【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义第28讲复数

链教材　夯基固本

激活思维

1．已知i为虚数单位，复数z＝1－i21＋i，则z的虚部为(　B　)

A．0B．－1

C．－iD．1

【解析】因为z＝1－i21＋i＝21－i1＋i1－i＝1－i，所以z的虚部为－1．

2．(人A必二P94复习参考题1(2))复数5i－2的共轭复数是(　B　)

A．2＋iB．－2＋i

C．－2－iD．2－i

【解析】 因为5i－2＝5－2－i－2＋i－2－i＝－2－i，所以复数5i－2的共轭复数是－2＋i．

3．已知i是虚数单位，若z＝－3)2＋12i，则z²＝(　D　)

A．－12＋3)2iB．－12－3)2i

C．12＋3)2iD．12－3)2i

【解析】由题可知z＝－3)2＋12i，所以z²＝\a\vs4\al\co1(－\f(\r(312)i²＝34－3)2i＋14i²＝12－3)2i．

4．(人A必二P80练习T3改)(多选)下列各式计算正确的是(　AC　)

A．1＋i1－i＝iB．i(2－i)(1－2i)＝2i

C．7＋i3＋4i＝1－iD．－1＋i2＋i－i＝1－3i

【解析】对于A，1＋i1－i＝1＋i1＋i1－i1＋i＝i，故A正确．对于B，i(2－i)(1－2i)＝(2i－i²)(1－2i)＝(1＋2i)(1－2i)＝1－4i²＝5，故B错误；对于C，7＋i3＋4i＝7＋i3－4i3＋4i3－4i＝25－25i25＝1－i，故C正确；对于D，－1＋i2＋i－i＝－3＋i－i＝－3＋ii－i2＝－1－3i，故D错误．

5．已知i为虚数单位，且z₀＝1－3i1＋2i，复数z满足|z－z₀|＝1，则复数z对应点的轨迹方程为(　C　)

A．(x－1)²＋(y＋1)²＝4B．(x－1)²＋(y－1)²＝4

C．(x＋1)²＋(y＋1)²＝1D．(x－1)²＋(y－1)²＝1

【解析】z₀＝1－3i1＋2i＝1－3i1－2i5＝－1－i．由题意知|z－z₀|＝1，设z＝x＋yi，x，y∈R，则复数z对应点的轨迹方程为(x＋1)²＋(y＋1)²＝1．

聚焦知识

1．复数的有关概念

(1) 定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i²＝－1，__a__叫做实部，__b__叫做虚部，复数集记作C，即C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．

(2) 复数相等：复数z₁＝a＋bi与z₂＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等⇔__a＝c且b＝d__．

(3) 共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi．

2．复数的分类

对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z是实数⇔b＝0；z是虚数⇔b≠0；z是纯虚数⇔a＝0且b≠0．

3．复数的几何意义

(1) 复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示虚数．

(2) 几何意义：复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应向量→．

(3) 复数的模：设→＝a＋bi，则向量→的模叫做复数a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|．由模的定义知|z|＝|a＋bi|＝__a2＋b2__．

4．复数的代数运算

已知两个复数z₁＝a＋bi与z₂＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么：

z₁±z₂＝(a±c)＋(b±d)i；

z₁·z₂＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(z₂≠0)．

5．常用结论

(1) (1±i)²＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i．

(2) i⁴ⁿ＝1，i^4n＋1＝i，i^4n＋2＝－1，i^4n＋3＝－i，i⁴ⁿ＋i^4n＋1＋i^4n＋2＋i^4n＋3＝0(n∈N^*)．

(3) z·z＝|z|²＝|z|²，|z₁·z₂|＝|z₁|·|z₂|，\f(z1z2))＝|z1||z2|，|zⁿ|＝|z|ⁿ．

(4) 若ω＝－12±32i，则ω^3k＝1(k∈Z)，ω²＋ω＋1＝0．

(5) z＝z⇔z∈R．

(6) 复数z的方程在复平面上表示的图形

①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；

②|z－(a＋bi)|＝r(r＞0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．

研题型　能力养成

举题说法

复数的有关概念

例1　(1) (2024·新乡三模)已知z＝(1－3i)(a＋i)(a∈R)为纯虚数，则a＝(　B　)

A．3B．－3

通过网盘分享的文件：南方凤凰台·2026全国一轮电子稿等7个文件

链接: https://pan.baidu.com/s/1Q8yIZ6J_EF4Bq61Fj8yz8w?pwd=4321 提取码: 4321 

–来自百度网盘超级会员v8的分享