2019考研数学二真题公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_2019年考研数学二真题及解析

2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的. （1）当x0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k=（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4  （2）曲线y  xsinx2cosx(  x2)的拐点是（ ） 2   3 3 (A)(0,2) (B)(,2) (C)( ， ) (D)( ， ) 2 2 2 2 （3）下列反常积分发散的是（ ） (A)   xexdx (B)  xex2 dx 0 0 arctanx  x (C) dx (D) dx 0 1x2 0 1x2 （4）已知微分方程 yayby cex的通解为 y (C C x)ex ex,则a,b,c依次为（ ） 1 2 (A)1,0,1 (B)1,0,2 (C)2,1,3 (D)2,1,4   （5）已知平面区域D (x,y) x  y  ,记I   x2  y2dxdy,I  sin x2  y2dxdy,  2 1 2 D D I  (1cos x2  y2)dxdy则（ ） 3 D (A)I  I  I (B) I  I  I 3 2 1 2 1 3 (C) I  I  I (D)I  I  I 1 2 3 2 3 1 f(x)g(x) （6）设函数f(x),g(x)的2阶导函数在xa处连续，则lim 0是两条曲线 xa (xa)2 y  f(x),y  g(x)在xa对应的点处相切及曲率相等的（ ） (A) 充分不必要条件 (B)充分必要条件 (C) 必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 （ 7 ） 设 A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax 0的基础解系只有2个向量，则   r A* （ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 （8）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2  A2E,且A 4，则二次型xTAx的规范为 （ ） 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化(A) y2  y2  y2 (B)y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 (C) y2  y2  y2 (D)  y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.  x （9）lim x2x 2  x0 xtsint 3 （10）曲线 在t  对应点处的切线在y轴上的截距为 y 1cost 2 y2 z z （11）设函数f(u)可导，z  yf( ),则2x  y  x x y  （12）曲线y lncosx(0 x )的弧长为 6 xsint2 1 （13）已知函数f(x) x dt,则 f(x)dx  1 t 0  1 1 0 0    2 1 1 1  （14）已知矩阵A  3 2 2 1  ，A ij 表示 A中(i, j)元的代数余子式，则A 11  A 12  .      0 0 3 4  三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） x2x, x0 已知函数f(x) ,求f(x),并求f(x)的极值. xex 1, x0 （16）（本题满分10分） 3x6 求不定积分 dx. (x1)2(x2 x1) 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化（17）（本题满分10分） 1 x2 设函数y(x)是微分方程yxy  e 2满足条件y(1) e的特解. 2 x （1）求y(x);   （2）设平面区域D  (x,y)1 x2,0 y y(x) ,求D绕x轴旋转所得旋转体的体积. （18）（本题满分10分）   x y 已知平面区域D  (x,y) x  y,(x2  y2)3  y4 ,计算二重积分 dxdy. x2  y2 D （19）（本题满分10分） 设n是正整数，记S 为曲线y exsinx(0 xn)与x轴所围图形的面积.求S ,并求limS . n n n n （20）（本题满分11分） 2u 2u u u 已知函数u(x,y)满足2 2 3 3 0,求a,b的值，使得在变换 x2 y2 x y u(x,y)v(x,y)eaxby之下，上述等式可化为函数v(x,y)的不含一阶偏导数的等式. 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化（21）（本题满分11分） 1 已知函数f(x)在[0,1]上具有2阶导数，且f(0)0, f(1)1, f(x)dx 1,证明： 0 （1）存在(0,1),使得f()0 （2）存在(0,1),使得f()2 （22）（本题满分11分） 已知向量组 I： (1,1,4)T, (1,0,4)T, (1,2,a2 3)T 1 2 3 II： (1,1,a3)T, (0,2,1a)T, (1,3,a2 3)T 1 2 3 若向量组I与向量组II等价，求a的取值，并将用，， 线性表示 3 1 2 3 （23）（本题满分11分） 2 2 1  2 1 0     已知矩阵A 2 x 2与B 0 1 0相似.      0 0 2 0 0 y (1) 求x、y; (2) 求可逆矩阵P，使得P1AP  B. 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化