560,720,880,1040,1200,1360,1520,1680,1840,2000
【分析】 因为选出的数中任意两个数的和都是 160 的倍数，那么有两种情况，第一
种：这些数都是 160 的倍数，第二种：这些数除以 160 的余数都是 80．从 1～2003 之
[2003]
间，满足第一种情况的数共有 =12 个．满足第二种情况的数共有 13 个，所以最多
160
为 13 个．
21. 在算式“路亨+路亨=刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不
同的数字．已知 刘吉吉 是 8 的倍数，那么四位数 亨吉刘路 是多少？
【答案】 2417【分析】 易知“刘是”1，且“吉”是偶数．那么“刘吉吉”可能是 100、122、
144、166、188．其中只有 144 是 8 的倍数．那么算式应该是 72+72=144，要求的四位
数是 2417．
22. 互为反序的两个自然数的积是 92565，求这两个互为反序的自然数．（例如 102 和 201；
35 和 53；11 和 11，⋯ 称为互为反序的数，但 120 和 21 不是互为反序的数）．
【答案】 165、561
【分析】 92565=3×3×5×11×11×17．互为反序的两个自然数中，若其中之一为
3 的倍数（或 11 的倍数），另一个也必为 3 的倍数（或 11 的倍数）．又因乘积是五位数，
所以这两个数是三位数，我们有 92565=(3×5×11)×(3×17×11)=165×561，于是，这
两个数为 165 和 561．
23. 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树
一样多，共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？
【答案】 29
【分析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073 写
成两个数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，1073=29×37，注意到人数是减去 1
是 3 倍数，所以人数是 37 均每人种了 29 棵．
24. 在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“
数学”所代表的两位数是多少？
数数×科学=学数学
【答案】 16
【分析】 数数 是 11 的倍数，所以 学数学 也是 11 的倍数．三位数中满足
学数学 这种形式，又是 11 的倍数的数有 121、242、363、484、616、737、858、979．
依次验证几种情况，发现：当 学数学 为 616，那么“学”为 6，“数”为 1，“
数数×科学=学数学”变为“11×科6=616”，可知“科”为 5，符合题意．其他情况
逐一检验，没有符合题目要求的答案，所以“数学”代表的两位数是 16．
25. 三个连续自然数依次是 13、11、7 的倍数，那么这三个连续自然数之和 最小为多少？
【答案】 627【分析】 详解：一个数满足：是 13 的倍数，且加 1 后是 11 的倍数，那么这个数
最小是 65，下一个是 65+143=208，而 209、210 分别是 11、7 的倍数，所以最小是
208+209+210=627．
26. 一个三位数恰好等于它各位数字和的 27 倍，则这个三位数是多少？
【答案】 243；486
【分析】 这个四位数是 abc，则 abc=(a+b+c)×27．
因 27=3×3×3=9×3，所以 abc 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，(a+b+c) 数
字和的可能是：9、18、27、36、45．逐一试验．
数字和是 9，则数是：27×9=243，符合；
数字和是 18，则数是：27×18=486，符合；
数字和是 27，则数是：27×27=729，不符；
27. 在下面的乘法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．那么“
好棒”所代表的两位数是多少？
数好×学好=棒棒棒
【答案】 79
【分析】 棒棒棒 是 37 的倍数，说明等号左边一定有 37 的倍数，可能是 37 或
74．经验证算式只能是 27×37=999．
28. 在算式 12×23▫=▫32×21 的两个方框中填入一个相同的数字，使得等式成立且等式关于
等号是对称的．
【答案】 12×231=132×21
【分析】 21 有质因数 7，所以 23▫ 应该是 7 的倍数，只能填 1 或 8，经检验，
应填 1．
29. 巧克力每盒 9 块，软糖每盒 11 块．要把这两种糖分发给一些小朋友，每样糖每人一块．
由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖发的盒数就一样多．现在又来了一位小朋
友，巧克力还要增加一盒．问最后共有小朋友多少人？
【答案】 46
【分析】 没有加小朋友时，软糖全部发完，所以原来小朋友的人数是 11 的倍数；
又来了一个小朋友时，巧克力全部发完，所以原来小朋友人数加 1 是 9 的倍数．而 44 是满足此条件的最小数，且满足原来软糖比巧克力少一盒的条件．
因此，原来小朋友有 44 人，最后有 46 人．
30. 有一个三位数等于它的各位数字和的 42 倍，这个三位数是？
【答案】 756
【分析】 这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为 A、B、C，先根据这个三
位数等于它的各位数字和的 42 倍，100A+10B+C=42(A+B+C)，由 42 是 3 的倍数，
可知这个三位数 (100A+10B+C) 是 3 的倍数，根据能被 3 整除的数：各个数位上的数
字和能被 3 整除，得出 (A+B+C) 是 3 的倍数，则 42(A+B+C) 是 9 的倍数，所以
这个三位数 (100A+10B+C) 是 9 的倍数，再根据能被 9 整除的数：各个数位上的数字
和能被 9 整除，得出 (A+B+C) 是 9 的倍数，则方程右边是 27 的倍数，所以这个三位
数 (100A+10B+C) 是 27 的倍数，又 100A+10B+C=3×2×7(A+B+C)，则这个
三位数 (100A+10B+C) 是 27×7×2=378 的倍数，而三位数中是 378 的倍数的数只有
2 个，经过检验，即可得 756．
31. 123456789×111⋯11 的各位数字之和为_______．
¿
【答案】 18126
【分析】 123456789 是 9 的倍数，且
123456789<111⋯11
，所以各位数字之和
¿
为
2014×9=18126
32. 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到 20 粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖
就是乙的糖粒数的 2 倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 3 倍．那
么甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？
【答案】 24
2 3
【分析】 甲给乙一定数量糖后，甲占总数的 ，乙给甲一定数量后，甲占总数的 ．
3 4
3 2 1
则前后变化 - = ．又由于前后变化为 2 倍的“同样数量的糖”，所以每次变化
4 3 12
1 1
÷2= ，所以糖的总数能被 24 整除．由于每袋糖不超过 20 粒，则糖的总数不超过
12 24
40 粒，又是 24 的倍数，则只能是 24．33. 有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是 3 的倍数或 4 的倍数，其中标有 3 的倍数
2 3
的卡片占 ，标有 4 的倍数的卡片占 ，标有 12 的倍数的卡片有 15 张．那么，这些卡
3 4
片一共有多少张？
【答案】 36
【分析】 设这些卡片的总数为“1”，而标有 12 的倍数的卡片既属于 3 的倍数又
属于 4 的倍数．所以有
“2” “3”
+ -15=“1”,
3 4
解得“1”对应 36 张．
即这些卡片一共有 36 张．
34. 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组，已知老师和学生共种树 312 棵，
老师与学生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵，问：一共有多少学生？每人种了几棵树？
【答案】 51，6
【分析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过 10
所以通过枚举法来解（注意人数是减去 1 后是 3 的倍数）：
1×312，312-1=311 不是 3 的倍数；
2×156，156-1=155 不是 3 的倍数；
3×104，104-1=103 不是 3 的倍数；
4×78，78-1=77 不是 3 的倍数；
6×52，52-1=51 是 3 的倍数；
8×39，39-1=38 不是 3 的倍数；
共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树．
35. 3 个质数的乘积等于它们的和的 5 倍，求这 3 个质数．
【答案】 2、5、7
【分析】 其中必有 5，设另外两个数为 a,b 则 ab=a+b+5，经试验只有
2×7=2+7+5．
36. 有些数既能表示成 5 个连续自然数的和，又能表示成 6 个连续自然数的和，还能表示成
7 个连续自然数的和．例如：105 就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；
105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18．请问：在 1 至 1000
中一共有多少个满足上述要求的数？
【答案】 5【分析】 一个数能表示成 5 个连续然数的和，则这个数应为 5 的倍数．能表示成
6 个连续自然数的和，则这个数应为 3 的倍数，并且商不能为偶数，即这个数不能为 6 的
倍数．能表示成 7 个连续自然数的和，则这个数应为 7 的倍数．所以满足条件的数有 105、
315、525、735、945，共 5 个．
37. 如图，点 B 是正方形一条边上的四等分点．连结 AB、BC，点 D、E 又是 AB、BC
的四等分点，连结 CD、DE．如果正方形边长为 24 厘米，那么：
（1）三角形 ABC 的面积是多少？
（2）三角形 CDE 的面积是多少？
【答案】 （1）288 平方厘米；（2）162 平方厘米．
【分析】 （1）△ABC 的面积是正方形面积的一半，即
242÷2=288(平方厘米);
3
（2）△BCD 的面积是 △ABC 面积的 ，即
4
3
×288=216(平方厘米);
4
3
△CDE 的面积是 △BCD 面积的 ，即
4
3
×216=162(平方厘米).
4
38. 在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．“
花相似人不同”代表的六位数是多少？
年年×岁岁=花相似岁岁÷年年=人÷不同【答案】 968510
【分析】 第一个算式可以变为“年×岁×121=花相似”．所以 花相似 是 121
的倍数．121 的倍数中，三位数有 121、242、363、484、616、737、858、979，共 8
个．花相似 中没有重复数字，所以只可能是 605、726、847、968 之一．依次验证几种
情况，发现：当 花相似 是 968，那么“年×岁”为 8，只能分别是 1、8 或 2、4．其
中 1、8 这种情况与“似”等于 8 矛盾，2、4 这种情况满足要求．由第二个算式可以看出，
“岁”小于“年”，因此“岁”为 2，“年”为 4．第二个算式为 22÷44=人÷不同，已
经用过的数字有 2、4、6、8、9，所以“人”、“不”、“同”只能在 0、1、3、5、7 中
取，只能分别是 5 和 10．综上所述，“花相似人不同”所代表的六位数是 968510．
39. 某车间原有工人不少于 63 人，在 1 月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都
新调人 1 人进车间工作．现知该车间 1 月份每人每天生产一件产品．共生产 1994 件．试
问：1 月几日开始调进工人？共调进了多少工人？
【答案】 4
【分析】 1 月份共有 31 天，所以这个车间的原有工人至少生产出了
63×31=1953(件)
或增加 31 的倍数，但因不超过 1994 件，所以工厂的原有工人生产了 1953 或 1984 件．
所以，后来调进的工人生产了
1994-1953=41(件)
或
1994-1984=10(件)
易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天
数 n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数．
有
41=1×41
所以奇约数只有 1 和 41，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式
41=20+21
所以调入的次数 n=2，第一次调入的人数 x=20，共调进人数
x+n-1=20+2-1=21(人)
10=2×5
所以奇约数只有 1 和 5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式
10=1+2+3+4
所以调入的次数 n=4，第一次调入的人数 x=1，共调进人数
x+n-1=1+4-1=4(人)
所以为：调人 2 天，1 月 30 日开始调入，共调进 21 人；调入 4 天，1 月 28 日开始调
入，共调进 4 人．
40. 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有多少个？【答案】 228
[2008]
【分析】 1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有 =133 个，3
15
[2008] [2008]
和 7 的倍数有 =95 个，5 和 7 的倍数有 =57(个)，3、5 和 7 的倍数
21 35
[2008]
有 =19 个，所以，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的共有
105
133-19+95-19+57-19=228 个．
41. 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以 3，5，7 之后，得到的数的数
字和都仍为质数。满足条件的两位数为 ．
【答案】 67
【分析】 ① 分析：3 的倍数数字和为 3 倍数且为质数一定为 3；
② 枚举验证：3 倍数：30、102、120、201、210；原数可能是：10、34、40、67、70
（可排除 10 和 40）；该数的 5 倍：170、335、350（可排除 170 和 350）；
所以满足条件的两位数为 67．
42. 下列哪些数是 2 的倍数？哪些是 3 的倍数？哪些是 5 的倍数？
12466012035320421653120
【答案】 见解析．
【分析】 2 的倍数：
124660120320423120;
3 的倍数：
1260120421653120;
5 的倍数：
60120353201653120.
43. 小高往一个水池里扔石子．第一次扔 1 颗石子，第二次扔 2 颗石子，第三次扔 3 颗石
子，第四次扔 4 颗石子……他准备扔到水池的石子总数是 106 的倍数．请问：小高最少需
要扔多少次？
【答案】 52 次．【分析】 小高扔的石子数为 n×(n+1)÷2，而 106=2×53，因此 n 或 n+1 其中
有一个应是 53 或 53 的倍数，当 n=52 时，满足石子数是 106 的倍数．因此小高至少需
要扔 52 次．
44. 用 1 到 6 这 6 个数码可以组成 720 个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数．
【答案】 3
【分析】 数字和是 3 的倍数，123465-123456=9，存在不是 9 的倍数，所以最
大公因数为 3．
45. 恰好能同时被 4、5、6 整除的三位数有多少个？
【答案】 15．
【分析】 4,5,6 的最小公倍数是 60，三位数中 60 的倍数有 999÷60-1≈15 个．
46. 小明将 100 枚棋子分成 3 堆，已知第一堆比第二堆的 2 倍还多，第二堆比第三堆的 2
倍也要多，那么第三堆最多有多少枚棋子？
【答案】 13 枚．
【分析】 设第三堆的棋子数为“1”份，第二堆的棋子数为“2”份多一些，第一堆
的棋子数为“4”份多一些，总和为“7”份多一些，为使第三堆尽量多，即找与 100 最接近
且是 7 的倍数的数，为 98，但是 98 不行，只能找再小一点的 91，因此第三堆最多有
91÷7=13 枚．
1 1 1 1 1
47. 有 9 个分数的和为 1，它们的分子都是 1．其中的 5 个是 ， ， ， ， ，另外
3 7 9 11 33
4 个数的分母个位数字都是 5．请写出这 4 个分数．
1 1 1 1
【答案】 ， ， ，
5 15 45 385
【分析】
(1 1 1 1 1 )
1- + + + + 2×101 1010
3 7 9 11 33 ¿=¿ .¿
3×3×7×11 3×3×5×7×11
¿
需要将 1010 拆成 4 个数的和，这 4 个数都不是 5 的倍数，而且都是 3×3×7×11 的约
数．因此，它们可能是 3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．经试验得
693+231+77+9=1010.
1 1 1 1
所以，其余的 4 个分数是： ， ， ， ．
5 15 45 385
n
48. 一个正整数 n，它是 75 的倍数，并且有 75 个因数，求 的最小值．
75
【答案】 432
【分析】 把 75 分解质因数 75=3×52，所以 n 必含有质因数 3、5，且质因数 5
的个数至少为 2．根据约数个数公式
75=3×5×5=(2+1)×(4+1)×(4+1),
即知，n 含有 3 个不同质因数，次数分别为 2、4、4 次．所以 n 可表达为：
n=x2×y4×z4，要使 n 最小，显然 x=5，y=3、z=2，即
n=52×34×24=25×81×16=32400,
n
=50×33×24=33×24=432.
75
49. 从 1～10 这 10 个自然数中，每次取出两个不同的自然数，使它们的和是 5 的倍数．
一共有多少种不同的取法？
【答案】 9
【分析】 从 1～10 这 10 个自然数中，每次取出两个不同的自然数有
10×9÷2=45 种，和是 5 的倍数有三类可能，
第一类，和是 5，有 1+4，2+3；
第二类，和是 10，是 5 的 2 倍数，有 1+9，2+8，3+7，4+6；
第三类，和是 15，是 5 的 3 倍数，有 5+10，6+9，7+8，把它们的数加起来共 9 种．
50. 任意一些末两位是 25 的数相乘，它们的乘积末两位数仍是 25，我们称 25 是“变不掉
的两位数尾巴”．显然 000 是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾
巴”．
【答案】 376，625，000，001
【分析】 设变不掉的三位数尾巴为 x，则有 x-x2 是 1000 的倍数，即
x(x-1)=23×53×n（n 为整数），等式左边是一个奇数乘以一个偶数，因此等式右边其中
一个是 125 的奇数倍数，另一个是 8 的倍数，且是连续的自然数，因此这两个数分别为
375、376 或 625、624，即“变不掉的三位数尾巴”只能是 376，625，还有 000，001．51. 数数×科学=学数学
在上面的算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“数学”所代表
的两位数是多少？
【答案】 16
【分析】 “学数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与 11 的倍数．
学数学=学×101+数×10 是“数”的倍数，而 101 是质数，所以“学”一定是“数”
的倍数．
又“学数学”是 11 的倍数，因而：“学+学-数” 为 11 的倍数．
因为“学”是“数”的倍数，从上式推出“数”是 11 的约数，所以 “数”=1，
“学”=(11+1)÷2=6．
“数学”所代表的两位数是 16．
52. 用 0 至 9 这十个数字各 1 次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各 1 个，并使这
四个数两两互质．已知组成的四位数是 1860，那么其他的三个数是多少？
【答案】 7；43；529
【分析】 1860=22×3×5×31，一位数只能是 7，另外两个数的末位只能是 3 和
9．剩下的数字之和除以 3 余 2，只能拆成两个数除以 3 余 1 的组合，所以 4 和 2、5
是分成两组，49 是 7 的倍数，所以两位数只能是 43，259 是 7 的倍数，所以三位数只能
是 529．
53. 一个四位数恰好等于它各位数字和的 207 倍，则这个四位数是多少？
【答案】 3726；5589
【分析】 这个四位数是 abcd，则 abcde=(a+b+c+d)×207．
因 207=3×3×23=9×23，所以 abcd 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，
(a+b+c+d) 数字和的可能是：9、18、27、36、45．逐一试验．
数字和是 9，则数是：207×9=1863，不符；
数字和是 18，则数是：207×18=3726，符合；
数字和是 27，则数是：207×27=5589，符合；
数字和是 36，则数是：207×36=7452，不符．
54. 用 3、4、5、6 各一个组成一个四位数，使其是 56 的倍数．
【答案】 4536
【分析】 3、4、5、6 组成的四位数肯定是 9 的倍数，56×9=504，四位数的前两
位后两位 5:4，枚举可得 4536．
55. 一个自然数，它与 99 的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小自然数．【答案】 2312
【分析】 积是 99 的倍数，所以积的数字和是 9 的倍数，且注意到积的数字和是偶
数，奇位和是偶数，偶位和也是偶数，那么积的数字和最小是 36，奇位和与偶位和都是 18．
为使乘积小，乘积的位数应该尽可能少，所以要尽可能多的用 8，18=2+8+8，所以乘积最
小是 228888，那么乘数的最小值为 228888÷99=2312．
56. 求最小的正整数 n，使得 2006+7n 是完全平方数．
【答案】 29
【分析】 452=2025，2025-2006=19 不是 7 的倍数．
462=2116，2116-2006=110 不是 7 的倍数．
472=2209，2209-2006=203 是 7 的倍数，商为 29．
因此满足条件的最小的正整数 n 为 29．
57. 4 个质数的乘积等于它们的和的 11 倍，求这 4 个质数．
【答案】 2、2、5、11
【分析】 其中必有 11，设另外三个数为 a,b,c 则 abc=a+b+c+11，经分析必有
2 个偶数，所以为 2、2、5．
58. 若干个连续自然数 1，2，3⋯ 的乘积的末尾有 13 个 0，这些自然数中最大是？
【答案】 59
【分析】 每个因数 5，与偶数的乘积，会在末尾增加 1 个 0，连续自然数，偶数足
够多，只需要考虑因数 5 的个数．末尾有 13 个 0，那么就要有 13 个因数 5，每 5 个连
续自然数，至少含有一个因数 5，13×5=65，即 1～65 中 5 的倍数有 65÷5=13 个，
25 的倍数有 25 和 50 这 2 个，一共有 13+2=15 个因数 5，所以要去掉 65 和 60，那
么最大的一个自然数就是 59．
59. 有一根长为 180 厘米的绳子，从一端开始每隔 3 厘米作一记号，每隔 4 厘米也作一记
号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段？
【答案】 90
【分析】 只需先计算剪了多少刀，再加上 1 即为剪成的段数．
从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．[180] [180]
有 1～180，3 的倍数有 =60 个，4 的倍数有 =45 个，而既是 3
3 4
[180]
的倍数，又是 4 的倍数的数一定是 12 的倍数，所以这样的数有 =15 个．
12
注意到 180 厘米处的无法标上记号，所以剪了
(60-1)+(45-1)-(15-1)=89,
所以绳子被剪成
89+1=90(段).
60. 在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个？
【答案】 686
[1000]
【分析】 1～1000 之间，5 的倍数有 =200 个，7 的倍数有
5
[1000]
=142 个，因为既是 5 的倍数，又是 7 的倍数的数一定是 35 的倍数，所以这样的
7
[1000]
数有 =28 个．
35
所以既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有
1000-200-142+-28=686(个).
61. 有一个长长的纸条，里面有 37 个方格，要求在每个方格里填入一个自然数，从 1 到 37，
既不重复，也不遗漏．但数字不能随便乱填，有一项特殊要求：第 1 个数能被第 2 个数整
除，第 1 个数与第 2 个数之和能被第 3 个数整除；第 1、2、3 个数之和能被第 4 个数
整除，⋯ 这个规律一直要保持下去，直到前面 36 个数的和能被最后一个数整除为止．
37 ¿ ¿⋯ ?
如果第一个方格内已填入 37，那么最后一个方格中填几？
【答案】 19
【分析】 因为题目要求前面 36 个数的和能被最后一个数整除，而
1+2+⋯+36+37=1×19×37.
假设最后一个数填 n，那么，前面 36 个数的和等于：1×19×37-n，所以，为了让前面
36 个数的和 1×19×37-n 能被最后一个数整除，就要求 1×19×37 中含有 n，这样，最
后一格可填 1 或 19 或 37．
但第一个数已经填了 37，而且第一个数能被第二个数整除，这样，第二个数只能填 1．所以，最后一个方格中的可填的数是只能是 19．
62. 100 以内 12 的倍数有哪些？100 以内 18 的倍数有哪些？公共的倍数有哪些？最小的是
多少？
【答案】 36
【分析】 12 的倍数 12，24，36，48，60，72，84，96．
18 的倍数 18，36，54，72，90．
公共的倍数有 36，72．最小的是 36．
63. 猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数
的密码是：
A B C D E F
他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A 是 5 的最大因数，B
的所有因数是 1，2，4，8，C 是最小的自然数．D 只有一个因数，E 既是质数，又是偶数，
F 既是 9 的因数又是 9 的倍数．你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推
理的理由是什么？
【答案】 580129；理由见解析．
【分析】 A 是 5 的最大因数，因为 5 的最大因数是 5，所以 A 是 5；B 的所有
因数是 1，2，4，8，根据一个数最大的因数是它本身，可知 B 是 8；C 是最小的自然数，
最小的自然数是 0，所以 C 是 0；D 只有一个因数，是 1；E 是 2；F 既是 9 的因数又
是 9 的倍数，所以 F 是 9；由此即可写出答案．
64. 在游艺会上，有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券．按奖券标签号发放奖
品的规则如下：① 标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔；② 标签号为 3 的倍数，奖 3 支铅
笔；③ 标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖；④ 其他标签号均奖 1 支铅笔．
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？
【答案】 232
[100] [100]
【分析】 1～ 100，2 的倍数有 = 50，3 的倍数有 =33 个，因为既
2 3
[100]
是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数一定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有 =16 个．
6
于是，既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数的数在 1～100 中有
100-50-33+16=33.所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：
50×2+33×3+33×1=232(支).
65. 50 名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按 1，2，3，⋯，49，50 依次报
数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转．问：现
在面向老师的同学还有多少名？
【答案】 38
【分析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类：
第一类是标号既不是 4 的倍数，又不是 6 的倍数；第二类是标号既是 4 的倍数又
是 6 的倍数．
1～50 之间，4 的倍数有
[50]
=12,
4
6 的倍数有
[50]
=8,
6
即是 4 的倍数又是 6 的倍数的数一定是 12 的倍数，所以有
[50]
=4.
12
于是，第一类同学有
50-12-8+4=34(人),
第二类同学有 4 人，所以现在共有 34+4=38 名同学面向老师．
66. （1）1～100 中有 个是 3 的倍数也是 5 的倍数的数．
（2）计算 {1÷5}+{2÷5}+{3÷5}+⋯+{19÷5}+{23÷5}．
【答案】 （1）47；（2）9.2
【分析】 （1）3 的倍数的个数：
[100÷3]=33;
5 的倍数的个数：
[100÷5]=20;
15 的倍数的个数：
[100÷15]=6;
所以
33+20-6=47.（2）一共有
23÷5=4⋯⋯3.
原式 =(0.2+0.4+0.6+0.8+0)×4+0.2+0.4+0.6
¿ ¿
67. 有一串数：1，1，2，3，5，8，⋯，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串
数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数？
【答案】 401
【分析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5
的余数．
所以这串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，
2，4，1，0，1，1，2，3，0，⋯，可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个
循环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数．由于 2009÷5=401⋯4，所以前 2009 个数
中，有 401 个是 5 的倍数．
