文档内容
2014 年济南市中考数学试题
一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）
1．（3分）（2014•济南）4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．16
2．（3分）（2014•济南）如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．150°
3．（3分）（2014•济南）下列运算中，结果是a5的是（ ）
A．a2•a3 B．a10÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a）5
4．（3分）（2014•济南）我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月
面巡视探测的国家，嫦娥三号探测器的发射总质量约为3700千克，3700用科学记数法表示
为（ ）
A．3.7×102 B．3.7×103 C．37×102 D．0.37×104
5．（3分）（2014•济南）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2014•济南）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关
于这个几何体的说法正确的是（ ）
A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3
C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4
7．（3分）（2014•济南）化简 ÷ 的结果是（ ）
A．m B． C．m﹣1 D．
8．（3分）（2014•济南）下列命题中，真命题是（ ）A． 两对角线相等的四边形是矩形
B． 两对角线互相平分的四边形是平行四边形
C． 两对角线互相垂直的四边形是菱形
D． 两对角线相等的四边形是等腰梯形
9．（3分）（2014•济南）若一次函数y=（m﹣3）x+5的函数值y随x的增大而增大，则（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
10．（3分）（2014•济南）如图，在 ▱ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点
F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠E=∠CDF B．EF=DF C．AD=2BF D．BE=2CF
11．（3分）（2014•济南）学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每
人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）（2014•济南）如图，直线y=﹣ x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿
直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）
A．（ ，3） B．（ ， ） C．（2，2 ） D．（2 ，4）
13．（3分）（2014•济南）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在
圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ）A．2 B． C． D．
14．（3分）（2014•济南）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S ，将其中的每个
0
数换成该数在S 中出现的次数，可得到一个新序列S ，例如序列S ：（4，2，3，4，2），通过变
0 1 0
换可生成新序列S ：（2，2，1，2，2），若S 可以为任意序列，则下面的序列可作为S 的是（
1 0 1
）
A． （1，2，1，2，2） B． （2，2，2，3，3）
C． （1，1，2，2，3） D． （1，2，1，1，2）
15．（3分）（2014•济南）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元
二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1＜t＜8 D．3＜t＜8
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
16．（3分）（2014•济南）|﹣7﹣3|= ．
17．（3分）（2014•济南）分解因式：x2+2x+1= ．
18．（3分）（2014•济南）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如
果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为 ．
19．（3分）（2014•济南）若代数式 和 的值相等，则x= ．
20．（3分）（2014•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC
沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离
AA′等于 ．21．（3分）（2014•济南）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，
反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2=12，则k的值为 ．
三、解答题（共7小题，共57分）
22．（7分）（2014•济南）（1）化简：（a+3）（a﹣3）+a（4﹣a）
（2）解不等式组： ．
23．（7分）（2014•济南）（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：
EB=EC．
（2）如图2，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．24．（8分）（2014•济南）2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预定了小组赛和淘汰
赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张
700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？
\25．（8分）（2014•济南）在济南开展“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生
利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的
劳动时间，并用得到的数据绘制不完整的统计图表，如图所示：
劳动时间（时） 频数（人数） 频率
0.5 12 0.12
1 30 0.3
1.5 x 0.4
2 18 y
合计 m 1
（1）统计表中的m= ，x= ，y= ．
（2）被调查同学劳动时间的中位数是 时；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．26．（9分）（2014•济南）如图1，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（2 ，1），射线AB
与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂
足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于
点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．27．（9分）（2014•济南）如图1，有一组平行线l 1∥l 2∥l 3∥l
4
，正方形ABCD的第四个顶点分别在
l ，l ，l ，l 上，EG过点D且垂直l 于点E，分别交l ，l 于点F ，G ，EF=DG=1，DF=2．
1 2 3 4 1 2 4 1 1
（1）AE= ，正方形ABCD的边长= ；
（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直
线l 上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l ，l 上
3 2 4
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．
28．（9分）（2014•济南）如图1，抛物线y=﹣ x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称
轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影 ；
（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN
与AP相交于点N，设OM=t，试探究：
①t为何值时△MAN为等腰三角形；
②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．2014 年山东省济南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）
1．（3分）（2014•济南）4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．16
考点：算术平方根．
分析：根据乘方运算，可得一个数的算术平方根．
解答：解：∵22=4，
∴ =2，
故选：A．
点评：本题考查了算术平方根，乘方运算是解题关键．
2．（3分）（2014•济南）如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．150°
考点：余角和补角．
分析：根据互补两角之和为180°，求解即可．
解答：解：∵∠1=40°，
∴∠2=180°﹣∠1=140°．
故选C．
点评：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．
3．（3分）（2014•济南）下列运算中，结果是a5的是（ ）
A．a2•a3 B．a10÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a）5
考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
解答：解：A、a2•a3=a5，故A选项正确；
B、a10÷a2=a8，故B选项错误；
C、（a2）3=a6，故C选项错误；
D、（﹣a）5=﹣a5，故D选项错误．
故选：A．
点评：此题考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．
4．（3分）（2014•济南）我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月
面巡视探测的国家，嫦娥三号探测器的发射总质量约为3700千克，3700用科学记数法表示
为（ ）
A．3.7×102 B．3.7×103 C．37×102 D．0.37×104
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于3700有4位，所以可以确定n=4﹣1=3．
解答：解：3 700=3.7×103．故选B．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．（3分）（2014•济南）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确．
故选D．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与
原图重合．
6．（3分）（2014•济南）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关
于这个几何体的说法正确的是（ ）
A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3
C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4
考点：简单组合体的三视图．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得
到几个面，比较即可．
解答：解：A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，故本选项错误；
B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故本选项正确；
C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故本选项错误；
D、三种视图的面积不相同，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法．
7．（3分）（2014•济南）化简 ÷ 的结果是（ ）
A．m B． C．m﹣1 D．
考点：分式的乘除法．
专题：计算题．
分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答：
解：原式= •=m．
故选A．
点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）（2014•济南）下列命题中，真命题是（ ）
A．两对角线相等的四边形是矩形
B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．两对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两对角线相等的四边形是等腰梯形
考点：命题与定理．
专题：常规题型．
分析：根据矩形的判定方法对A进行判断；根据平行四边形的判定方法对B进行判断；根据
菱形的判定方法对C进行判断；根据等腰梯形的定义对D进行判断．
解答：解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、两对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项正确；
C、两对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项错误；
D、两对角线相等的梯形是等腰梯形，所以D选项错误．
故选B．
点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题
称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
9．（3分）（2014•济南）若一次函数y=（m﹣3）x+5的函数值y随x的增大而增大，则（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
考点：一次函数图象与系数的关系．
分析：直接根据一次函数的性质可得m﹣3＞0，解不等式即可确定答案．
解答：解：∵一次函数y=（m﹣3）x+5中，y随着x的增大而增大，
∴m﹣3＞0，
解得：m＞3．
故选C．
点评：本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增
大而减小是解答此题的关键．
10．（3分）（2014•济南）如图，在 ▱ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点
F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠E=∠CDF B．EF=DF C．AD=2BF D．BE=2CF
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：首先根据平行四边形的性质可得CD∥AB，再根据平行线的性质可得∠E=∠CDF；首先
证明△DCF≌△EBF可得EF=DF；根据全等可得CF=BF=BC，再利用等量代换可得
AD=2BF；根据题意不能证明AD=BE，因此BE不一定等于2CF．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠E=∠CDF，故A成立；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥BE，∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，故B成立；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF=BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，故C成立；
∵AD≠BE，
∴2CF≠BE，故D不成立；
故选：D．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
11．（3分）（2014•济南）学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每
人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与征征和舟舟选到同
一社团的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有3种情况，
∴征征和舟舟选到同一社团的概率是： =．
故选C．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）（2014•济南）如图，直线y=﹣ x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿
直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）
A．（ ，3） B．（ ， ） C．（2，2 ） D．（2 ，4）考点：翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质．
分析：
作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，由直线y=﹣ x+2与x轴、y轴分
别交于A、B两点，求出A（0，2），B（2 ，0）和∠BAO=30°，运用直角三角形求出MB
和MO′，再求出点O′的坐标．
解答：解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，
∵直线y=﹣ x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（0，2），B（2 ，0），
∴∠BAO=30°，
由折叠的特性得，O′B=OB=2，∠ABO=∠ABO′=60°，
∴MB=1，MO′= ，
∴OM=3，ON=O′M= ，
∴O′（ ，3），
故选：A．
点评：本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的
角与线段．
13．（3分）（2014•济南）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在
圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
考点：垂径定理；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形．
专题：计算题．
分析：连结BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直
径，则BD=2；由ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到
∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30度的直角三角形三边
的关系得到CD=BD=1，BC= CD= ，然后根据矩形的面积公式求解．
解答：解：连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
而OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC= CD= ，
∴矩形BCDE的面积=BC•CD= ．
故选B．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了
圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．
14．（3分）（2014•济南）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S ，将其中的每个
0
数换成该数在S 中出现的次数，可得到一个新序列S ，例如序列S ：（4，2，3，4，2），通过变
0 1 0
换可生成新序列S ：（2，2，1，2，2），若S 可以为任意序列，则下面的序列可作为S 的是（
1 0 1
）
A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）
考点：规律型：数字的变化类．
专题：新定义．
分析：根据题意可知，S 中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择．
1
解答：解：A、∵2有3个，∴不可以作为S ，故选项错误；
1
B、∵2有3个，∴不可以作为S ，故选项错误；
1
C、3只有1个，∴不可以作为S ，故选项错误
1
D、符合定义的一种变换，故选项正确．
故选：D．
点评：考查了规律型：数字的变化类，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的
命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规
律．
15．（3分）（2014•济南）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二
次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1＜t＜8 D．3＜t＜8考点：二次函数与不等式（组）．
分析：根据对称轴求出b的值，从而得到x=﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣
t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点
解答．
解答：
解：对称轴为直线x=﹣ =1，
解得b=﹣2，
所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x，
=（x﹣1）2﹣1，
x=﹣1时，y=1+2=3，
x=4时，y=16﹣2×4=8，
∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当﹣1＜t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故选C．
点评：本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是
解题的关键，作出图形更形象直观．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
16．（3分）（2014•济南）|﹣7﹣3|= 1 0 ．
考点：有理数的减法；绝对值．
分析：根据有理数的减法运算法则和绝对值的性质进行计算即可得解．
解答：解：|﹣7﹣3|=|﹣10|=10．
故答案为：10．
点评：本题考查了有理数的减法运算法则和绝对值的性质，是基础题，熟记法则和性质是解
题的关键．
17．（3分）（2014•济南）分解因式：x2+2x+1= （ x+ 1 ） 2 ．
考点：因式分解-运用公式法．
分析：本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两
个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．
解答：解：x2+2x+1=（x+1）2．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．
（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；
（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．
18．（3分）（2014•济南）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如
果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为 1 5 ．
考点：概率公式．
分析：由在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有
3个红球且摸到红球的概率为，利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，
∴口袋中球的总个数为：3÷=15．
故答案为：15．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（3分）（2014•济南）若代数式 和 的值相等，则x= 7 ．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
解答：
解：根据题意得： = ，
去分母得：2x+1=3x﹣6，
解得：x=7，
经检验x=7是分式方程的解．
故答案为：x=7．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（3分）（2014•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC
沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离
AA′等于 4 或 8 ．
考点：平移的性质；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．
分析：根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角
形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x，根据平行四边形的面积公式
即可列出方程求解．
解答：解：设AC交A′B′于H，
∵∠A=45°，∠D=90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x
∴x•（12﹣x）=32
∴x=4或8，
即AA′=4或8cm．
故答案为：4或8．
点评：考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的
特点，利用方程方法解题．21．（3分）（2014•济南）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，
反比例函数y=在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2=12，则k的值为 6 ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；平方差公式；等腰直角三角形．
专题：计算题．
分析：设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA= AC，AB= AD，
OC=AC，AD=BD，则OA2﹣AB2=12变形为AC2﹣AD2=6，利用平方差公式得到
（AC+AD）（AC﹣AD）=6，所以（OC+BD）•CD=6，则有a•b=6，根据反比例函数图象上
点的坐标特征易得k=6．
解答：解：设B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA= AC，AB= AD，OC=AC，AD=BD，
∵OA2﹣AB2=12，
∴2AC2﹣2AD2=12，即AC2﹣AD2=6，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）=6，
∴（OC+BD）•CD=6，
∴a•b=6，
∴k=6．
故答案为6．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象
是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
三、解答题（共7小题，共57分）
22．（7分）（2014•济南）（1）化简：（a+3）（a﹣3）+a（4﹣a）
（2）解不等式组： ．
考点：整式的混合运算；解一元一次不等式组．
专题：计算题．
分析：（1）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括
号合并即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解答：解：（1）原式=a2﹣9+4a﹣a2
=4a﹣9；
（2） ，
由①得：x＜4；
由②得：x≥2，
则不等式组的解集为2≤x＜4．点评：此题考查了整式的混合运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题
的关键．
23．（7分）（2014•济南）（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：
EB=EC．
（2）如图2，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．
考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
分析：（1）证明△ABE≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）连接OC，根据三线合一定理即可求得AC的长，然后在直角△OAC中，利用勾股
定理即可求得OA的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
在△ABE和△DCE中， ，
∴△ABE≌△DCE，
∴EB=EC；
（2）解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
又∵∠A=∠B，
∴OA=OB，
∴AC=AB=×16=8，
在直角△AOC中，OA= = =10．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论
证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．（8分）（2014•济南）2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预定了小组赛和淘汰
赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张
700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？
考点：二元一次方程组的应用．
分析：设小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各x张，y张，根据10张球票共5800元，列方程
组求解．
解答：解：设小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各x张，y张，由题意得， ，
解得： ．
答：小李预定的小组赛和淘汰赛的球票各8张，2张．
点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系，列方程组求解．
25．（8分）（2014•济南）在济南开展“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生
利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的
劳动时间，并用得到的数据绘制不完整的统计图表，如图所示：
劳动时间（时） 频数（人数） 频率
0.5 12 0.12
1 30 0.3
1.5 x 0.4
2 18 y
合计 m 1
（1）统计表中的m= 10 0 ，x= 4 0 ，y= 0.1 8 ．
（2）被调查同学劳动时间的中位数是 1. 5 时；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．
考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；加权平均数；中位数．
分析：（1）根据劳动时间是0.5小时的频数是12，所占的频率是0.12，即可求得总人数，即m
的值，然后根据频率公式即可求得x，y的值；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据（1）计算的结果，即可解答；
（4）利用加权平均数公式即可求解．
解答：解：（1）m=12÷0.12=100，x=100×0.4=40，y=18÷100=0.18；
（2）中位数是：1.5小时；
（3）（4）被调查同学的平均劳动时间是： =1.32（小
时）．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26．（9分）（2014•济南）如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2 ，1），射线AB与
反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足
为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于
点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．
考点：反比例函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2 ；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为
（1，2 ），则AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以
∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得
tan∠DAC= ；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2 ，然后在Rt△OAD中利用正切的定
义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的
解析式为y= x﹣1；
（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t， ）（0＜t＜1），由于直线
l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征
得到N点坐标为（t， t﹣1），则MN= ﹣ t+1，根据三角形面积公式得到S =•t（• ﹣ t+1），再进行配方得到S=﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t＜1），最后
△OMN
根据二次函数的最值问题求解．
解答：解：（1）把A（2 ，1）代入y=得k=2 ×1=2 ；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y= 得a=2 ，
∴B点坐标为（1，2 ），
∴AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°= ；
∵AD⊥y轴，
∴OD=1，AD=2 ，
∵tan∠DAC= = ，
∴CD=2，
∴OC=1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2 ，1）、C（0，﹣1）代入得 ，解 ，
∴直线AC的解析式为y= x﹣1；
（3）设M点坐标为（t， ）（0＜t＜1），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，
∴N点的横坐标为t，
∴N点坐标为（t， t﹣1），
∴MN= ﹣（ t﹣1）= ﹣ t+1，
∴S =•t•（ ﹣ t+1）
△OMN
=﹣ t2+t+
=﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t＜1），
∵a=﹣ ＜0，
∴当t= 时，S有最大值，最大值为 ．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法
求一次函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用二次函数的性质解决最值问题．
27．（9分）（2014•济南）如图1，有一组平行线l 1∥l 2∥l 3∥l
4
，正方形ABCD的第四个顶点分别在
l ，l ，l ，l 上，EG过点D且垂直l 于点E，分别交l ，l 于点F ，G ，EF=DG=1，DF=2．
1 2 3 4 1 2 4 1 1
（1）AE= 1 ，正方形ABCD的边长= ；
（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直
线l 上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形A′B′C′D′，使B′，C′分别在直线l ，l 上
3 2 4
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．
考点：几何变换综合题．
分析：（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；
（2）①过点B′作B′M垂直于l
1
于点M，进而得出Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），求出
∠B′AD′与α的数量关系即可；
②首先过点E作ON垂直于l 分别交l ，l 于点O，N，若α=30°，则∠ED′N=60°，可求出
1 1 2
AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．
解答：解：（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DGC中，
，
∴△AED≌△DGC（AAS），
∴AE=GD=1，
又∵DE=1+2=3，
∴正方形ABCD的边长= = ，
故答案为：1， ；
（2）①∠B′AD′=90°﹣α；
理由：过点B′作B′M垂直于l 于点M，
1
在Rt△AED′和Rt△B′MA中，，
∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），
∴∠D′AE+∠B′AM=90°，
∠B′AD′+α=90°，
∴∠B′AD′=90°﹣α；
②过点E作ON垂直于l 分别交l ，l 于点O，N，
1 1 2
若α=30°，则∠ED′N=60°，AE=1，故EO=，EN=，ED′= ，
由勾股定理可知菱形的边长为： = ．
点评：此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形
的判定方法是解题关键．
28．（9分）（2014•济南）如图1，抛物线y=﹣ x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称
轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影 ；
（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN
与AP相交于点N，设OM=t，试探究：
①t为何值时△MAN为等腰三角形；
②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．
考点：二次函数综合题．
分析：
（1）设平移后抛物线的解析式y=﹣ x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可
求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；
（2）作NQ垂直于x轴于点Q．
①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰
三角形时t的值；
②方法一：作PN的中点E，连接EM，则EM=PE=PN，当EM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，此时t=3，PN取最小值为 ．
方法二：由MN所在直线方程为y= ，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得
x 的最小值为6，此时t=3，PN取最小值为 ．
N
解答：
解：（1）设平移后抛物线的解析式y=﹣ x2+bx，
将点A（8，0）代入，得y=﹣ ，
顶点B（4，3），
S阴影=OC×CB=12．
（2）直线AB的解析式为y=﹣x+6，
作NQ垂直于x轴于点Q
①当MN=AN时，N点的横坐标为 ，纵坐标为 ，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知 ，
= ，
解得t =，t =8（舍去）．
1 2
当AM=AN时，AN=8﹣t，由三角形ANQ和三角形APO相似可知NQ=（8﹣t），
AQ=（8﹣t），MQ= ，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知 得： = ，
解得：t=18（舍去）．
当MN=MA时，∠MNA=∠MAN＜45°，故∠AMN是钝角，显然不成立，故t=．
②方法一：作PN的中点E，连接EM，则EM=PE=PN，
当EM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，
此时t=3，证明如下：
假设t=3时M记为M ，E记为E
0 0
若M不在M 处，即M在M 左侧或右侧，
0 0
若E在E 左侧或者E在E 处，则EM一定大于E M ，而PE却小于PE ，这与EM=PE
0 0 0 0 0
矛盾，
故E在E 右侧，则PE大于PE ，相应PN也会增大，
0 0
故若M不在M 处时PN大于M 处的PN的值，
0 0
故当t=3时，MQ=3，NQ=，根据勾股定理可求出PM= 与MN= ，PN= ．
故当t=3时，PN取最小值为 ．
方法二：由MN所在直线方程为y= ，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，
得点N的横坐标为X = ，即t2﹣x t+36﹣x =0，
N N N
由判别式△=x2 ﹣4（36﹣ ）≥0，得x ≥6或x ≤﹣14，
N N N
又因为0＜x ＜8，
N
所以x 的最小值为6，此时t=3，
N当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为 ．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性
质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综合
性较强，有一定的难度．
