真题考古队 · 2000年考研数学二选择题

上一期我们把政治的选择题挖到了2006年，今天咱们开个新坑——数学真题考古。从2000年的数学二开始，一道一道挖。

2000年的数学二，选择题共5道，每题3分，合计15分。题量不大，但每一道都很有“考古价值”——它们考察的都是基础概念的理解深度，而不是计算的复杂程度。很多题用“排除法”就能解，但前提是你得真正理解概念。

今天阿研带你一次性挖完这5道选择题。每道题附上答案、解析、知识点定位、以及一句“人话版”总结。

准备好了吗？挖掘机启动。

第1题：设函数 f(x) = a / e^(bx) 在负无穷到正无穷内连续，且当 x 趋近于负无穷时，f(x) 的极限为0，则常数 a、b 满足（　）

A．a > 0，b < 0
B．a > 0，b > 0
C．a ≤ 0，b < 0
D．a ≥ 0，b > 0

✅ 答案：D

📖 解析：

这道题考的是函数的连续性和极限。

第一步，先看连续性。f(x) = a · e^(-bx) 是一个指数函数，指数函数在整个实数范围内都是连续的。所以“连续”这个条件其实不限制 a 和 b 的取值，真正起作用的是极限条件。

第二步，看 x 趋近于负无穷时，a · e^(-bx) 的极限为0。

这里要分情况讨论 b 的符号：

• 如果 b > 0，那么当 x 趋近于负无穷时，-bx 趋近于正无穷，e^(-bx) 趋近于正无穷。要让 a · e^(-bx) 趋近于0，就必须有 a ≤ 0（a=0时极限显然为0）。

• 如果 b < 0，那么当 x 趋近于负无穷时，-bx 趋近于负无穷，e^(-bx) 趋近于0。此时无论 a 取什么值，a · e^(-bx) 都趋近于0，没有限制 a 的作用。

但题目问的是“常数 a、b 满足”什么条件。结合选项来看，题目隐含的意图是考察 b > 0 的情形下 a 的取值。用排除法更快：如果 b < 0，那么 e^(-bx) 在 x 趋近于负无穷时趋于0，极限条件自动满足，这样 a 可以取任意值，题目就没有确定答案了。所以为了题目有唯一解，b 必须大于0，此时 a ≥ 0。

💡 人话版：指数函数本身连续，所以“连续”这个条件不影响答案。关键是极限：要让 x 往负无穷走的时候函数值趋近于0，指数部分必须“往下走”——这就要求 b 是正数。同时系数 a 不能是负数，否则极限会变成负的或者发散。所以选 a ≥ 0，b > 0。

第2题：设函数 f(x) 满足关系式 f''(x) + [f'(x)]² = x，且 f'(0) = 0，则（　）

A．f(0) 是 f(x) 的极大值
B．f(0) 是 f(x) 的极小值
C．点 (0, f(0)) 是曲线 y = f(x) 的拐点
D．f(0) 不是 f(x) 的极值，点 (0, f(0)) 也不是曲线的拐点

✅ 答案：C

📖 解析：

这道题考的是极值和拐点的判定。

已知 f'(0) = 0，说明 x = 0 是函数的驻点。下一步要看 f''(0) 的符号。

把 x = 0 代入关系式：f''(0) + [f'(0)]² = 0。因为 f'(0) = 0，所以 f''(0) + 0 = 0，即 f''(0) = 0。

二阶导数为0，第二充分条件失效了。这时候需要用更高阶的导数来判断。

对关系式两边求导：f'''(x) + 2f'(x)f''(x) = 1。代入 x = 0：f'''(0) + 2 · 0 · 0 = 1，所以 f'''(0) = 1 ≠ 0。

三阶导数不为0，说明 x = 0 两侧的凹凸性发生了改变——这就是拐点的特征。

💡 人话版：f'(0)=0 说明驻点，但 f''(0)=0 又说明“二阶导数为0”，没法直接判断极值。于是我们求三阶导数，发现 f'''(0)=1 ≠ 0——三阶导数不为0，意味着曲线在 x=0 处从凹变凸（或者反过来），所以这是一个拐点。不是极值。

第3题：设 f(x)、g(x) 是恒大于零的可导函数，且 f'(x)g(x) - f(x)g'(x) < 0，则当 a < x < b 时，有（　）

A．f(x)g(b) > f(b)g(x)
B．f(x)g(a) > f(a)g(x)
C．f(x)g(x) > f(b)g(b)
D．f(x)g(x) > f(a)g(a)

✅ 答案：A

📖 解析：

这道题考的是函数的单调性，但需要先构造一个辅助函数。

看到 f'(x)g(x) - f(x)g'(x) < 0，这个结构很像商的导数公式。把不等式两边同时除以 [g(x)]²（因为 g(x) > 0，所以除以它不改变不等号方向）：

[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]² < 0

左边正好是 [f(x)/g(x)]' 的表达式。所以 f(x)/g(x) 是单调递减的。

因为 a < x < b，所以 f(x)/g(x) > f(b)/g(b)。因为 g(x) > 0，g(b) > 0，交叉相乘（不改变不等号方向）得到：f(x)g(b) > f(b)g(x)。

💡 人话版：看到 f'g - fg' 这种结构，第一反应就是“商的导数”。除一下，发现 f/g 在递减。递减函数的特点是“自变量越大，函数值越小”——所以 x < b 时，f(x)/g(x) > f(b)/g(b)。移项整理就是A选项。

第4题：若当 x 趋近于0时，sin6x / x 的极限等于6，则当 x 趋近于0时，sin6x / sinx 的极限等于（　）

A．0
B．6
C．36
D．无穷大

✅ 答案：B

📖 解析：

这道题考的是等价无穷小替换。当 x 趋近于0时，sin6x 等价于 6x，sinx 等价于 x。

所以 sin6x / sinx 的极限 = 6x / x 的极限 = 6。

💡 人话版：x 趋近于0的时候，sin 里面的东西可以直接“拿掉 sin”。sin6x 约等于 6x，sinx 约等于 x。一除，答案就是6。这道题是“送分题”，考的是等价无穷小的基本功。

第5题：具有特解 y₁ = e^(-x)，y₂ = 2xe^(-x)，y₃ = 3e^x 的3阶常系数齐次线性微分方程是（　）

A．y''' - y'' - y' + y = 0
B．y''' + y'' - y' - y = 0
C．y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0
D．y''' - 2y'' - y' + 2y = 0

✅ 答案：B

📖 解析：

这道题考的是特征方程与微分方程的对应关系。

已知三个特解：e^(-x)、2xe^(-x)、3e^x。

从特解的形式可以反推特征根：

• e^(-x) → 特征根 r = -1

• xe^(-x) → 特征根 r = -1 （二重根，因为出现了 x 乘以指数）

• e^x → 特征根 r = 1

所以特征方程有三个根：r₁ = -1（二重），r₂ = 1。

特征方程为：(r + 1)²(r - 1) = 0

展开：(r² + 2r + 1)(r - 1) = r³ - r² + 2r² - 2r + r - 1 = r³ + r² - r - 1 = 0

对应的微分方程是：y''' + y'' - y' - y = 0。

💡 人话版：看到 e^(-x) 和 xe^(-x) 同时出现，说明 -1 是二重特征根（因为多了一个 x 在前面）。看到 e^x 说明还有一个根是1。把根写成特征方程 (r+1)²(r-1)=0，展开，对应回去就是B选项。