2017考研数学二真题公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_2017年考研数学二真题及解析

2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1cos x
 ,x0
（1）若函数 f(x) ax 在x=0连续，则

 b,x0
1 1
(A)ab (B)ab (C)ab0 (D)ab2
2 2
（2）设二阶可到函数 f(x)满足 f(1) f(1)1, f(0)1且 f(x)0，则
1 1
(A) f(x)dx0 (B) f(x)dx0
1 2
0 1 1 1
(C) f(x)dx  f(x)dx (D) f(x)dx  f(x)dx
1 0 1 0
（3）设数列
x
收敛，则
n
(A)当limsinx 0时，limx 0 (B)当limx (x  x )0 时，则limx 0
n n n n n n
n n n n
(C)当lim(x x2)0,lim 0 (D)当lim(x sinx )0时，limx 0
n n n n n n n n n
（4）微分方程 y4y8y e2x(1cos2x) 的特解可设为 yk 
(A)Ae2x e2x(Bcos2xCsin2x) (B)Axe2x e2x(Bcos2xCsin2x)
(C)Ae2x xe2x(Bcos2xCsin2x) (D)Axe2x xe2x(Bcos2xCsin2x)
f(x,y) f(x,y)
（5）设 f(x,y)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有 0, 0,则
x x
(A) f(0,0) f(1,1) (B) f(0,0) f(1,1)
(C) f(0,1) f(1,0) (D) f(0,1) f(1,0)
（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线vv  t  （单位:m/s）
1
虚线表示乙的速度曲线vv  t ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单
2 0
位:s）,则
(A)t 10 (B)15t 20 (C)t 25 (D)t 25
0 0 0 0
0 0 0
 
（7）设A为三阶矩阵，P (,,)为可逆矩阵，使得 P1AP  0 1 0 ，则A(,,)
1 2 3   1 2 3
 0 0 2 (A)  (B) 2 (C)  (D) 2
1 2 2 3 2 3 1 2
2 0 0 2 1 0 1 0 0
     
（8）已知矩阵A 0 2 1 ，B 0 2 0 ，C  0 2 0 ，则
     
 0 0 1   0 0 1   0 0 0 
(A)A与C相似，B与C相似 (B)A与C相似，B与C不相似
(C)A与C不相似，B与C相似 (D)A与C不相似，B与C不相似
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.
 2
（9）曲线 y  x1arcsin 的斜渐近线方程为
 x
x  t et d2y
（10）设函数y  y(x)由参数方程 确定，则
y  sint dx2 t0
 ln(1  x)
（11） dx =
0 1  x2
（12）设函数fx,y 具有一阶连续偏导数，且dfx,y  yeydx x1  yeydy,f0,0  0，则
fx,y
=
1 1 tanx
（13） dy dx 
0 y x
4 1 2 1
   
（14）设矩阵A 

1 2 a

的一个特征向量为

1

，则a 
3 1 1 2
   
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
x
 xtetdt
求lim 0
x0 x3
（16）（本题满分10分）
dy d2y
设函数fu,v 具有2阶连续偏导数，y  f  ex,cosx  ,求 ,
dx dx2
x0 x0
（17）（本题满分10分）
n k  k
求lim  ln

1 

n n2  n 
k1
（18）（本题满分10分）已知函数 y(x)由方程x3  y3 3x3y20确定，求 y(x)的极值
（19）（本题满分10分）
f(x)
f(x)在  0,1  上具有2阶导数， f(1)0,lim 0，证明
设函数
x0 x
（1）方程 f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
（2）方程 f(x)f(x)[f(x)]2 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
（20）（本题满分11分）
已知平面区域D  x,y x2  y2  2y  ，计算二重积分 x 12 dxdy
D
（21）（本题满分11分）
3
设y(x)是区间(0, )内的可导函数，且 y(1)0，点P是曲线L: y  y(x)上的任意一点，L在点P处的切线
2
与 y 轴相交于点(0,Y )，法线与x轴相交于点(X ,0)，若X Y ，求L上点的坐标(x,y)满足的方程。
P P p P
（22）（本题满分11分）
三阶行列式A(,,)有3个不同的特征值，且  2
1 2 3 3 1 2
（1）证明r(A)2
（2）如果  求方程组Axb 的通解
1 2 3
（23）（本题满分11分）
设二次型 f(x ,x ,x )2x2 x2 ax2 2x x 8x x 2x x 在正交变换 xQy 下的标准型为y2 y2
1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1 1 2 2
1 3
求a的值及一个正交矩阵Q.