【再看中数压轴题-255,可下载】巧用三角函数——角平分线几何难题的“高效解法”

今天我们聊几何题里的“解题巧思”——不少同学碰到复杂线段、角度关系的题目，总觉得计算绕、步骤多，但其实找对方法就能让思路“变轻”。比如从简单的线段设参入手，抓住角平分线、直角这些图形的特殊性质，再用三角函数或直角三角形相似直接把角度和线段比挂钩，就能跳过繁琐的面积拆分，让计算一步到位。今天咱们就顺着这个“设参→抓性质→用三角”的逻辑，拆解几何题的高效解法。

前置例题

答案：

核心例题

请先静心思考

尝试独立作答

（限时5分钟）

……

答案：

解法一

解法二（借助三角函数）

回头来看“前置例题”，是不是也可以用这种方法来求解呢？

拓展

：这两道题还可以通过以下“角平分线分线段成比例”的方法求解，请你停下来，想一想，试一试。

小结

巧用三角函数解这类几何问题，核心思路可归纳为3步，比等面积法更直接高效：

1. 抓角度关联：从角平分线、二倍角、直角等条件出发，明确待求角与已知角的关系（如角平分线分角为等角、二倍角是某角的2倍）；

2. 建线段与角度的桥梁：用三角函数（正切、正弦等）表示线段比，将“线段长度关系”转化为“角度的三角函数值关系”（例如用tanα表示对边/邻边）；

3. 用公式简化计算：借助不同三角形中同角或等角的三角函数如tanα，建立方程求解，跳过面积拆分等冗余步骤，直接得出结果。

简言之，就是“以角为线索，用三角函数牵线，靠解比例方程破局”，让几何关系的计算更聚焦、更简洁。

变式训练1

答案：

解法一

解法二

解法三（借助三角函数）

变式训练2

请先静心思考

尝试独立作答

（限时5分钟）

……

答案：

恭喜你完成了这类题目的求解过程梳理。“纸上得来终觉浅”，老师建议你：不妨亲自动手做一做，从头到尾梳理一遍你最喜欢的解法的解题思路。

下载题目：中考数学压轴题-255.pdf

感谢您用心看到这里。我是一名坚持分享初中数学好题（文末目录）的一线数学老师。如果这些内容对您有帮助，欢迎留言交流心得～您在右下角点的每一个赞❤️都是我持续创作的动力，欢迎关注，感谢支持！

（点文中/文末彩图，小编能得1毛钱）

往期文章：

【再看中数压轴题-62】平移+轴对称解决“两定点一定长”最短路径问题

【再看中数压轴题-116】“逆等线模型”、已知互相垂直的两条线段长度求“双翅和”的最小值

【再看中数压轴题-112】“反演”——第一期

【再看中数压轴题-109】从半角模型到12345模型，这秒杀方法不官方但你最好会

【再看中数压轴题-100】怎么能说大杀四方解复杂几何题的建系法暴力呢？

（文末目录可查看所有题目）