【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义第54讲随机事件与概率

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1．(人A 必二P233练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是(　D　)

A．至多一次中靶B．两次都中靶

C．只有一次中靶D．两次都没中靶

【解析】 对于A，“至多一次中靶”包含一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含一次中靶、两次都中靶，A不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B不满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C不满足条件；对于D，“两次都没中靶”与“至少一次中靶”对立，D满足条件．

2．(人A必二P243习题T3(2))抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是(　D　)

A．A与B互为对立事件B．A与B互斥

C．A与B相等D．P(A)＝P(B)

【解析】 抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．事件A包含的结果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有(正，反)，(反，反)，显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A与事件B既不互斥也不对立，故A，B错误；因为事件A，事件B中有不同的结果，所以事件A与事件B不相等，故C错误；由古典概型知，P(A)＝24＝12，P(B)＝24＝12，所以P(A)＝P(B)，故D正确．

3．(人A 必二P242练习T1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．

(1) 如果B⊆A，那么P(A∪B)＝__0.5__，P(AB)＝__0.3__；

【解析】 如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3．

(2) 如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝__0.8__，P(AB)＝__0__．

【解析】 如果A，B互斥，那么A∩B＝∅，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0．

4．(人A必二P243习题T8)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是__310__．

【解析】 该试验的样本空间可表示为Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)}，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，共3个，故所求概率P＝310．

5．(人A必二P239练习T3)从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为1的概率是__15__；这个数的四次方的个位数字为1的概率是__25__．

【解析】 从0～9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．若一个数的平方的个位数字为1，则该数为1或9，共2个，故其概率为210＝15；若一个数的四次方的个位数字为1，则该数平方的个位数为1或9，所以该数为1，3，7，9，共4个，故其概率为410＝25．

聚焦知识

1．样本空间和随机事件

(1) 样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的__基本结果__称为样本点，常用ω表示．

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．

②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω_{1，ω2，…，ωn}，则称样本空间Ω＝{ω_{1，ω2，…，ωn}}为有限样本空间．

(2) 随机事件

①定义：将样本空间Ω的__子集__称为随机事件，简称事件．

②表示：大写字母A，B，C，…．

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．

2．两个事件的关系和运算

3．古典概型

(1) 有限性：样本空间的样本点只有__有限个__；

(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性__相等__．

4．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝kn＝n(A)n(Ω)，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

5．概率的性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__．

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__1－P(B)__．

性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1．

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)－P(A∩B)__．

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