【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义第4讲不等式的性质

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1．(人A必一P43习题T8)下列命题为真命题的是(　B　)

A．若a＞b＞0，则ac²＞bc²

B．若a＞b＞0，则a²＞b²

C．若a＜b＜0，则a²＜ab＜b²

D．若a＜b＜0，则1a＜1b

【解析】 对于A，c²＝0时不成立；对于B，因为a＞b＞0，所以a²－b²＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a²＞b²，所以B成立；对于C，因为a＜b＜0，所以a²＞ab＞b²，所以C不成立；对于D，因为a＜b＜0，所以1a＞1b，所以D不成立．

2．(多选)若1a＜1b＜0，则下列不等式正确的是(　ACD　)

A．a＋b＜abB．|a|＞|b|

C．a³＞b³D．2^a＞2^b

【解析】 由1a＜1b＜0，得a＜0，b＜0且a＞b，所以a＋b＜0，ab＞0，则a＋b＜ab，A正确；|a|＜|b|，B错误；a³＞b³，C正确；因为函数y＝2^x在R上单调递增，所以2^a＞2^b，D正确．

3．(人A必一P43习题T8改)已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是(　D　)

A．ln a＜ln bB．1a＞1b

C．a²＜b²D．a³＜b³

【解析】对于A，当a＜b＜0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a＜0＜b时，1a＜1b，故B错误；对于C，当a＜b＜0时，a²＞b²，故C错误；对于D，当a＜b时，a³＜b³成立，故D正确．

4．(人A必一P42习题T5改)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则a＋2b的取值范围为__(－2,1)__．

【解析】因为－2＜b＜－1，所以－4＜2b＜－2．又2＜a＜3，所以－2＜a＋2b＜1．

5．(人A必一P43习题T12)火车站有某公司待运的甲种货物1 530t，乙种货物1 150t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有__3__种方案；若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，选用最节约成本的方案，运费为__31__万元．

【解析】设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z，所以35x＋25y≥1 530，15x＋35y≥1 150，x＋y＝50，所以7x＋5y≥306，3x＋7y≥230，x＋y＝50，解得x≥28且x≤30．又因为x∈N^*，所以x＝28，y＝22)或x＝29，y＝21)或x＝30，y＝20.)所以共有3种方案，方案一安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节．因为z＝0.5x＋0.8y＝40－0.3x，所以当x＝30时，总运费最少，此时z＝40－0.3×30＝31(万元)．

聚焦知识

1．两个实数比较大小的方法

(1) 作差法：a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b.

(2) 作商法：\f(ababab)＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.

2．不等式性质

(1) a＞b⇔b＜a；a＞b，b＞c⇒a＞c；a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．

(2) |x－a|＋|x－b|≥|b－a|．

(3) 取倒法则：①a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；②a＜b＜0⇒1a＞1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a．

(4) 分式不等式：若a＞b＞0，m＞0，则：

①真分数的性质：ba＜b＋ma＋m，ba＞b－ma－m(b－m＞0)；②假分数的性质：ab＞a＋mb＋m，ab＜a－mb－m(b－m＞0)．

研题型　能力养成

举题说法

不等式的性质

例1　(1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一定成立的是(　BCD　)

A．ac(a－c)＞0B．c(b－a)＜0

C．cb²＜ab²D．ab＞ac

【解析】 因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0，所以ac(a－c)＜0，c(b－a)＜0，cb²＜ab^2，ab＞ac．

(2) (2025·黄冈期初调研)(多选)已知c＜0＜b＜a，则(ABD)

A．ac＋b＜bc＋aB．b³＋c³＜a³

C．a＋cb＋c＜abD．c\r(a)＞c\r(b)

【解析】因为c＜0＜b＜a，所以ac＜bc⇒ac＋b＜bc＋a，故A正确；因为c＜0＜b＜a，所以b³＜a^3，c3＜0⇒b³＋c³＜a³，故B正确；因为c＜0＜b＜a，不妨令a＝3，b＝2，c＝－1，得a＋cb＋c＝2，ab＝32，此时a＋cb＋c＞ab，故C错误；因

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