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济南市 2021 年九年级学业水平考试
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：9的算术平方根是3，
故选C．
考点：算术平方根．
2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往
右边看，熟练三视图的概念即可求解.
3. 2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最
近时候的距离约 ．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式并正确确定a及n的值是解题
的关键．
4. 如图， ， ， 平分 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后根据角平分线的定义可得 ，进而根据平行线
的性质可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题
的关键．
5. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转
，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图
形的概念是解题的关键．
6. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】根据数轴可得 ，由此可排除选项．
【详解】解：由数轴可得 ，
∴ ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项
错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查数轴及实数的运算，熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键．
7. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．
【详解】解： ；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
8. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，
如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故选C
【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
9. 反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数 的图象大致是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得 ，进而根据一次函数图像的性质可得 的图象的大致情况．
【详解】 反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴一次函数 的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．
观察选项只有D选项符合．
故选D
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得 是解题的关键．
10. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验
田进行监测作业时，在距地面高度为 的 处测得试验田右侧出界 处俯角为 ，无人机垂直下降
至 处，又测得试验田左侧边界 处俯角为 ，则 ， 之间的距离为（参考数据：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ， ， ，结果保留整数）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行
求解．
【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
11. 如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以 的长为半径作弧交 于点
，连接 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交
于点 ，连接 ，则下列结论中不正确的是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. 垂直平分线段
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，
， 得到 是等边三角形，由“三线合一”得AP平分 ，则
， ,且 角所对的直角边等于斜边的一半，故 ，所以
DE垂直平分线段 ，证明 可得 即可得到结论．
【详解】由题意可得： ，点P在线段BD的垂直平分线上
的
， 点A在线段BD 垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上， BE=DE，故A正确；
， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分 ，故B正确；
， ，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确
故选C．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
掌握这些基础知识为解题关键．
12. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点 ，若满足 时， ；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
时， ，则称点 是点 的限变点．例如：点 的限变点是 ，点
的限变点是 ．若点 在二次函数 的图象上，则当
时，其限变点 的纵坐标 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，当 时， 的图象向下平移4个单位，当 时，，
的图象关于 轴对称，据此即可求得其限变点 的纵坐标 的取值范围，作出函数图像，
直观的观察可得到 的取值范围
【详解】 点 在二次函数 的图象上，则当 时，其限变点 的图像
即为图中虚线部分，如图，
当 时， 的图象向下平移4个单位，当 时， 的图象关
于 轴对称，
从图可知函数的最大值是当 时， 取得最大值3，
最小值是当 时， 取得最小值 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，
理解新定义，画出函数图像是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）
13. 因式分解： _____
【答案】
【解析】
【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
14. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概
率是_______．
【答案】 ##
【解析】
【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积
占了其中的四等份，
∴P =
（飞镖落在白色区域）
故答案为： ．
15. 如图，正方形 的边 在正五边形 的边 上，则 __________ ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】18
【解析】
【分析】由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ；
故答案为18．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．
16. 关于 的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程 得：
，解得： ，
∴原方程为 ，
解方程得： ，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
17. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位
是时间 的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个 的值记录错误，请排除后
利用正确的数据确定当 为 时，对应的时间 为__________ ．
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …
【答案】15
【解析】
【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位 与时间 的
函数解析式为 ，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．
【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位
就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，
设水位 与时间 的函数解析式为 ，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：
，解得： ，
∴水位 与时间 的函数解析式为 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴当 =8时，则有 ，解得： ，
故答案为15．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
18. 如图，一个由8个正方形组成的“ ”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点 ，
， ， ， 都在矩形 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边 的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长 交于点 ，连接 ，根据题意求得 的长，设 ，
先证明 ，再证明 ， ，分别求出矩形的四边，根
据矩形对边相等列方程组求得 的值，进而求得 的值．
【详解】 小正方形的面积为1，则小正方形的边长为 ，
如图，延长 交于点 ，连接 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ，
四边形 是正方形，
，
，
设 ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
， ，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ，
，
即 ①
②
联立【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，
解二元一次方程组，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算： ．
【答案】6
【解析】
【分析】根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式= ．
【点睛】本题主要考查负指数幂、零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、零次幂及特殊三角函数
值是解题的关键．
20. 解不等式组： 并写出它的所有整数解．
【答案】 ；
【解析】
【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．
21. 如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】菱形 中，四边相等，对角相等，结合已知条件 ，可利用三角形全等进
行证明，得到 ，再线段之差相等即可得证．
【详解】 四边形 是菱形
在 和 中
(ASA)
即 ．
【点睛】本题考查了三角形全等的证明，菱形的性质，根据题意找准三角形证明的条件，利用角边角进行
三角形全等的证明是解题的关键．
22. 为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随
机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在 范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
组别 使用数量（双） 频数
14
10
合 50
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的 __________；
（2）统计图中 组对应扇形的圆心角为__________度；
（3） 组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
【答案】（1）9；（2）72；（3）12，10；（4）该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的
人数为760名．
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图可知D组所占百分比，然后问题可求解；
（2）由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）由题意可把在 范围内的数据从小到大排列，进而可得 组数据的众数及中位数；
（4）根据题意可得50名被调查的人中不少于15双的人数所占的百分比，然后问题可求解．
【详解】解：（1）由统计图可得： ；
故答案为9；
（2）由统计图可得 组对应扇形的圆心角为 ；
故答案为72；
（3）由题意可把在 范围内的数据从小到大排列为： 、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、
10、11、12、12、12、13；
∴在 组（ ）数据的众数是 ；
调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为 ；
故答案为12，10；
（4）由题意得：
（名）；
答：该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．
【点睛】本题主要考查中位数、众数及扇形统计图，熟练掌握中位数、众数及扇形统计图是解题的关键．
23. 已知：如图， 是 的直径， ， 是 上两点，过点 的切线交 的延长线于点 ，
，连接 ， ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质，已知条件可得 ，进而根据平行线的性质可得
，根据圆周角定理可得 ，等量代换即可得证；
（2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得 ，进而根据正切值以及已知条件可得 的
长，勾股定理即可求得 ，进而即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
．
（2）连接
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题
意添加辅助线是解题的关键．
24. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种
粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，
甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最
多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【解析】
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是
1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法
是解题的关键．
25. 如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点 是双曲线
第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且 ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的
（1）求 值并直接写出点 的坐标；
的
（2）点 是 轴上 动点，连接 ， ，求 的最小值；
（3） 是坐标轴上的点， 是平面内一点，是否存在点 ， ，使得四边形 是矩形？若存在，请
求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，B(2，3)；（2） ；（3）P（ ，0）或（0， ）.
【解析】
【分析】（1）根据直线 经过点A ，可求出点A（-2，-3），因 为点A在 图
象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；
（2）先根据 利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，
连接B’C，即B’C的长度是 的最小值；
（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：因为直线 经过点 ，
所以 ，
所以m=-2，
所以点A（-2，-3），【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
因为点A在 图象上，
所以 ，
因为 与双曲线 交于A， 两点，
所以点A和点B关于原点对称，
所以点B(2，3)；
（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，
因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，
所以BE//CF，
所以 ,
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为B（2，3），
所以BE=3，
所以CF=1，
所以C点纵坐标是1，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
将 代入 可得：x=6，
所以点C（6，1），
又因为点B’是点B关于y轴对称的点，
所以点B’（-2，3），
所以B’C= ，
即 的最小值是 ；
（3）解：①当点P在x轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，
因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
所以点P（ ，0）；
②当点P在y轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，
因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以点P（0， ）
综合可得：P（ ，0）或（0， ）.
【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练
掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
26. 在 中， ， ，点 在边 上， ，将线段 绕点 顺时针
旋转至 ，记旋转角为 ，连接 ， ，以 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形 ．连接
．
（1）如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系；
（2）当 时，
①如图2，（1）中线段 与线段 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当 ， ， 三点共线时，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）① 成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析；
【解析】
【分析】（1）如图1，证明 ，由平行线分线段成比例可得 ，由 的余弦值可得
；
（2）①根据两边成比例，夹角相等，证明 ，即可得 ；
②如图3，过 作 ，连接 , 交于点 ，根据已知条件证明 ，根据平行线
分线段成比例可得 ，根据锐角三角函数以及①的结论可得 ,【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
根据三角形内角和以及 可得 ，进而可得 ，即可证明四边形
是平行四边形．
【详解】（1）如图1，
， ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
, ，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）① 仍然成立，理由如下：
如图2，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
, ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
即 ；
②四边形 是平行四边形，理由如下：
如图3，过 作 ，连接 , 交于点 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ，
，
，
，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
，
， ， 三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
由①可知 ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
, ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三
角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解
题的关键．
27. 抛物线 过点 ，点 ，顶点为 ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求抛物线的表达式及点 的坐标；
（2）如图1，点 在抛物线上，连接 并延长交 轴于点 ，连接 ，若 是以 为底的等
腰三角形，求点 的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点 是线段 上（与点 ， 不重合）的动点，连接 ，作
，边 交 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）将 的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，
代入解析式即可的顶点 的坐标；
（2）设 ，根据 是以 为底的等腰三角形，根据 ，求得 点的坐标，进而求
得 解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得 点的坐标；
（3）根据题意，可得 ，设 ，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得
，根据配方法可得 的最大值，根据点 是线段 上（与点 ， 不重合）
的动点，可得 的最小值，即可求得 的范围．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】（1） 抛物线 过点 ，点 ，
，
解得 ，
，
，代入 ，
解得： ，
顶点 ，
（2）设 ，
, ， 是以 为底的等腰三角形，
即
解得
设直线 的解析式为
解得【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
直线 的解析式为
联立
解得： ，
（3） 点 的横坐标为 ， ， ，
，
设 ，则 ，
是以 为底的等腰三角形，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
即
整理得
当 点与 点重合时， 与 点重合，由题意，点 是线段 上（与点 ， 不重合）的动点，
的取值范围为： ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定系数
法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
