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2026年山东卷物理第17题 试题分析
2026年山东卷物理第17题 试题分析
适用：高三复习 压轴题精讲
一、题目原文
如图甲所示，半径 r= 1 m 的圆筒竖直放置，上下底面圆心分别为 O和 O′，筒内有三个互成 120° 角且可以绕 OO′转动的竖直矩形叶片 S₁、S₂ 和 S₃，叶片与圆筒上下齐平，宽度等于圆筒半径，N为圆筒上底边沿一点。圆筒上底面固定一半径 R= m 的水平圆形轨道，轨道上有一长度可忽略的缺口位于 O点，OM为轨道直径且 OM⊥ON；在轨道的 M点放置一小物体，某时刻该物体在内力作用下突然分成 A、B 两部分并弹开，其质量分别为 mA、mB。A 以 vA= 1 m/s 的速率沿轨道运动至缺口进入圆筒，在筒内做平抛运动后恰好紧贴圆筒下底面沿边穿出。已知 g= 10 m/s²。忽略空气阻力及一切摩擦，轨道、圆筒和叶片的厚度均忽略不计。
（1）求 A 在轨道内运动的时间及圆筒高度；
（2）若叶片以恒定角速度 ω顺时针转动，且 A 运动至缺口时，S₁ 恰好转过 ON位置，如图乙所示，随后 A 未与叶片碰撞，从圆筒下底面沿边穿出时，S₂ 恰好转至 ON位置。
（ⅰ）求角速度的大小 ω；
（ⅱ）若 B 运动至缺口后能从任意两个叶片间的区域穿过圆筒，且未与叶片及筒壁碰撞，求 。
二、考点定位
| 知识模块 | |
| 核心考点 | |
| 命题特色 | |
| 能力要求 | |
| 难度等级 |
三、解题思路与详细解答
几何关系梳理（解题前提）
在正式解题前，必须先理清几个关键几何关系：
轨道与缺口：水平圆形轨道固定在圆筒上底面，轨道圆心不在圆筒圆心 O 处（OM 为轨道直径，O 和 M 是轨道直径的两个端点），轨道半径 R = OM/2。缺口位于 O 点（恰好是圆筒上底面圆心）。 OM⊥ON：ON 是圆筒半径（从圆心 O 到边沿 N），OM 是轨道直径，二者垂直。因此轨道在 O 点的切线方向平行于 ON（因为切线垂直于半径 OM，而 OM⊥ON，所以切线∥ON）。 A、B 的速度方向：物体在 M 点分裂后，A、B 沿轨道相反方向运动，到达缺口 O 时速度方向均沿轨道切线方向，即平行于 ON（一个沿 ON 方向，一个沿 ON 反方向）。
编者注：网络流传版中轨道半径印为 m，但按标准答案 反推，A 沿轨道半周的路程应为 3 m，即 ，故 m。以下解答按 m 进行。请以官方正式版为准。
第（1）问：A 在轨道内运动的时间及圆筒高度
步骤1：A 在轨道内运动的时间
A 从 M 点沿轨道运动至缺口 O，M 和 O 是轨道直径的两端点，故 A 经过的轨道长度为半周长：
A 做匀速圆周运动（水平轨道，无摩擦），速率 ，故运动时间：
步骤2：圆筒高度
A 从缺口 O 进入圆筒后做平抛运动，初速度沿水平方向（轨道切线方向∥ON），大小 。
"恰好紧贴圆筒下底面沿边穿出"——A 从圆筒上底面圆心 O 处进入，水平位移等于圆筒半径 时，恰好到达下底面边沿。
平抛运动水平方向：
竖直方向自由下落，圆筒高度：
第（2）（ⅰ）问：求角速度 ω
关键分析
A 运动至缺口时（记为时刻 ），S₁ 恰好在 ON 位置。A 在筒内做平抛运动的时间为 ，穿出时 S₂ 恰好转至 ON 位置。
由题图乙可知，三个叶片按顺时针方向排列为 S₁ → S₃ → S₂（即 S₂ 位于 S₁ 逆时针方向 120° 处）。叶片顺时针转动。
：S₁ 在 ON 位置（角度 0°），S₂ 在 ON 逆时针方向 120° 处（即顺时针方向 240° 处）。 叶片顺时针转动，S₂ 要到达 ON 位置，需转过的角度为 120°（从逆时针 120° 处顺时针转到 ON）。
A 在筒内运动时间为 1 s，故：
验证：叶片转动周期 ，三个叶片互成 120°，故叶片位置分布的重复周期为 ，恰好等于 A 在筒内的平抛时间。
第（2）（ⅱ）问：求 m_A / m_B
这是本题最难的一问，需要分四步分析。
步骤1：动量守恒求 B 的速率
物体在 M 点由内力作用分裂为 A、B，分裂前静止，由动量守恒：
（A、B 沿轨道相反方向运动，动量大小相等、方向相反）
步骤2：B 在轨道内运动的时间
B 从 M 点沿轨道另一方向运动至缺口 O，同样经过半周长 3 m，故：
A 到达缺口的时刻为 （从分裂时刻算起），B 到达缺口的时刻为 。
步骤3：B 穿过圆筒的避碰条件
B 进入圆筒后同样做平抛运动，时间为 （竖直高度 h=5 m 不变），水平位移为 。
"未与筒壁碰撞"要求水平位移不超过圆筒半径：
避碰条件的核心分析：
B 的运动方向沿 ON 反方向（与 A 相反），即角度 180° 方向。叶片以角速度 顺时针转动。
以 A 到达缺口的时刻为 （此时 S₁ 在 ON 位置，即 0°），三个叶片的初始角度为：
S₁：0° S₃：120°（顺时针方向） S₂：240°（顺时针方向）
B 的运动方向为 180°（ON 反方向）。叶片扫过 180° 方向的时刻依次为：
相邻两次扫过 180° 方向的时间间隔均为 1 s（因为叶片位置分布的重复周期为 1 s）。
B 要在筒内运动 1 s 而不与叶片碰撞，B 进入圆筒的时刻必须恰好等于某片叶子刚扫过 180° 方向的时刻，这样 B 在接下来的 1 s 内（直到下一片叶子到达 180°）都处于安全空隙中。
即 B 到达缺口的时刻（从 A 到达时刻算起的延迟时间）为：
（B 进入时叶片刚扫过 B 的方向，B 在 1 s 内安全穿出）
步骤4：求解质量比
令 ，得：
验证：当 k=0 时，，，不会撞筒壁 ✓；，延迟 0.5 s，恰好 S₃ 刚扫过 180° ✓。
四、运动过程时间线
五、易错点与失分警示
易错点1：轨道几何关系理解错误
错误：认为轨道以圆筒圆心 O 为圆心，缺口在轨道上某点。
正确：OM 是轨道直径，O 和 M 都是轨道上的点，轨道圆心在 OM 中点。缺口位于 O 点（恰好是圆筒圆心），物体从 O 点掉入圆筒。
关键推论：轨道在 O 点的切线方向平行于 ON（因为 OM⊥ON，切线⊥OM），这决定了 A、B 进入圆筒时的速度方向。
易错点2：平抛时间与水平位移的关系
错误：认为 A 平抛的水平位移不确定。
正确：A"恰好紧贴圆筒下底面沿边穿出"，说明 A 从圆心进入，水平位移恰好等于圆筒半径 r=1 m，由此可求出平抛时间 t=1 s，进而求出圆筒高度 h=5 m。
易错点3：叶片排列方向与转动方向搞混
错误：认为 S₂ 在 S₁ 顺时针方向 120°，导致 ω 算成 4π/3。
正确：由题图乙，S₂ 位于 S₁ 逆时针方向 120° 处。叶片顺时针转动，S₂ 到达 ON 位置只需转过 120°，故 ω = 2π/3 rad/s。
易错点4：避碰条件分析错误（最后一问）
错误：认为 B 只要进入时在两个叶片之间就行，忽略了叶片在转动，1 s 内会扫过来。
正确：B 在筒内运动 1 s，叶片位置分布的重复周期也是 1 s。B 必须在叶片刚扫过其运动方向的时刻进入，才能在接下来的 1 s 内全程安全。这是一个"时间窗口恰好等于运动时间"的临界条件。
提醒：这是本题最核心的难点，需要画出叶片扫过 B 方向的时刻序列，找到相邻两次扫过的间隔恰好为 1 s，从而确定 B 进入的时刻必须等于扫过时刻。
易错点5：忘记多解（周期性）
错误：只算出 k=0 时的一个解 6/7。
正确：叶片转动具有周期性，B 可以在第 1 次、第 2 次、第 3 次……叶片扫过 180° 方向后进入，因此质量比是一组无穷多解 。
易错点6：忽略"未与筒壁碰撞"的约束
错误：求出质量比后不验证是否满足 v_B ≤ 1 m/s。
正确：B 平抛时间 1 s，水平位移 v_B × 1，不能超过圆筒半径 1 m，故 v_B ≤ 1，即 m_A/m_B ≤ 1。所有解 ，均满足条件。
六、参考答案
七、教学建议
本题是"多过程综合+相对运动避碰"的典范，建议拆解为三个独立模块讲解：分裂与动量守恒 → 平抛与几何 → 旋转叶片避碰。 最后一问的避碰条件是教学难点，建议用时间轴动画演示叶片扫过 B 方向的时刻，让学生直观看到"安全窗口=1 s=平抛时间"的临界关系。 多解问题要强调周期性意识，凡是涉及转动、振动的问题，都要提醒学生考虑是否存在多组解。 **几何关系是本题的"门槛"**，建议在解题前花 2-3 分钟专门梳理轨道、缺口、ON、OM 之间的几何关系，否则后续全部无从下手。