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高中数学知识点归纳,2027高考适用!

发布时间：2026-09-16 01:04:40 最近访问：2026-09-16 01:04:39

高中数学知识点归纳,2027高考适用!

高中数学完整知识点归纳

一、集合与常用逻辑用语

1.集合

集合三要素：确定性、互异性、无序性

2.常用逻辑用语

充分条件、必要条件

二、函数概念与基本初等函数

1.函数基础

三要素：定义域、值域、对应法则；两个函数相等⇔定义域、解析式相同
复合函数：同增异减

奇偶性

奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称，定义域关于原点对称；若在$(x=0)$有定义，则$(f(0)=0)$
偶函数：$f(-x)=f(x)$，图像关于y轴对称

周期性：$(f(x+T)=f(x))$，$T$为周期

2.指数与指数函数

指数运算：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=a^{mn}$；$a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$
$y=a^x(a>0,a≠1)$

$(a>1)$：R上单调递增；$(0<a<1)$：R上单调递减；恒过$((0,1))$

3.对数与对数函数

对数公式：$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$；$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$；$\log_aM^n=n\log_aM$；换(V=S_{(V=\frac13S_{底}h)}h)公式$\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}$
$y=\log_ax(a>0,a≠1)$，定义域$(0,+\infty)$，恒过$((1,0))$

$(a>1)$递增；$(0<a<1)$递减

4.幂函数

$y=x^\alpha$，必过$((1,1))$；$\alpha>0$在$(0,+\infty)$递增；$\alpha<0$在$(0,+\infty)$递减

5.二次函数

$y=ax^2+bx+c(a≠0)$

对称轴：$x=-\frac{b}{2a}$；顶点$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
判别式$\Delt(a=b)^2-4ac$；根与系数（韦达定理）：$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$

6.函数零点

零点：$(f(x)=0)$的实数根；零点存在定理：$(f(a)f(b)<0)$，则$((a,b))$内存在零点

三、三角函数与解三角形

1.三角函数定义与诱导公式

弧度制：$180^\circ=\pi$弧度
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$；$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

2.三角恒等变换

和差公式 $$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$
二倍角 $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
辅助角公式：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$

3.三角函数图像性质

函数	定义域	值域	周期	奇偶
$y=\sin x$	R	$[-1,1]$	$2\pi$	奇函数
$y=\cos x$	R	$[-1,1]$	$2\pi$	偶函数
$y=\tan x$	$x≠\frac{\pi}{2}+k\pi$	R	$\pi$	奇函数

$y=A\sin(\omega x+\varphi)$：周期$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$；振幅

4.解三角形

$\triangle ABC$，角$(A,B,C)$对应边$(a,b,c)$

正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
余弦定理： $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\quad \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
面积：$S=\frac12ab\sin C=\frac12bc\sin A=\frac12ac\sin B$

四、平面向量

向量运算：$\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$

$\vec a+\vec b=(x_1+x_2,y_1+y_2)$；$\vec a-\vec b=(x_1-x_2,y_1-y_2)$；$\lambda\vec a=(\lambda x_1,\lambda y_1)$

数量积：$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$
平行垂直

$\vec a\parallel\vec b \Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$
$\vec a\perp\vec b \Leftrightarrow \vec a\cdot\vec b=0 \Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$

模长：$|\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

五、数列

1.通项与前n项和关系

$$a_n=\begin{cases}S_1,&n=1\S_n-S_{n-1},&n\ge2\end{cases}$$

2.等差数列

通项：$a_n=a_1+(n-1)d$
前$n$项和：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$
性质：若$(m+n=p+q)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$

3.等比数列（$q≠0$）

通项：$a_n=a_1 q^{n-1}$
前n项和：$q\neq1,\ S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$；$q=1,S_n=na_1$
性质：若$(m+n=p+q)$，则$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$

4.数列求和方法

公式法、裂项相消、错位相减、分组求和

六、不等式

一元二次不等式：结合二次函数图像，看开口、判别式、根
基本不等式：$a>0,b>0\Rightarrow \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$，当且仅当$(a=b)$取等号；一正二定三相等
线性规划：画可行域，目标函数平移求最值

七、立体几何

1.空间几何体

表面积、体积

柱体：$V=S_{(V=S_{(V=\frac13S_{底}h)}h)}h$
锥体：$V=\frac13S_{(V=S_{(V=\frac13S_{底}h)}h)}h$
球：$V=\frac43\pi R^3,\ S=4\pi R^2$

2.空间点线面位置关系

平行判定

线∥面：平面外直线平行平面内一条直线
面∥面：一个平面内两条相交直线平行另一平面

垂直判定

线⊥面：直线垂直平面内两条相交直线
面⊥面：一个平面过另一个平面的一条垂线

空间角

异面直线夹角：$(0,90^\circ]$
线面角：直线与平面中投影夹角$[0,90^\circ]$
二面角：两个平面夹角

3.空间向量（理科）

法向量求线面角、二面角；向量点积计算夹角。

八、解析几何

1.直线

斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
方程：点斜式$y-y_0=k(x-x_0)$；斜截式$(y=kx+b)$；一般式$(Ax+By+C=0)$
距离

两点距离：$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
点到直线：$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

2.圆

标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，圆心$((a,b))$半径$r$ 一般方程：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，$D^2+E^2-4F>0$ 直线与圆：比较圆心到直线距离$d$与半径$r$

3.圆锥曲线

椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 焦点$(\pm c,0)$，$c^2=a^2-b^2$；离心率$e=\frac{c}{a}\in((0,1))$
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 焦点$(\pm c,0)$，$c^2=a^2+b^2$；离心率$(e>1)$；渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$
抛物线 $y^2=2px(p>0)$，焦点$(\frac p2,0)$，准线$x=-\frac p2$

圆锥曲线大题常用：联立方程，判别式、韦达定理、弦长公式$L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$

九、概率与统计

1.统计

抽样：简单随机、分层抽样、系统抽样
数字特征：平均数$\bar x$；方差$s^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$；标准差
频率分布直方图：频率=组距×纵坐标
回归直线：$\hat y=\hat b x+\hat a$，过样本中心点$(\bar x,\bar y)$
独立性检验：卡方$\chi^2$判断两个变量是否相关

2.概率

古典概型：$P(A)=\frac{事件A包含基本事件数}{总基本事件数}$
互斥：$P((A∪B))=P(A)+P(B)$；对立：$P(\bar A)=1-P(A)$
条件概率：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$
独立事件：$(P(AB)=P(A)P(B))$

3.计数原理（理科）

分类加法、分步乘法
排列$A_n^m$；组合$C_n^m$；二项式定理：$(a+b)^n$通项$T_{r+1}=C_n^r a^{n-r}b^r$
离散型随机变量：分布列、期望$(E(X))$、方差$(D(X))$；二项分布$X\sim B(n,p)$；超几何分布；正态分布

十、导数及其应用

基本求导公式 $(x^n)'=nx^{n-1}$；$(\sin x)'=\cos x$；$(\cos x)'=-\sin x$； $(e^x)'=e^x$；$(\ln x)'=\frac1x$；$(a^x)'=a^x\ln a$；$(\log_ax)'=\frac1{x\ln a}$
四则运算：$(uv)'=u'v+uv'$；$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
几何意义：$f'(x_0)$是曲线在$(x_0,f(x_0))$切线斜率
单调性：$f'(x)>0$函数递增；$f'(x)<0$递减
极值：导数由正变负为极大值；由负变正为极小值；最值对比极值与区间端点
定积分（理科）：求曲边图形面积

十一、复数

$(z=a+bi)$，实部$a$，虚部$b$；$i^2=-1$
共轭复数$\bar z=a-bi$；模$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
运算：和差同多项式；除法分母实数化

十二、选考内容（旧高考）

坐标系与参数方程：极坐标$\rho^2=x^2+y^2,x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta$；直线、圆、椭圆参数方程
不等式选讲：绝对值不等式，柯西不等式