【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义微专题9正方体中的截面和轨迹问题-夜雨聆风

【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义微专题9正方体中的截面和轨迹问题

9　正方体中的截面和轨迹问题

截面问题

例1　(1) 在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱AA_1，BC，CC₁的中点，则平面EFG被正方体所截得的截面面积为__34__．

【解析】如图，延长GF交B₁B的延长线于点N，连接EN交AB于点P，连接PF，取D₁C₁的中点K，D₁A₁的中点J，连接KG，EJ，KJ，则KG∥EP，EJ∥GF，KJ∥PF，故平面EFG被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为22，所以截面面积为6×12×22×22×32＝34．

(2) (2024·随州5月模拟节选)在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，BC的中点，则过点D_1，E，F的平面截正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁所得的截面多边形的周长为__213＋2__．

【解析】　方法一：如图(1)，延长DA，DC，与直线EF分别交于点M，Q，连接D₁M，D₁Q与A₁A，C₁C分别交于点P，H，连接PE，HF，则五边形D₁PEFH所在平面即为截面．因为正方体的棱长为2，点E，F分别是AB，BC的中点，所以EF＝12×22＋22＝2．由Rt△BEF≌Rt△CQF≌Rt△AEM，得AM＝CQ＝BE＝BF＝1，EF＝ME＝FQ＝2，所以P，H分别为靠近A，C的三等分点，故A₁P＝C₁H＝43，所以由勾股定理得D₁P＝D₁H＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(43)))2＝13)3，PE＝FH＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23)))2＝13)3，所以截面多边形的周长为D₁P＋PE＋EF＋FH＋D₁H＝13)3×2＋13)3×2＋2＝213＋2．

图(1)

方法二：因为平面AA₁D₁D∥平面BB₁C₁C，则过点D_1，E，F的平面必与AA_1，CC₁相交，设过点D_1，E，F的平面与AA_1，CC₁分别交于点M，N．因为过点D_1，E，F的平面与平面AA₁D₁D和平面BB₁C₁C分别交于D₁M与NF，所以D₁M∥NF，同理可得D₁N∥ME，如图(2)，过点D_1，E，F的平面截正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁所得的截面图形为五边形D₁MEFN．以D为坐标原点，分别以→，→，→的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz，设AM＝m，CN＝n，则M(2,0，m)，N(0,2，n)，E(2,1,0)，F(1，2,0)，D₁(0,0,2)，所以→＝(0,1，－m)，→＝(0,2，n－2)，→＝(2,0，m－2)，→＝(1,0，－n)．因为D₁N∥ME，D₁M∥NF，所以－2m＝n－2，－2n＝m－2，)解得m＝\f(2323)，所以AM＝23，CN＝23，所以A₁M＝43，C₁N＝43，所以在Rt△D₁A₁M中，D₁A₁＝2，A₁M＝43，所以D₁M＝133．同理D₁N＝133．在Rt△MAE中，AM＝23，AE＝1，所以ME＝133．同理NF＝133．在Rt△EBF中，BE＝BF＝1，所以EF＝2，所以D₁M＋D₁N＋ME＋NF＋EF＝2×133＋2×133＋2＝213＋2，即过点D_1，E，F的平面截正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁所得的截面多边形的周长为213＋2．

图(2)

变式1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别为BC，CC₁的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为(　B　)

A．32B．92

C．9D．18

【解析】连接BC_1，AD_1，D₁F，如图所示，因为E，F分别是BC，CC₁的中点，所以EF∥BC₁．在正方体中，AD₁∥BC₁，所以EF∥AD₁，所以A，D_1，E，F在同一平面内，所以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD₁A．因为正方体的棱长为2，所以EF＝2，AD₁＝22，D₁F＝AE＝22＋12＝5，则点E到AD₁的距离为等腰梯形EFD₁A的高，即5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2)2)))2＝2)2，所以截面面积为S＝12×(22＋2)×2)2＝92．