高中物理|水平圆盘上绳连接体和弹簧连接体临界问题辨析

之前主要围绕连接体连线是否过圆心进行了解题思路梳理，今天换一个视角，从连接体的“连接物”的不同对比辨析梳理解题思路。

一、连线过圆心

对比辨析

1. 绳连接体

问题示例

1．如图，绕竖直轴转动的水平圆盘上放有物块 A、B、C，质量分别为 、、，物块 A 叠放在 B 上，B、C 到转盘中心 O 的距离分别为 、，B、C 间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力。已知 B、C 与圆盘间的动摩擦因数均为 ，A、B 间动摩擦因数为 。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 。A、B、C 均可视为质点，现让圆盘从静止开始缓慢加速，且均未发生相对滑动。求：

解析

问题1：当角速度多大时，物块开始滑动？

分析：未明确哪个物块滑动，还要判断是物块 A 滑动、还是整体滑动。

质心法解答

以圆心 O 为坐标原点，规定向右为正方向。

相当于

其实“质心法”看起来跟“整体法”很像，把 ABC 三个物块看成了一个物块 D，放在了质心位置，分析其随圆盘转动时的相关物理量变化及临界情况。

假设 A 没有先相对滑动，对 D（整体）：

对 A 隔离分析：

因 ，故物块 A 先滑动，此时圆盘的角速度为：

问题2：当角速度多大时，圆盘对物块 C 的摩擦力为 0？

分析：内在逻辑圆盘对物块 B 的摩擦力先达到最大，然后绳子上出现拉力，之后圆盘对物块 C 的摩擦力先减小到 0 然后反向增大，结合整体法得出的质心位置判断确实如此，此过程中物块 A 未与 B 发生相对滑动。

质心法解答

此时 AB 受到的摩擦力为 ，整体物块 D 受到的摩擦力就是 ，对 D：

得：

检验：

故：圆盘对物块 C 的摩擦力为 0 时，角速度为 

问题3：绳子上的最大拉力？

分析：因拉力属于系统内力，必须采用隔离法进行分析解答。

隔离法解答

当物块 A 即将滑动时，绳子上的拉力达到满足不发生相对滑动的最大值，此时圆盘的角速度 

对物块 AB：

将临界角速度代入得：

2. 弹簧连接体

问题示例

2．如图所示，小物块 、、 与水平转台相对静止，、 间通过原长为 、劲度系数  的轻弹簧连接，已知 、、 的质量均为 ， 与  之间的动摩擦因数为 ，、 与转台间的动摩擦因数均为 ， 和 、 离转台中心的距离分别为 、，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：

解析

分析：圆盘的角速度以某一值（刚开始弹簧弹力大于物块 C 所受的最大静摩擦力）逐渐增大时，可能物块 C 先向左滑动，此时物块 AB 还未达临界状态，也可能 AB 先滑动，C 还未达临界状态，即两边物块最大静摩擦力是否同步达最大值不明确，这是与上个模型最大的区别，故这道题主要用隔离法分析解答。

问题1：逐渐增大转台角速度，哪个物块先相对于转台滑动，此时的角速度多大？

弹簧弹力：

隔离法分析各自临界角速度

对物块 A：

得：

对物块 AB：

得：

对物块 C：

得：

大小关系：

故物块 C 先滑动，此时圆盘的角速度为 。

问题2：当  与转台间摩擦力为零时， 受到的摩擦力大小及方向？

对物块 AB：

得：

再分析物块 C，因不知道此时的摩擦力方向，先假设物块 C 所受摩擦力方向指向圆心：

得：

故物块 C 所受摩擦力大小为 ，方向沿半径背离转台中心。

二、连线不过圆心

对比辨析

1. 绳连接体

问题示例

3．如图所示，两个质量均为  的小木块 a 和 b（可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴、b 与转轴的距离均为 ，a 与 b 之间用长度也为  的轻质细线相连。木块与圆盘之间的最大静摩擦力为木块所受重力的  倍，重力加速度大小为 。若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，求：

解析

题1：当角速度多大时，物块开始滑动？

解析法解答

对物块 a 受力分析，假设此时摩擦力方向与圆心连线夹角为 

将 f 和 T 分解在沿半径和垂直半径两个方向上，则

x 轴：

y 轴：

又：

联立方程得：

结合辅助角公式：

当  时，角速度最大

问题2：物块与圆盘始终相对静止，绳子上的最大拉力？

分析：结合上面分析，可得摩擦力方向从沿半径方向逐渐变化，即  从 0 逐渐增大到 。

由图解法知，当  时（摩擦力方向与绳子拉力方向垂直），绳子上拉力最大，而且可以判断出，绳子拉力是逐渐增大，最大值：

图解法同时解决两个问题

绳子上出现拉力之前，静摩擦力提供向心力，静摩擦力达到最大以后绳子上出现拉力，随着角速度逐渐增大，绳子拉力逐渐增大，方向保持不变。

随着角速度逐渐增大，摩擦力从指向圆心位置顺时针旋转，当转过  时，向心力最大（角速度最大），绳子拉力最大。

最大角速度：

得：

保证不相对滑动，此时绳子拉力最大，最大值：

得出的答案跟解析法是一样的。

质心法解决问题1：思路梳理

受力分析，当绳子上开始出现拉力时，对系统整体C：

得：

角速度继续增大：

达到相对滑动的临界状态时：

注：角速度继续增大后，摩擦力方向从“沿各自半径”逐渐向同一方向转向，夹角从  减小到 ；临界时两摩擦力恰好平行同向，系统合外力取上限——质心法求临界角速度，本质就是让系统合外力取到最大可能值。

得：

注：与解析法得到的结果一样

说明：质心法只能解决第一问，绳子的最大拉力需回到隔离法求解，绳子拉力是内力，质心法看不见。

2. 弹簧连接体

问题示例

4．如图所示（俯视图），用自然长度为 ，劲度系数为  的轻质弹簧，将质量均为  的两个小物块 、 连接在一起，放置于能绕  点在水平面内转动的圆盘上，。已知小物块 、 和圆盘间的最大静摩擦力均为 ，现使圆盘带动两个物体做匀速圆周运动。求：

解析

图解法解答两个问题

物块 P、Q 相关物理量一样，几何关系对称，受力情况一致，分析一个即可，下面以物块 P 为研究对象进行分析：

即此时刚好达到临界状态，物块即将滑动：

得物块开始滑动时的临界角速度为：

此时摩擦力最小：

得：

此时摩擦力最小值：

质心法解决问题1：思路梳理

首先寻找临界状态，结合隔离法，对物块 P 隔离受力分析：

当摩擦力方向与弹簧弹力垂直时：

此时静摩擦力刚好达到最大值。

得：

注：与图解法得出的结果一样，解答摩擦力最小值临界问题图解法直观、简单。

总结

一句话：能否用质心法，关键不在连线过不过圆心，而在“临界时各接触面摩擦力是否同步达到最大值、系统外力能否整体确定”。