很久没更新了．高联刚刚结束，慢悠悠地出了一份一试的解析．所需知识不超出高中所学，很适合拿来练手．任何疏漏之处或不同解法，欢迎在评论区留言进行交流．

2026 数学高联（A 卷）一试

填空题

第  题

平面向量 ，， 满足 ，，，且 ，则 ．

解析

由 ，知 ，故 ．

第  题

设等差数列  的公差 ．若 ，，， 成等差数列，则实数 ．

解析

由 ，知 ．又 ，知 ．

第  题

在  中，已知 ，，则 ．

解析

由 ，知

第 4 题

对于 ，定义集合 ，并记 ，则使得集合  中完全平方数的个数为奇数的最小正整数 ．

解析

 随着  的增大而增大．当  时， 新增 ；当  时， 新增 ，故  的最小值为 ．

第 5 题

在平面直角坐标系中，双曲线 （）经过两点 ，，两条（不重合的）平行直线  分别经过点 ，且  的右焦点  到直线  的距离等于  到直线  的距离，则  和  之间的距离为．

解析

将  代入 ，可得 ，，故焦点 ．设  中点 ，则 ．而 ，故  和  距离为

第 6 题

若复数  满足 ，则 ．

解析

设 ．比较实部虚部，知

化简得 ，又 ，故 ，．

第 7 题

设  表示不超过实数  的最大整数，定义 ．当  都是不超过  的正整数时， 的最大值为 ．

解析

不妨设 ，（，则

令 ，右式  随  单增．当  时，，，当  时，，，故 ，当 ， 时取等号．

第 8 题

从一个正方体的  条棱中随机选取  条，将它们染成红色，则事件“该正方体的  个面中，至少有一个面恰含  条红色棱”发生的概率是．

解析

考虑反面，即不存在含有  条红棱的面．设一个面最多含有  条红棱．易知 ．若 ，则另外  条红棱不能都放在对面，进而  个邻面不能同时满足条件．若 ，则对面只能含有  条红棱，进而分析可知只有以下情况符合．

改变三棱交汇顶点和手性，共  种．故“至少有一个面恰含  条红色棱”的概率为

解答题

第 9 题

求最小的实数 ，使得存在实数  及正实数 ，满足

解析

，代入消去 ，知

故 ，当且仅当 ， 时取等号．故最小的实数 ．

第 10 题

在一个底面半径为 ，高为  的封闭圆柱体容器（容器壁厚度忽略不计）内部有两个半径为  的铁球，设容器内还有若干个大小相同的小铜球与容器的内表面及上述两个铁球都相切．求小铜球个数的最大可能值．

解析

以小球球心和圆柱中轴所处平面作截面．设小球的半径为 ，则

故 ．

再考虑小球球心所处截面．设小圆对中心所张半角 ，则 ．由 ，，代入知

故小球个数的最大值为

第 11 题

称满足下述条件①和②的实数列 （）是一个 有趣数列：① 对任意 ，都有

② 存在正整数 （），使得  成等比数列，且该等比数列的公比 ．记  为使得 有趣数列存在的最小正整数 ，求  的值，并确定不同的 有趣数列的个数．

解析

，

故

记等比子列为 ，现估计 ．由题意，，，故

故 为有理数列．设 ，（ 与 ， 与  互质）．由 ，知 ，故 ．由 ，知 ，故 ．故

故

即 ．

取等时， 在节点  内单调，且 ，，故  由  唯一确定．而 ，公比 ，首项 ，共有  种情况．

故 ，共有  个 有趣数列．