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高中数学 必修一 不等式(三) 绝对值不等式 连不等式 初中数学 初一 七年级
要不然没有动力更新了。
这篇文章打算跟大伙一起探讨绝对值不等式。
在初中数学中，咱们已经学习过不等式。
高中的绝对值不等式，只是在初中的基础上再往前迈出了一步。
因此，只要是初中数学中的不等式学得比较扎实的初中生，
也能掌握好绝对值不等式。
先回顾绝对值的概念。
当 a ≥ 0 时，| a | = a .
当 a ＜ 0 时，| a | = -a .
因此，在绝对值不等式中，
咱们可以把 | a | 里的 a 替换为整式或分式。
先让咱们来看一个绝对值不等式。
| x-3 | < 11 ,
这个绝对值不等式可理解为，
±(x-3) < 11—— +(x-3) < 11 与 -(x-3) < 11 .
若令 | x-3 | = | a | ,
| a | < 11 在数轴上的解集可用下图来表示。
咱们可以发现， 在数轴上重叠的部分是 | a | <11 的解集，
解集是这个不等式的交集。
因此， -11 < a < 11 ,
| a | < 11 的解集为 (-11,11) .
再让咱们继续展开。
先从 +(x-3) < 11开始。
去括号。
在不等式两边同时加3.
然后是 -(x-3) < 11 .
去括号。
在不等式两边同时减去3.
在不等式两边同时除以-1.
除以负数，将会改变不等号的方向。
因为，x > -8，且 x < 14，
因此 -8 < x < 14 .
让咱们在数轴上把它的解集画出来。
再让咱们从另外一个视角来观察。
在图一中，
已经提到 | a | < 11 在数轴上的解集为 -11 < a < 11 .
咱们把 | a | 替换回 | x-3 | , 即 | x-3 | < 11 .
再把不等式展开。
因此， -11 < x-3 < 11 .
这样的形式称为 连不等式，它分为左、中、右三部分。
对连不等式进行加、减运算，不会改变不等号的方向。
只有乘以或除以负数，才会改变不等号的方向。
在连不等式的各部分都加上3.
还有另外一种视角。
显然，用连不等式进行运算会比较方便。
现在咱们改变 | x-3 | < 11 的不等号的方向为—— | x-3 | > 11 .
| x-3 | > 11 可理解为，
±(x-3) > 11 .
即 +(x-3) > 11 与 -(x-3) > 11 .
若令 | x-3 | = | a | ,
| a | > 11 在数轴上的解集可用下图来表示。
图三
可以发现 | a | > 11在数轴上，并没有重叠。
无重叠的两部分，解集是它们的并集。
先对 +(x-3) > 11 进行展开。
去括号。
在不等式两边同时加上3.
然后是 -(x-3) > 11 .
去括号。
不等式两边同时减3.
不等式两边同时除以-1，
记得改变不等号的方向。
不等号的方向不同，导致解法不同。
当b>0时， | a | < b 可化成连不等式 -b < a < b ，
其解集为(-b,b) .
（请大伙自行推导一遍，在这个不等式中，为什么令b>0）
同理，当b≥0时， | a | ≤ b 可化成连不等式 -b ≤ a ≤ b ，
其解集为[-b,b] .
（请大伙自行推导一遍，在这个不等式中，为什么令b≥0）
不等号由< 改为 ≤ ，该等量关系同样成立。
当b>0时， | a | > b 等价于 a < -b 或 a > b ，
其解集为 (-∞,-b) ∪ (b,+∞) .
请大伙务必拿出笔和纸自行推导，
并对不等式做出各种更改，
再进行解题。
以加深理解。
因为我没有念过高中，
高中数学都是我自学的，
所以我也知道我的解题过程，
肯定有书写得不规范、疏漏之处。
还望大伙不吝指正。
因为各种各样的事情比较多，
目前我没有太多时间和精力自学高中数学。
所以，关于高中数学的文章会比较少，更新得也非常慢。
而且在我把整个高中数学完全掌握前，
现在所写的文章，
必然跟之后有关联的知识点、概念，无法产生连结。
也就是说，这样的文章是阶段性的，不完整的。
或许以后有了新的理解，届时再写出来跟大伙分享吧。
好了，打完，收工。
《高中数学 初中数学 不等式（二）直径为a的圆桶能否完全覆盖周长为2a的平行四边形模型？》
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