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2015 年济南市中考数学试题
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）（2015•济南）﹣6的绝对值是（ ）
A． 6 B． ﹣6 C． ±6 D．
2．（3分）（2015•济南）新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东
岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用
科学记数法表示为（ ）
A．0.109×105 B．1.09×104 C．1.09×103 D．109×102
3．（3分）（2015•济南）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．70°
4．（3分）（2015•济南）下列运算不正确的是（ ）
A．a2•a=a3 B．（a3）2=a6 C．（2a2）2=4a4 D．a2÷a2=a
5．（3分）（2015•济南）如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其
主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2015•济南）若代数式4x﹣5与 的值相等，则x的值是（ ）
A． 1 B． C． D． 2
7．（3分）（2015•济南）下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
第1页（共34页）A． B． C． D．
8．（3分）（2015•济南）济南某中学足球队的18名队员的年龄如表所示：
年龄（单位： 12 13 14 15
岁）
人数 3 5 6 4
这18名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．13岁，14岁 B．14岁，14岁 C．14岁，13岁 D．14岁，15岁
9．（3分）（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的
格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得
到△A B C ，那么点A的对应点A 的坐标为（ ）
1 1 1 1
A．（4，3） B．（2，4） C．（3，1） D．（2，5）
10．（3分）（2015•济南）化简 ﹣ 的结果是（ ）
A． m+3 B． m﹣3 C． D．
11．（3分）（2015•济南）如图，一次函数y =x+b与一次函数y =kx+4的图象交于
1 2
点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
第2页（共34页）A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
12．（3分）（2015•济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正
方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为
（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
13．（3分）（2015•济南）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∠ACB的角平分线分别交AB、CD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（
）
A． B． C．1 D．
14．（3分）（2015•济南）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、
C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P ，P 关于B的对称点P ，P 关于C的对
1 1 2 2
称点为P ，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P ，
3 4
P ，P ，…，则点P 的坐标是（ ）
5 6 2015
A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
15．（3分）（2015•济南）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物
线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D．若
1 1 2 2
直线y=x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
1 2
A． B． C．﹣3＜m＜﹣2 D．
﹣2＜m＜ ﹣3＜m＜﹣ ﹣3＜m＜﹣
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
第3页（共34页）16．（3分）（2015•济南）分解因式：xy+x= ．
17．（3分）（2015•济南）计算： +（﹣3）0= ．
18．（3分）（2015•济南）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则⊙O
的周长为 （结果保留π）．
19．（3分）（2015•济南）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块
方砖上，每一块方砖的除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是
．
20．（3分）（2015•济南）如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点
B在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k= ．
21．（3分）（2015•济南）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交
BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的
距离是2 ；③tan∠DCF= ；④△ABF的面积为 ．其中一定成立的是
（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
第4页（共34页）三、解答题（共7小题，满分57分）
22．（7分）（2015•济南）（1）化简：（x+2）2+x（x+3）
（2）解不等式组： ．
23．（7分）（2015•济南）（1）如图，在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF；
（2）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
24．（8分）（2015•济南）济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快
车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车
的平均行驶速度．
第5页（共34页）25．（8分）（2015•济南）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生
阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、
“其他”
四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形
统计图．根据图表提供的信息，回答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 m 1
（1）计算m= ；
（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2
名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是
乙和丙的概率．
26．（9分）（2015•济南）如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=（x＞0）
的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．
第6页（共34页）（1）求m的值和直线AB的函数关系式；
（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动
同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当
动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；
②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形
△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点Q′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求
Q′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
第7页（共34页）27．（9分）（2015•济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，
点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时
针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发
生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= ，其
他条件不变，求线段AM的长．
第8页（共34页）28．（9分）（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与
y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作 ▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，
Q为坐标平面内的一点，且 ▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
第9页（共34页）（3）如图2，⊙O 过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点
1
A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最
大值．
2015 年山东省济南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）（2015•济南）﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．
考点：绝对值．菁优网版权所有
分析：根据绝对值的概念可得﹣6的绝对值是数轴表示﹣6的点与原点的距离．
解答：解：﹣6的绝对值是6，
故选：A．
点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做
这个数的绝对值．
2．（3分）（2015•济南）新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东岸荷兰鹿特
丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用科学记数法表示为（
）
A．0.109×105 B．1.09×104 C．1.09×103 D．109×102
第10页（共34页）考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将10900用科学记数法表示为：1.09×104．
故选：B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2015•济南）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．70°
考点：余角和补角；垂线．菁优网版权所有
分析：根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案．
解答：解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
即∠2+∠1=90°，
∴∠2=55°，
故选：C．
点评：此题考查了余角的知识，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．
4．（3分）（2015•济南）下列运算不正确的是（ ）
A．a2•a=a3 B．（a3）2=a6 C．（2a2）2=4a4 D．a2÷a2=a
考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，先
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；
对各选项分析判断即可得解．
解答：解：A、a2•a=a2+1=a3，故本选项错误；
B、（a3）2=a3×2=a6，故本选项错误；
第11页（共34页）C、（2a2）2=22•（a2）2=4a4，故本选项错误；
D、应为a2÷a2=a2﹣2=a0=1，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟
练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．（3分）（2015•济南）如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是（
）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答：解：从正面看第一层两个小正方形，第二层右边一个三角形，
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意圆锥的主视图
是三角形．
6．（3分）（2015•济南）若代数式4x﹣5与 的值相等，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
考点：解一元一次方程．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解答：
解：根据题意得：4x﹣5= ，
去分母得：8x﹣10=2x﹣1，
第12页（共34页）解得：x= ，
故选B．
点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化
为1，求出解．
7．（3分）（2015•济南）下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
分析：根据轴对称图形与中心对称的概念对各选项分析判断即可得解．
解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．（3分）（2015•济南）济南某中学足球队的18名队员的年龄如表所示：
年龄（单位：岁） 12 13 14 15
人数 3 5 6 4
这18名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．13岁，14岁 B．14岁，14岁 C．14岁，13岁 D．14岁，15岁
考点：众数；中位数．菁优网版权所有
分析：首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这18名队员年龄的众数；然后根据
这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，判断出这
18名队员年龄的中位数是多少即可．
解答：解：∵济南某中学足球队的18名队员中，14岁的最多，有6人，
∴这18名队员年龄的众数是14岁；
∵18÷2=9，第9名和第10名的成绩是中间两个数，
∵这组数据的中间两个数分别是14岁、14岁，
第13页（共34页）∴这18名队员年龄的中位数是：
（14+14）÷2
=28÷2
=14（岁）
综上，可得
这18名队员年龄的众数是14岁，中位数是14岁．
故选：B．
点评：（1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一
组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多
的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一
组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中
间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据
的平均数就是这组数据的中位数．
9．（3分）（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果
将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△AB C ，那么点A的
1 1 1
对应点A 的坐标为（ ）
1
A．（4，3） B．（2，4） C．（3，1） D．（2，5）
考点：坐标与图形变化-平移．菁优网版权所有
分析：根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
解答：解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单
位长度，点A的对应点A 的坐标为（﹣2+4，6﹣1），
1
即（2，5），
故选：D．
点评：此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
第14页（共34页）10．（3分）（2015•济南）化简 ﹣ 的结果是（ ）
A．m+3 B．m﹣3 C． D．
考点：分式的加减法．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答：
解：原式= = =m+3．
故选A．
点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（3分）（2015•济南）如图，一次函数y=x+b与一次函数y=kx+4的图象交于点P（1，3），
1 2
则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
考点：一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有
分析：观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于
x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
解答：解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定
直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
第15页（共34页）12．（3分）（2015•济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成
一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
考点：一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：几何图形问题．
分析：设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘
米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．
解答：解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，
高为3厘米，根据题意列方程得，
（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，
解得x=16，x=﹣4（不合题意，舍去）；
1 2
答：正方形铁皮的边长应是16厘米．
故选：D．
点评：此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高，以及平面图形折成
立体图形后各部分之间的关系．
13．（3分）（2015•济南）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平
分线分别交AB、CD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（ ）
A． B． C．1 D．
考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角
形，所以AH=MH= AM= ，再根据角平分线性质得BM=MH= ，则AB=2+ ，
于是利用正方形的性质得到AC= AB=2 +2
OC= AC= +1，所以CH=AC﹣AH=2+ ，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比
第16页（共34页）可计算出ON的长．
解答：解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH= AM= ×2= ，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= ，
∴AB=2+ ，
∴AC= AB= （2+ ）=2 +2，
∴OC= AC= +1，CH=AC﹣AH=2 +2﹣ =2+ ，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ = ，即 = ，
∴ON=1．
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中
已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一
般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．
14．（3分）（2015•济南）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点
P（0，2）关于A的对称点为P，P 关于B的对称点P，P 关于C的对称点为P，按此规律继续
1 1 2 2 3
以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P，P，P，…，则点P 的坐标是（ ）
4 5 6 2015
A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
考点：规律型：点的坐标．菁优网版权所有
分析：设P（x，y），再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出规律即可得出结论．
1
第17页（共34页）解答：解：设P（x，y），
1
∵点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P，P 关于B的
1 1
对称点P，
2
∴ =1， =﹣1，解得x=2，y=﹣4，
∴P（2，﹣4）．
1
同理可得，P（2，﹣4），P（﹣4，2），P（4，0），P（﹣2，﹣2），P（0，0），P（0，2），P（2，
1 2 3 4 5 6 7
﹣4），…，…，
∴每6个数循环一次．
∵ =335…5，
∴点P 的坐标是（0，0）．
2015
故选A．
点评：本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．
15．（3分）（2015•济南）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及
其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C 、C 共
1 1 2 2 1 2
有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．﹣3＜m＜﹣2 D．
﹣2＜m＜ ﹣3＜m＜﹣ ﹣3＜m＜﹣
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
分析：首先求出点A和点B的坐标，然后求出C 解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C
2 2
相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
解答：解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C 向右平移2个长度单位得C ，
1 2
第18页（共34页）则C 解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
2
当y=x+m 与C 相切时，
1 2
令y=x+m =y=﹣2（x﹣4）2+2，
1
即2x2﹣15x+30+m =0，
1
△=﹣8m ﹣15=0，
1
解得m=﹣ ，
1
当y=x+m 过点B时，
2
即0=3+m ，
2
m=﹣3，
2
当﹣3＜m＜﹣ 时直线y=x+m与C 、C 共有3个不同的交点，
1 2
故选D．
点评：本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关
键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
16．（3分）（2015•济南）分解因式：xy+x= x （ y+ 1 ） ．
考点：因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
分析：直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
解答：解：xy+x=x（y+1）．
故答案为：x（y+1）．
点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
17．（3分）（2015•济南）计算： +（﹣3）0= 3 ．
第19页（共34页）考点：实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=2+1=3．
故答案为：3．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（3分）（2015•济南）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则⊙O的周长为
6π （结果保留π）．
考点：切线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
分析：连接OA，根据切线的性质求出∠OAP=90°，根据勾股定理求出OA即可．
解答：
解：
连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，PA=4，OP=5，由勾股定理得：OA=3，
则⊙O的周长为2π×3=6π，
故答案为：6π．
点评：本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出
∠OAP=90°，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
19．（3分）（2015•济南）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每
一块方砖的除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
第20页（共34页）考点：几何概率．菁优网版权所有
分析：根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积
的比值．
解答：
解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的 ，
则它最终停留在黑色方砖上的概率是 ；
故答案为： ．
点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区
域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件（A）发生的概率．
20．（3分）（2015•济南）如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比
例函数y= （x＜0）的图象上，则k= ﹣ 4 ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析：过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所
∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得
出反比例函数的解析式；
解答：解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0），
∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，
第21页（共34页）∴OD= OB=2，BD=OB•sin60°=4× =2 ，
∴B（﹣2，2 ），
∴k=﹣2×2 =﹣4 ；
故答案为﹣4 ．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等
知识，难度适中．
21．（3分）（2015•济南）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点
E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2 ；
③tan∠DCF= ；④△ABF的面积为 ．其中一定成立的是 ①②③ （把所有正确结
论的序号都填在横线上）．
考点：四边形综合题．菁优网版权所有
分析：利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角形的性质
得出点E到AB的距离是2 ，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为 得出④
错误，得出tan∠DCF= ，得出③正确．
解答：解：∵菱形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
第22页（共34页）过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：
∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6﹣2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG= ，
∴点E到AB的距离是2 ，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S ：S =4：2=2：1，
△BFE △FEC
∴S ：S =3：2，
△ABF △FBE
∴△ABF的面积为= ，
故④错误；
∵ ，
∴ = ，
∵ ，
∴FM= ，
∴DM= ，
∴CM=DC﹣DM=6﹣ ，
∴tan∠DCF= ，
故③正确；
故答案为：①②③
点评：此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全
第23页（共34页）等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思
想的应用．
三、解答题（共7小题，满分57分）
22．（7分）（2015•济南）（1）化简：（x+2）2+x（x+3）
（2）解不等式组： ．
考点：整式的混合运算；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：（1）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简求出即可；
（2）分别解不等式，进而得出其解集即可．
解答：解：（1）（x+2）2+x（x+3）
=x2+4x+4+x2+3x
=2x2+7x+4；
（2） ，
解①得：x≥2，
解②得：x≥﹣1，
故不等式组的解为：x≥2．
点评：此题主要考查了整式的混合运算以及解一元一次不等式组，正确掌握运算法则得出不
等式组的解集是解题关键．
23．（7分）（2015•济南）（1）如图，在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF；
（2）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．菁优网版
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分析：（1）根据矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出BE=CF，根据SAS推出
第24页（共34页）△ABE≌△DCF即可；
（2）根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180°，
即可求出答案．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵BF=CE，
∴BE=CF，
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF；
（2）解：∵∠BOD=160°，
∴∠BAD= ∠BOD=80°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=100°．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，圆周角定理，圆内接四边形性质的
应用，解（1）小题的关键是求出△ABE≌△DCF，解（2）小题的关键是求出∠BAD的度
数和得出∠BCD+∠BAD=180°．
24．（8分）（2015•济南）济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前
4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．
考点：分式方程的应用．菁优网版权所有
分析：首先设普通快车的速度为xkm/时，则高铁列车的平均行驶速度是3xkm/时，根据题意
可得等量关系：乘坐普通快车所用时间﹣乘坐高铁列车所用时间=4h，根据等量关系列
出方程，再解即可．
解答：解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得：
﹣ =4，
解得：x=80，
经检验：x=80是原分式方程的解，
第25页（共34页）3x=3×80=240，
答：高铁列车的平均行驶速度是240km/时．
点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出
方程，注意分式方程不能忘记检验．
25．（8分）（2015•济南）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的
情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、“其他”
四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．根
据图表提供的信息，回答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 m 1
（1）计算m= 4 0 ；
（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 15% ；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加
学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；
（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求
概率．
解答：解：（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25，
∴m=10÷0.25=40；
第26页（共34页）（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ×100%=15%，
故答案为：15%；
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，
∴P（丙和乙）= = ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26．（9分）（2015•济南）如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．
（1）求m的值和直线AB的函数关系式；
（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点
Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D时，
点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；
②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否
存在某时刻t，使得点Q′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求Q′的坐标和t的值；若不
存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题．菁优网版权所有
第27页（共34页）分析：
（1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= 的图象上，根据反比例函数的意义
求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式；
②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t
值．
解答：
解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= 的图象上，
∴m=8×1=8，
∴y= ，
∴8= ，即n=1，
设AB的解析式为y=kx+b，
把（8，1）、B（1，8）代入上式得：
，
解得： ．
∴直线AB的解析式为y=﹣x+9；
（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，
当P在OD上运动时，
S= = =t2（0＜t≤4），
当P在DB上运动时，
S= = t×8=4t（4＜t≤4.5）；
②存在，
作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E，
则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，
由题意知：∠PO′Q=∠POQ=90°﹣∠PO′E，
∠EPO′=90′﹣∠PO′E
∴△PEO′∽△O′FQ，
∴ = = ，
设QF=b，O′F=a，
则PE=OF=t+b，OE=2t﹣a，
第28页（共34页）∴ ，
解得：a= ，b= ，
∴O′（ t， t），
当Q′在反比例函数的图象上时，
，
解得：t=± ，
∵反比例函数的图形在第一象限，
∴t＞0，
∴t= ．
当t= 个长度单位时，Q′恰好落在反比例函数的图象上．
点评：本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角
形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．
27．（9分）（2015•济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线
AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段
CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如
果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
第29页（共34页）（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= ，其他条件不
变，求线段AM的长．
考点：几何变换综合题．菁优网版权所有
分析：（1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；
（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可；
（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角
三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，
第30页（共34页），
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°；
（2）不变，
在△MAC≌△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；
（3）作GK⊥BC于K，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵∠ACM=60°，
∴∠GCB=30°，
∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，
∠AMG=75°，
∴AM=AG，
∵△MAC≌△NBC，
∴∠MAC=∠NBC，
∴∠BDA=∠BCA=90°，
∵BD= ，
∴AB= + ，
AC=BC= +1，
设BK=a，则GK=a，CK= a，
∴a+ a= +1，
∴a=1，
∴KB=KG=1，BG= ，
AG= ，
第31页（共34页）∴AM= ．
点评：本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利
用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用．
28．（9分）（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作 ▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平
面内的一点，且 ▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O 过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），
1
∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．
考点：二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的
值；
（2）设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4），由平行四边形的面积为30可知S =15，由
△CBP
S ﹣S ﹣S ，得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标；
△CBP=S梯形CEDP △CEB △PBD
第32页（共34页）（3）首先证明△EAB∽△NMB，从而可得到NB= ，当MB为圆的直径时，NB有最大
值．
解答：
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得： ，
解得： ．
∴抛物线得解析式为y=x2﹣6x+4．
（2）如图所示：
设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4）
∵平行四边形的面积为30，
∴S =15，即：S ﹣S ﹣S ．
△CBP △CBP=S梯形CEDP △CEB △PBD
∴ m（5+m2﹣6m+4+1）﹣ ×5×5﹣ （m﹣5）（m2﹣6m+5）=15．
化简得：m2﹣5m﹣6=0，
解得：m=6，或m=﹣1．
∵m＞0
∴点P的坐标为（6，4）．
（3）连接AB、EB．
∵AE是圆的直径，
∴∠ABE=90°．
第33页（共34页）∴∠ABE=∠MBN．
又∵∠EAB=∠EMB，
∴△EAB∽△NMB．
∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），
∴点O 的横坐标为3，
1
将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设点O 的坐标为（3，m），
1
∵O C=O A，
1 1
∴ ，
解得：m=2，
∴点O 的坐标为（3，2），
1
∴OA= ，
1
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE= = =6，
∴点E的坐标为（5，5）．
∴AB=4，BE=6．
∵△EAB∽△NMB，
∴ ．
∴ ．
∴NB= ．
∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．
∴MB=AE=2 ，
∴NB= =3 ．
点评：本题主要考查的是二次函数的综合应用，利用两点间的距离公式求得圆的半径是解题
的关键．
第34页（共34页）
