夜雨聆风
【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第二节平面向量基本定理及坐标表示-03c3d96d70d9
课标要求
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；
（2）基底：若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
提醒（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.
2.平面向量的坐标运算
（1）向量的加法、减法、数乘及向量的模
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝，｜a｜＝.
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则
＝，｜
｜＝.
提醒 若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b⇔
3.平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b⇔.
提醒（1）a∥b的充要条件不能表示为
＝
x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与
＝
等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
1.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2.三角形的重心坐标公式
已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为（
）.
3.线段的定比分点坐标公式
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），点P（x，y）是直线P1P2上的一点.当
＝λ
时，则点P的坐标满足
（λ≠－1），特别地，λ＝1时，即P为P1P2的中点时满足
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在△ABC中，{
}可以作为基底.（）
（2）向量的坐标就是向量终点的坐标.（）
（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成
＝
.（）
（4）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.（）
2.（人A必修二P60复习参考题2（6）题改编）下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）
B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）
C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）
D.e1＝（－2，3），e2＝（－
）
3.（人A必修二P33练习5题改编）已知
＝（5，－2），
＝（－4，－3），且
＋
＋
＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为（）
A.（－9，－1）B.（
，－
）C.（1，－5）D.（3，－
）
4.（苏教必修二P40习题2题改编）已知向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝.
5.已知▱ABCD的顶点A（0，－2），B（3，－1），C（5，2），则顶点D的坐标为.
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平面向量基本定理的应用 |
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（师生共研过关） |
（1）如图所示，在△ABC中，＝3
＝2
＝a，＝b，则
＝（）
A.
a－
bB.
a－
bC.a－
bD.
a－
b
（2）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BD上，且
＝m
（m∈R），若
＝λ
＋μ
（λ，μ∈R），且λ＋2μ＝0，则m＝.
听课记录解题技法
应用平面向量基本定理表示向量的策略
（1）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来；
（2）强调图形几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.
1.已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设
＝a，＝b，则
＝（）
A.
a＋
bB.
a＋
b
C.
a－
bD.－
a＋
b
2.在正六边形ABCDEF中，用
和
表示
＝（）
A.－
＋
B.－
＋
C.－
＋
D.－
＋
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平面向量的坐标运算 |
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（师生共研过关） |
（1）在平行四边形ABCD中，＝（3，7），
＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，则
的坐标为（）
A.（－
）B.（
）
C.（－
，－5）D.（
，－5）
（2）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若
＝λ
＋μ
（λ，μ∈R），则λ＋μ＝（）
A.
B.
C.2D.
听课记录解题技法
平面向量坐标运算的技巧
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；
（2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解.
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