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2020 年山东省济南市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】解：|-2|=2
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值
是0．
2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形判断即可．
【详解】解：从几何体上面看，共2层，底层2个小正方形，上层是3个小正方形，左齐．
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的三视图，属于中考常考基础题型．
3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是 21500000米．将数字21500000用科学记数
法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是
正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解：将21500000用科学记数法表示为： ．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，AB CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根
据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．
【详解】∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，
同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
5. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是
轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图
形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转 后能与自身重合，则这个图形是中心对称图
形，根据概念逐一分析可得答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题的关键．
6. 某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统
计图，下列说法正确的是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 每月阅读课外书本数的众数是45
B. 每月阅读课外书本数的中位数是58
C. 从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
【答案】B
【解析】
【分析】从折线图中获取信息，结合中位数、众数的定义及极差的定义可得答案．
【详解】解：因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是58，故选
项A错误；
每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的数字为58，所以该组数
据的中位数为58，故选项B正确；
从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，故选项C
错误；
从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是折线统计图及从折线统计图中获取信息，同时考查众数与中位数，极差，掌握以上
知识是解题的关键．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6
C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】A
【解析】
【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确；
∵a2•a3＝a5，故选项B错误；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的
关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点都在格点上，如果将 ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个
△ △
单位长度，得到 '，那么点B的对应点B'的坐标为（ ）
A. （1，7） B. （0，5） C. （3，4） D. （﹣3，2）
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
【详解】解：由坐标系可得B(﹣3，1)，将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为(3，1)，再向上平移3个
单位长度，点B的对应点B'的坐标为(3，1+3)，即(3，4)，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
的
9. 若m ﹣2，则一次函数 图象可能是（ ）
A. B.【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数 的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数 中的 对函
数图像的影响是解题的关键 ．
10. 如图，在 中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，
F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4， 面积为10，则BM+MD长
度的最小值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，
利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之
间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
11. 如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与
地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点
到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，
sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 2.6m B. 2.8m C. 3.4m D. 4.5m
【答案】B
【解析】
【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用
∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝ ≈0.4，
∴DE≈ ＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
12. 已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x 2时，y值随x值
的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵
坐标为t，若 ，则m的取值范围是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. m≥ B. ≤m≤3 C. m≥3 D. 1≤m≤3
【答案】A
【解析】
【分析】当x 2时，y值随x值 的增大而增大，得 由抛物线在线段AB下方的部分为G（包
含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t， ，得 ，分三种情况讨论，当
对称轴在y轴的右侧时，有 ＞ 即 ＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在
y轴的左侧时，有 ＞ 从而可得结论．
【详解】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得： ＜
由②得：
由③得：
解得： ＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关
键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
13. 分解因式：2a2﹣ab＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
【详解】解：2a2﹣ab＝a（2a﹣b），
故答案为：a（2a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法是解答本题的关键．
14. 一个不透明的袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为
白球的概率是_______．
【答案】 ##0.4
【解析】
【分析】根据概率的求解公式计算即可；
【详解】根据题意可得概率为： ；
故答案是 ；
【点睛】本题主要考查了概率公式的一样，准确计算是解题的关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
15. 代数式 与代数式 的值相等，则x＝_____．
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．
【详解】解：根据题意得： ，
去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，
解得：x＝7，
经检验x＝7是分式方程的解．
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
16. 如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为
24π，则正六边形的边长为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．
【详解】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得r＝6．（负根舍去）
则正六边形的边长为6．
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
17. 如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，
要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．
【答案】1
【解析】
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形
的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x＝1，x＝24（不合题意，舍去），
1 2
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最
左边是做本题的关键．
18. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在 处，AE为折痕；再
将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点 处，EF为折痕，连接 ．若CF＝3，则tan
＝_____．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代
换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90° ，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝ = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】分别计算零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，再合并即可得到答案．
【详解】解：原式
＝1﹣1+2+2
＝4．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，考查了零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的
运算，掌握以上知识是解题的关键．
20. 解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解为0，1
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解： ，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴不等式组的所有整数解为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式
组的解集是解此题的关键．
21. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，
F．求证：AE=CF．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD BC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出
△AOE≌△COF，即可得出答案．
【详解】∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，AD BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中 ，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是
解题关键．
22. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办
了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如
表格和统计图：
等级 次数 频率
不合格 100≤x 120 a
合格 120≤x 140 b【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
良好 140≤x 160
优秀 160≤x 180
请结合上述信息完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 ；
（4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
【答案】（1）0.1；0.35；（2）见解析；（3）108°；（4）1800名
【解析】
【分析】（1）根据频数分布直方图中不合格的数除总数即可求得a值；同理得出良好的人数，再根据扇形
统计图求出优秀的人数即可得出合格的人数，再除总数即可求得b的值.
（2）由（1）可得；
（3）由（1）得出良好的人数除总人数，再乘360°即可．
（4）先求出40个人合格及以上的人数占总人数的频率再乘2000即可解答.
【详解】解：（1）根据频数分布直方图可知：a＝4÷40＝0.1，
因为40×25%＝10，
所以b＝（40﹣4﹣12﹣10）÷40＝14÷40＝0.35，
故答案为：0.1；0.35；
（2）如图，即为补全的频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°× ＝108°；
故答案为：108°；
（4）因为2000× ＝1800，
所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题主要考查频数与频率，解题关键是熟练掌握频率=频数÷总数.
23. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，
BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是
∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt ADC∽Rt ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图， △ △
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt ADC∽Rt ACB，
△ △
∴ ，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝
【点睛】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°.
24. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：
型号价格
进价（元/部） 售价（元/部）
A 3000 3400
B 3500 4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，
B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元
【解析】
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、
B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型
手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进
两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
解得， ，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元，
w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性
质．
25. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2 ），反比例函数
（x 0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝ ．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
的
（2）写出DE与AC 位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是
否在反比例函数图象上．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）点 G 的坐标为 或
，这两个点都在反比例函数图象上
【解析】
【分析】（1）求出D（ ，2 ），再用待定系数法即可求解；
（2）证明 ，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝ ，求出点F（1， ），则点G（3， ），即
可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【详解】解：（1）∵B（2，2 ），则BC＝2，
而BD＝ ，
∴CD＝2﹣ ＝ ，故点D（ ，2 ），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2 ＝ ，解得k＝3 ，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝ ，故点E（2， ）；
（2）由（1）知，D（ ，2 ），点E（2， ），点B（2，2 ），
则BD＝ ，BE＝ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在RT OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2 ，
△
则tan∠OCA＝ ＝ ＝ ，故∠OCA＝30°，
则FH＝ FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2× ＝ ，
故点F（1， ），则点G（3， ），
当x＝3时，y＝ ＝ ，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3 ），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3， ）或（1，3 ），这两个点都在反比例函数图象上．
【点睛】本题主要考查反比例函数，解题关键是过点F作FH⊥y轴于点H.
26. 在等腰 ABC中，AC＝BC， 是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝ ∠ACB，连接BD，
△
BE，点F是BD的中点，连接CF．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF
的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予
证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰 ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
△的
思路二：取DE 中点G，连接AG，CG，并把 绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全
等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理
由．
【答案】（1）① ， ；②仍然成立，证明见解析；（2） ，理
由见解析．
【解析】
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明 再利用直角三角
形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，
MN．证明 （SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，
CG，并把 绕点C逆时针旋转90°得到 ，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，
四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝ ．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明 ，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝ ∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝ BD，
∴CF＝ BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝ BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
点F是BD的中点，
则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴ （SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝ BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把 CAG绕点C逆时针旋转90°得到 ，
△
连接DT，GT，BG．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC∥BT∥ ，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
由旋转可得；
是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝ BE．
（2）结论：BE＝ ．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴AT＝ ，
∴AB＝ ，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝ ∠ACB＝60°，
∴AE＝ AD＝ FT，
∴ ，
∴ ，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判
定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等
三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
27. 如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点
E（m，0）（0 m 3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D
的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S，△MON的面积为
1
S，若S＝2S，求m的值．
2 1 2
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）根据S＝ AE×y ，2S＝ON•x ，即可求解．
1 M 2 M
【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得 ，
解得 ，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝ ，
同理可得：AD＝ ，CD＝ ，
①当CD＝AD时，即 ＝ ，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝ （舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1， ）；
（3）∵E（m，0），可设点M（m，﹣m2＋2m＋3），
设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则 ，
解得： ，
故直线BM的表达式为y＝﹣ x＋ ，
当x＝0时，y＝ ，故点N（0， ），则ON＝ ；
S＝ AE×y ＝ ×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
1 M
2S＝ON•x ＝ ×m＝S＝ ×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
2 M 1
解得m＝﹣2± （舍去负值），
经检验m＝ ﹣2是方程的根，
故m＝ ﹣2．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，
其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
