高中数学—9.1随机抽样(必修二)

我今天试讲的题目是《总体与个体、全面调查》，下面开始我的试讲。 

上课，同学们好，请坐。

同学们，大家想一想，我们国家要制定国民经济、社会发展的相关政策，需要哪些参考依据呢？

没错，像人口数量这样的数据就十分重要。准确掌握全国人口的数据，可以帮助我们科学制定各类方针政策。在二零二零年，我国开展了第七次全国人口普查，今天我们就借助人口普查这个实例，来学习统计当中的一组重要概念。

大家请看大屏幕上的材料。

这次人口普查，是对全国人口普遍地、逐户逐人地进行一次性调查登记。

那大家思考，这次调查当中，我们的调查对象是谁呢？第一排同学你来。 

回答很好，请坐，调查对象就是居民。

那我们调查居民的哪些内容？

对，居民的姓名、性别、年龄、民族、受教育程度等等。这里的性别、年龄、民族、受教育程度，这些就是我们要调查的指标。 

大家观察，不同居民，年龄不一样，性别不一样，受教育程度也不一样，指标的值是会发生变化的，所以我们也常常把指标称为变量。

那什么叫做全面调查呢？

大家看，人口普查，我们对每一个调查对象都进行调查，像这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，就叫做全面调查，也叫作普查。

接下来我们学习两个核心名词，总体与个体。

大家阅读课本找一找，什么是总体，什么是个体？靠窗这位同学，你来说。 

很不错，请坐。

在一次调查当中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象，称为个体。

放到人口普查的例子，全体居民就是总体，每一位居民就是个体。

这里有一个大家容易忽略的点，课本还做了补充说明。

为了强调调查目的，我们也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，把每一个调查对象相应的指标作为个体。

举个例子，如果我们研究全国居民的年龄，那么全体居民的年龄构成总体，每一位居民的年龄就是个体。

大家要区分清楚，调查对象和调查的指标，二者不能混淆。

老师再来考考大家。在第七次人口普查当中，如果我们研究民族这个变量，总体是什么？

对，全体居民的民族；个体就是每一位居民的民族。大家一定要灵活理解总体和个体。

好了，新知识学完了，哪位同学帮我们梳理今天学习的概念？最后一排这位同学，请你来说。 

总结的很不错，请坐。

这节课我们通过第七次人口普查，认识了调查对象、指标也就是变量；学习了全面调查也叫普查，就是对每一个调查对象都调查；还学习总体是调查对象的全体，个体是每一个调查对象；同时总体也可以是某些指标的全体。统计概念一定要结合实例去理解。

课后作业：把今天学习的概念整理到笔记本；自己举出一个生活当中普查的例子，写出对应的总体与个体。 

本节课到此结束，下课。

总体与个体、全面调查

实例：第七次人口普查（2020 年） 

调查对象：居民 

调查指标（变量）：性别、年龄、民族、受教育程度

补充： 

也可将【指标的全体】作为总体，每一个调查对象的对应指标作为个体。

举例：人口普查 

总体：全体居民 

个体：每一位居民

我今天试讲的题目是《抽样调查》，下面开始我的试讲。

上课，同学们好，请坐。

上节课我们学习了全面调查，也就是普查，就像第七次全国人口普查，可以把所有调查对象全部调查一遍。

大家想一想，人口普查要耗费巨大的财力物力，能不能年年开展普查呢？

这位靠窗同学，你来说。 

说得非常好，请坐。

普查成本太高，不适合经常进行。可是国家又需要及时掌握全国人口的变动状况，那我们有什么别的办法吗？

这就是今天我们要学习的抽样调查。

大家看课本，我国每年都会开展人口变动情况调查，它不会调查全部居民，而是抽取一部分居民做调查，再用这一部分居民的情况，去推断全国总体人口变动情况。 

那什么叫做抽样调查呢？请大家齐读课本定义。

根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据，对总体的情况作出估计和推断，这样的调查方法就叫做抽样调查。

这里又出现了一组新名词。从总体抽取出来的那一部分个体，我们称之为样本。

样本里面包含的个体数目，叫做样本容量，也简称样本量。

大家要注意，样本容量只是数字，是个数，是不带单位的。

我们调查样本得到的变量值，叫做样本的观测数据，简称样本数据。 

我来考考大家，人口变动调查当中，被抽取到的这一部分居民是什么？

第一排同学你来。 

很好，请坐，被抽取的一部分居民就是样本；抽取了多少位居民，这个数字就是样本容量。

那对比我们之前学习的全面调查，抽样调查有什么样的优点呢？大家思考一下。

来，中间这位同学。 

回答很不错，请坐。

因为抽样调查只抽取一部分个体，所以它花费少、效率高。

当总体规模很大，经费、时间有限的时候，抽样调查就非常合适。

还有一类场景，抽样调查有着不可替代的作用。

大家想一想，如果我们要检测一批灯泡的使用寿命，把每一个灯泡全部用到烧坏才测寿命，这批灯泡是不是就全部报废了？

像这种检测会破坏产品，我们叫做毁损性检测。

课本还举了例子，检测一批种子的发芽率，检测袋装牛奶细菌数是否超标，这些都具备毁损性。

如果做全面调查，全部产品都会被破坏，那就失去意义，这种时候，就只能使用抽样调查。

那我们简单梳理：经费充足、总体不大、不具备破坏性，可以选全面调查；总体庞大、经费时间有限，或者检测带有毁损性，就要选用抽样调查。

好了，新知识学完了，哪位同学帮我们总结今天学习的内容？最后一排这位同学，请你来说。 

总结得很完整，请坐。

今天我们学习了抽样调查，从总体抽取部分个体，用样本推断总体；认识了样本、样本容量、样本数据；知道抽样调查花费少效率高；尤其记住，具有毁损性的检测，只能用抽样调查，同时我们也对比了抽样调查和全面调查的适用场景。

课后作业：整理本节课的概念；举出两个生活中适合抽样调查的例子，并说明理由。 

本节课到此结束，下课。

抽样调查

1、抽样调查：

 从总体抽取一部分个体调查，以此估计、推断总体。

2、相关概念

3、抽样调查特点 

花费少、效率高；适合总体规模大，时间经费有限

4、只能抽样调查：毁损性检测

例：灯泡寿命、种子发芽率、牛奶细菌数

对比 

全面调查（普查）：调查全部个体，成本高 

抽样调查：调查部分个体，推断总体

我今天试讲的题目是《简单随机抽样》，下面开始我的试讲。 

上课，同学们好，请坐。

上节课我们学习了抽样调查，我们从总体当中抽取一部分个体作为样本，依靠样本的数据推断总体情况。

那大家思考，我们要想让样本能够很好代表总体，抽样的时候最重要要保证什么呢？靠窗这位同学，你来说。 

说得很好，请坐，抽样一定要保证公平，每一个个体被抽到的机会要一样。

那怎样做到公平抽样，这就是今天我们学习的简单随机抽样。

大家请看大屏幕。

一般地，假设一个总体含有 N 个个体，N 是正整数，我们要从中抽取 n 个个体作为样本，这里 n 大于等于一，并且 n 小于 N。

这里有两种抽样方式。 

第一种，放回简单随机抽样。它是逐个抽取 n 个个体，抽取之后是放回去的，并且每一次抽取的时候，总体内部的每一个个体，被抽到的概率全部相等。抽取完一个个体，把它放回总体，之后继续抽，这个个体还有机会再次被抽中，这就是放回简单随机抽样。

那什么是不放回简单随机抽样呢？第一排同学你来读一读对应的定义。 

很好，请坐。

抽取的时候不放回，每一次抽取，总体里面还没有进入样本的各个个体，被抽到的概率相等。抽走一个，这个个体就不再放回总体，不会重复被抽到，这就是不放回简单随机抽样。

大家注意，放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，这两类，我们统称为简单随机抽样。通过简单随机抽样得到的样本，叫做简单随机样本。 

这里课本还给我们补充了一个重要知识点。对于不放回抽样，从总体当中，逐个不放回地随机抽取 n 个个体作为样本，和一次性批量随机抽取 n 个个体作为样本，这两种方法是等价的。

也就是说，不管我们一个一个拿出来，还是一次性拿出来，最终得到的样本效果是一样的。

那我们来对比一下两种抽样。

放回抽样，个体有可能被重复抽取；不放回抽样，每个个体最多只能出现一次。

但是它们有一个共同点，就是抽样的时候，个体被抽到的概率相等，保证抽样公平，这也是简单随机抽样的核心。 

老师考考大家，如果总体有十个人，我们抽取两个人做样本，采用不放回简单随机抽样，一次性取出两个人，和先后逐个取出两个人，效果一样吗？

没错，是等价的。

好了，新知识学习完毕，哪位同学来梳理本节课学到的内容？最后一排这位同学，请你来说。 

总结的很不错，请坐。

今天我们学习了放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，知道二者合起来叫简单随机抽样，对应的样本是简单随机样本；抓住核心就是抽样过程个体被抽到概率相等；同时记住，不放回抽样中逐个抽取与一次性批量抽取是等价的。

课后作业，整理本节课全部概念；想一想，生活当中哪些场景适合放回简单随机抽样，哪些适合不放回简单随机抽样。 

本节课到此结束，下课。

简单随机抽样

前提：总体 N 个个体，抽取 n 个样本，1≤ n<N

1、放回简单随机抽样 

逐个抽取，抽取后放回；每次抽取，总体各个个体被抽到概率相等。

2、不放回简单随机抽样 

逐个抽取，抽取后不放回；未入样的个体被抽到概率相等。

统称：简单随机抽样 

得到样本：简单随机样本

补充： 

不放回抽样： 

逐个不放回抽取 n 个个体 ⇔ 一次性批量抽取 n 个个体，二者等价

核心：个体被抽到的概率相等，保证抽样公平

区分：放回可重复抽到个体；不放回不重复抽取个体

我今天试讲的题目是《简单随机抽样的方法》，下面开始我的试讲。 

上课，同学们好，请坐。

上节课我们学习了什么叫做简单随机抽样，知道抽样要保证公平。

那老师带来一个现实的问题，有家家具厂，要给树人中学高一同学制作课桌椅，高一总共有七百一十二名学生，想要通过简单随机抽样，调查全体高一学生平均身高，那我们具体该怎么抽取样本呢？

这就是我们今天要学习的内容。

大家先来思考，如果用抽签法完成抽样，我们该做哪些操作？

第一排同学你来说一说你的想法。 

很好，请坐。

这位同学说到要先给学生编上号码。

我们第一步，先给七百一十二名学生编号，可以编为一到七百一十二。 

接下来，我们把全部编号写在外观质地没有差别的小纸片上，当做号签，全部放进不透明盒子里面，充分搅拌均匀。

之后，从盒子当中不放回地逐个抽取号签，和号签编号对应的学生就进入我们的样本，一直抽到满足样本需要的人数就可以。这就是抽签法完整步骤。

大家想一想，为什么一定要编号？直接拿学生的学号当做编号行不行？

靠窗这位同学，你来说。 

说得非常到位，请坐。

编号的目的是统一格式，方便抽取，学号当然可以拿来直接作为编号。 

那抽签法有什么长处和短处呢？最后一排这位男生。 

没错，请坐。

抽签法简单，很好操作。

可是，如果总体里面个体数量很大，做号签、搅拌号签就会十分麻烦。所以抽签法适合总体个体数目不多的情况。

那总体数目比较大的时候，我们还有另外一种办法，叫做随机数法。

我们依旧以七百一十二名同学为例。

第一步同样给学生进行编号一到七百一十二。接着我们要生成一到七百一十二这个范围里面的整数随机数，抽中随机数对应的编号，对应的学生就进入样本。 

这里要注意，如果生成的随机数出现重复，同一个编号被多次抽中，我们要剔除重复编号，重新产生随机数，直到得到足够多不一样的编号。

那随机数可以怎么得到呢？

大家看大屏幕。

第一种，可以做随机试验，准备十个一模一样的小球，写上数字零到九，放回摸取三次，得到百位十位个位，组成三位随机数，落在一到七百一十二就保留，不在这个范围就舍弃。 

第二种，借助信息技术。计算器、电子表格软件，还有 R 统计软件，都可以直接生成指定范围随机数。信息技术工具最大优点就是方便、快捷。 

大家对比抽签法和随机数法，二者各有什么优缺点？

中间第三排同学，你来谈谈。 

回答很有见解，请坐。

抽签法适合小总体，操作手工完成；随机数法适合总体较大，借助计算机工具效率更高。

学到这里，老师有一个思考问题抛给大家：做简单随机抽样的时候，样本量是不是越大就越好？

给大家一点时间思考，哪位同学愿意分享？举手最高的这位同学，你来。 

很不错，请坐。

这位同学考虑到两个角度。样本量越大，样本里面数据比例接近总体的可能性就越大，样本代表性会更好。

但是现实当中，样本量变大，调查耗费的人力、费用还有时间也都会增加。 

所以，样本量要结合实际问题的需要去选择，不一定越大越好。补充一点，如果样本量和总体数量一样大，那这就变成全面调查了。

好了，新知识学完。谁来帮我们梳理本节课学到的全部内容？

来，第二排这位女生。 

总结很完整，请坐。

今天学习了简单随机抽样两种实施方法：抽签法、随机数法，掌握各自操作步骤和适用情形，同时我们明白了样本量不是越大越好，需要兼顾代表性和现实成本。

课后作业，整理抽签法、随机数法的操作步骤；找一个生活当中调查的例子，想一想分别如何用两种方法抽样。 

本节课到此结束，下课。

简单随机抽样的方法

步骤： 

①编号（1～712，学号可用） 

②制作号签 

③充分搅拌 

④不放回逐个抽取，得到样本

特点：简单易行；适合总体个体数不多

总体大时操作麻烦

2. 随机数法

步骤： 

①编号 

②生成 1～712 随机数 

③剔除重复编号，凑够样本数量

获取随机数途径： 

1）小球随机试验 

2）计算器、电子表格 

3）R 统计软件 

优点：方便快捷

思考：样本量越大越好？ 

样本量大：代表性更好 

但是：人力、时间、费用成本增加 

→按实际需求选择，并非越大越好

样本量 = 总体：就是全面调查

对比：抽签法适合小总体；随机数法适合大总体

我今天试讲的题目是《总体均值与样本均值》，下面开始我的试讲。 

上课，同学们好，请坐。

上一节课，我们用简单随机抽样，从树人中学高一年级七百一十二名同学当中，抽取了容量为五十的样本，拿到这五十位同学身高数据。

那拿到这些样本数据之后，我们要怎么去估计全年级同学的平均身高呢？

这就是我们这节课要解决的问题。

大家看屏幕上这五十个身高数据。

我们把这五十个同学身高全部相加，再除以五十，算出来样本的平均数是一百六十四点三厘米。于是我们就用一百六十四点三厘米，来估计树人中学高一年级全体学生的平均身高。

像这样，对于抽取出来容量为 n 的样本，变量值依次是 y₁，y₂一直到 y 下标 n。我们把 y 拔，等于 n 分之一乘以，从 i 等于 1 到 n 求和 y 下标 i，叫做样本均值，也叫样本平均数。

这里这个大写希腊字母 Σ，读作 sigma，它是求和符号，代表把后面这些数全部相加。

大家注意，很多科学计算器，输入数据就可以直接算出平均数。

那有样本均值，对应就有总体均值。

如果总体一共有 N 个个体，变量值是 Y₁，Y₂一直到 Y 下标 N。那么总体均值 Y 拔，就等于 N 分之一乘以，从 i 等于 1 到 N 求和 Y 下标 i。如果总体里面有些数据重复出现，总体均值还能写成加权平均数的形式。 

在简单随机抽样里面，我们最核心的思想，就是拿样本均值，去估计总体均值。

讲到这里老师带来一个探究问题。树人中学全体高一学生真实平均身高是一百六十五点零厘米。

小明做了这样一组试验：他分别抽取样本量为五十和一百的样本各十组，分别算出每一组样本的平均数。大家观察表格，第一排同学你来分享，你从表格里面看到什么现象？ 

很好，请坐。

这位同学观察到，同样是抽样，不同样本算出来的平均数并不完全一样。

为什么会出现这种情况呢？靠窗的同学，你来说。 

说得非常关键，请坐。

因为抽样是随机的，所以样本平均数本身带有随机性。不管样本量是五十还是一百，每一次抽出来样本不同，得到平均数就不一样。但是总体均值，它是一个确定不变的数。

我们再来看屏幕这张散点图，图里面红线就是真实的总体平均数一百六十五点零厘米。大家对比样本量五十和样本量一百这两组数据。中间第三排这位同学，说说两组数据波动有什么区别？ 

回答得很不错，请坐。

我们能够看到，大部分样本平均数，都在总体平均数附近来回波动。样本量是一百的时候，数据波动幅度明显比样本量五十要小。 

这就验证了我们之前得到结论：样本量越大，样本平均数估计总体的效果就越好。当然也会有少数样本，和真实总体均值差距稍大。

好了新知识学完，谁来帮我们梳理本节课收获？来，第二排这位女生。 

总结得很完整，请坐。

今天我们学习样本均值、总体均值的概念和计算公式；知道统计当中用样本均值估计总体均值；理解样本平均数具有随机性；样本量越大，估计效果越好。

课后作业，请大家抄写总体均值、样本均值的公式；课后思考，样本均值是否一定等于总体均值，写下你的理由。 

本节课到此结束，下课。

总体均值与样本均值

实例：高一 712 名学生，样本容量 50 

样本均值 164.3，估计总体平均身高

我今天试讲的题目是《用样本估计总体比例》，下面开始我的试讲。 

上课，同学们好，请坐。

上一节课我们学习了总体均值和样本均值，我们可以用样本均值来估计总体的均值。

但现实当中，我们不光关心平均数，还经常关心某一类个体占总体的比例。

比如说产品当中合格品占多少，人群当中赞同某项政策的占多少。 

老师带来校园当中的真实情境，树人中学一共有两千一百七十四名学生，学校想了解全校视力不低于 5 点 0 的学生所占比例，如果采用简单随机抽样，我们该怎么做呢？这就是今天我们要共同研究的内容。

我们看这个问题，全校学生构成总体，每一位学生是个体，考察变量是学生视力。

视力是两种结果：不低于 5 点 0，或是低于 5 点 0。那我们怎么把这种分类的信息变成可以计算的数字呢？

第一排同学你来谈谈你的想法。 

思路很不错，请坐。

我们可以做编码处理：把视力不低于 5 点 0 记作数字 1，视力低于 5 点 0 记作数字 0。这样每一位同学就对应取值 1 或者 0。

那大家想一想，总体当中视力不低于 5 点 0 的学生所占比例 P 该怎么表示？靠窗这位同学，你来说。 

很好，请坐。

全部两千一百七十四个学生的变量相加，得到视力合格的总人数，再除以两千一百七十四。大家看，这个式子正好就是我们之前学的总体均值 Y 拔。 

也就是说，总体比例 P，本质就是这一组 0‑1 变量的总体均值。

同理，我们抽取容量为 n 的简单随机样本，把样本的变量记为 y₁、y₂一直到 y 下标 n。

样本当中视力不低于 5 点 0 的比例 p，就等于样本数据求和除以 n，这正好就是样本均值 y 拔。 

所以，我们就可以用样本的比例 p，也就是样本均值 y 拔，去估计总体的比例 P。

屏幕这里给出一组容量为五十的简单随机样本，全部由 0 和 1 组成。

我们统计计算，得到样本均值 y 拔等于零点五四。

据此，我们就估计树人中学全体学生当中，视力不低于 5 点 0 的比例大约是零点五四。

到这里，我们已经完整学习了简单随机抽样。

那大家思考，简单随机抽样有哪些长处，又存在什么不足呢？中间第三排这位同学，你来分享。 

分析得很全面，请坐。

简单随机抽样优点十分突出：方法简单、直观，借助样本平均数去估计总体平均数，操作方便，它也是我们后续其他抽样方法的基础。 

但是它也有明显局限。当总体数量非常庞大，给全部个体编号会十分麻烦；抽出来的样本个体往往很分散，实地开展调查难度大；同时它没有利用其他辅助信息，估计效率不算很高。

所以在大规模调查当中，很少单独直接使用简单随机抽样，一般会把它和其他抽样方法组合起来使用。

好了，新知识学完。谁来帮我们梳理本节课主要内容？来，第二排这位女生。 

总结条理很清晰，请坐。

今天我们学习了把分类问题做 0‑1 数字化编码；总体比例就是 0‑1 变量的总体均值，样本比例就是 0‑1 变量样本均值，用样本比例估计总体比例；同时客观认识简单随机抽样的优点与局限性。

课后作业，请大家梳理总体比例与样本比例的关系；找一个生活实例，说一说如何用简单随机抽样估计某一类个体的总体比例。 

本节课到此结束，下课。

用样本估计总体比例

实例：全校 2174 名学生，估计视力≥5.0 占比 

编码：视力不低于 5.0 → 1 

视力低于 5.0 → 0

样本比例 = 0‑1 变量的样本均值

统计思想：用样本比例 p 估计 总体比例 P

优点：简单直观，估计方便；是其他抽样方法基础 

局限性： 

①总体大时，编号费事 

②样本个体分散，调查实施困难 

③未利用辅助信息，估计效率不高 

大规模调查：常与其他抽样方法组合使用

我今天试讲的题目是《分层随机抽样》，下面开始我的试讲。 

上课，同学们好，请坐。

上节课我们学习了简单随机抽样，但是简单随机抽样有不足，有可能出现很极端的样本。

就拿树人中学高一年级七百一十二名同学举例，男生有三百二十六名，女生有三百八十六名。

如果简单随机抽样，有可能抽到样本里面几乎全是男生，或者几乎全是女生，这样对平均身高的估计就会出现很大偏差。 

那我们能不能利用性别这个辅助信息，改进抽样，减少极端样本，提高估计效果？

今天我们就来学习分层随机抽样。

大家思考，男生普遍身高高于女生，同一性别内部，身高的差异反而比较小。那我们可以怎么做来规避极端样本？

第一排同学你来谈谈你的想法。 

想法非常好，请坐。

这位同学提出，我们可以按照性别，把全体学生分成男生、女生两个群体。

我们把划分出来的每一个子总体，叫做一层。男生是一层，女生是一层，分别在男生层、女生层当中做简单随机抽样，最后把抽出来样本合在一起，作为总样本。 

这样两层都能抽到个体，就可以有效避免全部抽到男生或者全部抽到女生这种极端样本。

那新的问题来了，思考一下，男生、女生这两层，样本数量要怎么分配才合理呢？

靠窗这位同学，你来说。 

说得很有道理，请坐。

总体当中哪一层人数多，这一层就应该多抽取样本；人数少的层就少抽取样本。

按照每一层在总体当中所占的比例分配样本量，就是很合理的方案，这种分配叫做比例分配。

我们把这个思路写成公式：

某一层的样本量，等于这一层的个体数除以全部总体个体数，再乘总样本量。 

现在我们设定总样本量等于五十，我们一起来算一算。男生层样本量，等于七百一十二分之三百二十六，乘以五十，大约等于二十三；女生层样本量，等于七百一十二分之三百八十六，乘以五十，大约等于二十七。

在比例分配的方式之下，每一名学生被抽中的概率都是相等的。

屏幕给出我们按比例分配抽出来容量五十的样本数据。

我们算出男生这一层样本平均数是一百七十点六，女生层样本平均数是一百六十点六。

注意，估计总体平均数的时候，不能直接把两个层的样本平均数简单求平均，要拿两层样本平均数，分别乘上男、女生真实总人数，相加之后再除以总体七百一十二。计算得到估计值大约一百六十五点二厘米。

现在我们来归纳分层随机抽样完整定义。按照一个或者多个变量，把总体划分成若干个子总体，每个个体属于并且仅属于其中一层；在每一层内部独立开展简单随机抽样，把各层抽取样本合并，得到总样本，这样的抽样方法就是分层随机抽样。

当每层样本量和层本身大小成比例，就叫比例分配。

好了新知识学完，谁帮我们梳理本节课学到的要点？来，第二排这位女生。 

总结很完整，请坐。

今天我们学习分层随机抽样，把总体划分为不同的层，每层独立简单随机抽样；学习比例分配的计算；分层抽样可以减少极端样本，优化估计效果；分层估计总体均值需要用层的真实人数做加权计算。

课后作业，请大家整理分层随机抽样定义、比例分配公式；举一个现实当中适合分层随机抽样的实例。 

本节课到此结束，下课。

分层随机抽样

实例：高一 712 人，男生 326，女生 386，总样本量 50

问题：简单随机抽样可能出现极端样本

层：按某些变量划分互不重叠子总体

男生为一层，女生为一层

每层独立简单随机抽样，合并为总样本

优点：减少极端样本，提升估计效果

分层随机抽样定义：

按变量划分若干层，每层独立简单随机抽样，合并得到总样本。

我今天试讲的题目是《分层随机抽样的均值与估计效果》，下面开始我的试讲。 

上课，同学们好，请坐。

上一节课我们学习分层随机抽样和比例分配，我们用男女生两层的例子计算过总体平均身高。

那推广到一般情况，如果总体分成两层，我们该怎样用两层的样本，估计整个总体的平均数？

这节课我们继续研究分层随机抽样的均值计算，以及它的估计效果。

我们设总体分为两层，第一层个体总数是 M，抽取样本量 m；第二层个体总数 N，抽取样本量 n。

我们可以分别算出第一层的样本平均数 x 拔，第二层的样本平均数 y 拔。

那大家思考，能不能直接把 x 拔和 y 拔求算术平均当作总体平均数？第一排同学你来谈谈你的想法。 

说得很好，请坐。

不能直接简单平均，两层总体个体数目不一样，要拿两层真实个体数量做权重。 

所以我们估计总体平均数的公式，就是 M 乘以 x 拔，加上 N 乘以 y 拔，再除以 M 加 N。这个就是分层随机抽样估计总体均值的加权公式。

那如果是我们上节课学的比例分配，会发生什么呢？

比例分配满足，m 比 M 等于 n 比 N。我们代入公式推导就会发现，这个加权结果，正好等于全部样本合在一起算出来的总样本平均数 w 拔。 

也就是说，在比例分配的分层随机抽样当中，我们可以直接用总样本平均数去估计总体平均数，不用再额外加权计算，这给我们计算带来方便。

接下来我们来做探究试验。小明用比例分配的分层随机抽样，抽取十个容量为五十的样本，算出每一组样本平均数。

屏幕上表格给出了试验数据，还有对比图像，红线代表真实的总体平均数。大家观察图像，对比简单随机抽样和分层随机抽样。靠窗这位同学，说说你观察到什么现象？ 

观察很仔细，请坐。

我们看到，简单随机抽样会出现偏离很大的极端样本，而分层随机抽样没有出现极端样本，样本平均数波动更加均匀。

那是不是分层随机抽样一定处处更好？大家注意，想要分层抽样效果好，分层变量要选合适，做到层和层之间差异明显，每一层内部差异比较小，这种情况下分层抽样效果优于简单随机抽样。分层抽样还有一个好处，除了估计总体，我们还可以单独得到每一层的估计结果。

当然现实统计调查，不能只看样本代表性，还要考虑人力、物力、时间。

所以实际工作经常把多种抽样方法组合使用，某一层内部，还可以继续分层，或者使用别的抽样方法。 

大家课后可以想一想，如果要调查一个地区电视节目的收视率，结合城市、乡镇、村庄，该怎样设计抽样方案。

好了，本节课的新知识到这里。谁来梳理本节课主要收获？来，第二排这位女生。 

总结很到位，请坐。

今天我们学习两层分层抽样总体均值的加权估计公式；知道比例分配下，直接用总样本平均数就可以估计总体；通过试验看到分层抽样可以避免极端样本，理解分层抽样的适用条件，现实中抽样方法常常组合使用。

课后作业，请大家整理分层随机抽样均值相关公式；课后思考电视节目收视率的分层抽样设计思路。 

本节课到此结束，下课。

分层随机抽样的均值与估计效果

两层：

第一层总数M，样本量m

第二层总数N，样本量n

2. 比例分配时

常多种抽样方法组合；层内可再分层或使用其他抽样。 

思考：地区电视节目收视率抽样方案。

我今天试讲的题目是《获取数据的途径》，下面开始我的试讲。 

上课，同学们好，请坐。

前面几节课，我们学习了简单随机抽样、分层随机抽样。

统计是依靠收集数据、分析数据来认识世界的。大家想一想，抽样是拿到数据的唯一办法吗？

还有哪些办法可以拿到我们需要的数据？

今天我们一起来学习获取数据的途径。

请大家阅读课本，找一找，书上一共给我们介绍了几大类获取数据的途径。

第一排同学你来，说说你的发现。 

很好，请坐。

找到了四种途径，分别是调查、试验、观察、查询。我们一个一个来学习。

第一种，通过调查获取数据。这种途径，一般处理有限总体。

比如说统计人口总数，调查高中生近视比例，检查产品合格率。手段分为普查和抽样调查。

我们已经学习简单随机抽样、分层随机抽样，除此之外，还有系统抽样、整群抽样等许许多多抽样方法。

在实际使用的时候，要结合背景信息选合适抽样方法，同时避免人为带来的错误。

那如果我们要检验一款新药有没有效果，培育小麦新品种能不能增产，这种情况，过去没有现成的数据，调查就行不通了，我们该怎么办？靠窗这位同学，你来说。 

思路很不错，请坐。

这就要用到第二种途径，通过试验获取数据。像新药、农作物新品种、材料配方，我们要做对比试验拿到观测数据。做试验的时候，我们要严格控制环境，精心安排，这门学问叫做试验设计。

那大家思考，地震、降水、大气污染，这些自然现象，我们既不能做普查抽样，也不能人为做试验，那怎么拿到数据？

来，第二排男生，你说一说。 

说得非常到位，请坐。

这类不受人类控制的自然现象，我们只能依靠长期持续观察获取数据。

借助专业仪器设备记录现象，这就是第三种途径，通过观察获取数据。很多大数据，就是这样观察采集得来的。

前面三种，都是我们自己动手去得到一手数据。但很多问题，别人已经做过研究了，我们可以直接拿来使用，这就是第四种途径，通过查询获得数据，这样得到的数据叫做二手数据。 

大家看屏幕上的表格，二零一四年全国交通事故情况，这份数据就来自《中国统计年鉴》，国家统计局会发布公报、年鉴，给我们提供大量二手数据。

现在互联网也成为获取二手数据的主要方式，我们可以登录官方网站查找公开统计资料。但是注意，网络上面的数据来源五花八门，质量高低不一样，拿到之后要做数据清洗，做到去伪存真，才能用来分析。

我们一起来做个小练习。判断几个场景分别用哪一种途径。

研究暴雨对城市的影响；检验新轮胎配方质量；查历年人口数量；调查班级同学睡眠时间。大家可以小声交流。

好了，新知识学完了，谁来帮我们梳理本节课收获？来，第三排这位女生。 

总结的很完整，请坐。

我们今天学习四种获取数据途径：调查适合有限总体；试验适合研发新产品；观察用来研究不可控自然现象；查询用来获取二手数据。

同时特别注意，网络得到二手数据，一定要甄别清洗。

课后作业，完成课后练习；想一想，如果我们想要了解本地高中生每日运动时长，应该选择哪一种途径获取数据。 

本节课到此结束，下课。

获取数据的途径

小结：根据实际问题选择合适途径 

作业：调查本地高中生每日运动时长途径思考