2020考研数学一真题公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_2020考研数学（一）真题+答案解析

2020 年全国硕士研究生招生考试数学一试题 一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 （1）当x0时，下列无穷小量中最高阶的是 （ ） A. x (et2 1)dt B. x ln(1 t3)dt C. sinx sint2dt D. 1cosx sin3tdt 0 0 0 0 （2）设函数f(x)在区间 1,1 内有定义，且lim f(x)0,则 （ ） x0 f(x) f(x) A.当lim 0时，f(x)在x0处可导 B.当lim 0时，f(x)在x0处可导 x0 x x0 x2 f(x) f(x) C.当f(x)在x0处可导时，lim 0 D.当f(x)在x0处可导时，lim 0 x0 x x0 x2 f f  （3）设函数 f(x,y)在点  0,0  处可微， f(0,0)0,n   , ,1   ,非零向量与n垂直，则（ ） x y  (0,0)     n x,y, f(x,y) n x,y, f(x,y) A. lim 存在 B. lim 存在 x,y0,0 x2  y2 x,y0,0 x2  y2      x,y, f(x,y)  x,y, f(x,y) C. lim 存在 D. lim 存在 x,y0,0 x2  y2 x,y0,0 x2  y2  （4）设R为幂级数a xn的收敛半径，r是实数，则 （ ） n n1   A.当a r2n发散时，r  R B.当a r2n发散时，r  R 2n 2n n1 n1   C.当r  R时，a r2n发散 D.当r  R时，a r2n收敛 2n 2n n1 n1 （5）若矩阵A经初等列变换化成B，则 （ ） A.存在矩阵P，使得PA B B.存在矩阵P，使得BP  A C.存在矩阵P，使得PB  A D.方程组Ax 0与Bx 0同解 xa yb zc xa yb zc （6）已知直线 l : 2  2  2 与直线 l : 3  3  3 相交于一点，记向量 1 a b c 2 a b c 1 1 1 2 2 2 a   i  b ,i 1,2,3,则 （ ） i i   c  i A.可由,线性表示 B.可由,线性表示 1 2 3 2 1 3 C.可由,线性表示 D.,,线性表示 3 1 2 1 2 3 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化1 1 （7）设 A,B,C 为三个随机事件，且P(A) P(B) P(C) ,P(AB)0，P(AC) P(BC) ,则 4 12 A,B,C中恰有一个事件发生的概率为 （ ） 3 2 1 5 A. B. C. D. 4 3 2 12 1 （8）设X ,X ,,X 为来自总体X 的简单随机样本，其中P  X 0   P  X 1   ，(x)表示标准 1 2 100 2 100  正态分布函数，则利用中心极限定理可得P X 55的近似值为 （ ） i   i1 A.1(1) B.(1) C.1(0.2) D.(0.2) 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.  1 1  （9）lim   ________. x0ex 1 ln(1x)   x t2 1 d2y （10）设 ,则 ________.  y ln(t t2 1) dx2 t1  （11）若函数 f(x)满足 f(x)af(x) f(x)0(a 0),且 f(0)m, f(0)n,则 f(x)dx ______. 0 （12）设函数f(x,y)  xy ext2 dt,则 2f ________. 0 xy (1,1) a 0 1 1 0 a 1 1 （13）行列式 ________. 1 1 a 0 1 1 0 a   （14）设X服从区间( , )的均匀分布，Y sin X,则Cov(X,Y)________. 2 2 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. （15）（本题满分10分） 求函数f  x,y   x3 8y3 xy的极值. 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（16）（本题满分10分） 4x y x y 计算曲线积分I   dx dy,其中I 是x2  y2 2,方向为逆时针方向. 4x2  y2 4x2  y2 （17）（本题满分10分）  1  设数列  a  满足a 1,  n1  a n a ,证明：当 x 1时，幂级数a xn 收敛，并求其和函 n 1 n1  2 n n n1 数. （18）（本题满分10分） 设为曲面z  x2  y2  1 x2  y2 4  的下侧， f  x  是连续函数，计算 I    xf  xy  2x y  dydz  yf  xy  2yx  dzdx  zf  xy  z  dxdy.  淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（19）（本题满分10分）         设函数 f x 在区间 0,2 上具有连续导数， f 0  f 2 0,M max f(x),证明 0,2 （Ⅰ）(0,2),使得 f()  M; （Ⅱ）若对任意的x(0,2), f(x)  M,则M 0. （20）（本题满分11分） x   y  设二次型 f(x ,x ) x2 4x x 4x2经正交变换 1Q 1化为二次型 1 2 1 1 2 2  x    y   2 2 g(y ,y )ay2 4y y by2,其中ab. 1 2 1 1 2 2 （Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）求正交矩阵Q. （21）（本题满分11分） 设A为2阶矩阵，P (,A),其中是非零向量且不是A的特征向量. （Ⅰ）证明P为可逆矩阵； （Ⅱ）若A2 A60，求P1AP,并判断A是否相似于对角矩阵. 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（22）（本题满分11分） 设随机变量X ,X ,X 相互独立，其中X 与X 均服从标准正态分布，X 的概率分布为 1 2 3 1 2 3 1     P X 0  P X 1  ,Y  X X (1 X )X . 3 3 2 3 1 3 2 （Ⅰ）求二维随机变量(X ,Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数(x)表示； 1 （Ⅱ）证明随机变量Y 服从标准正态分布. （23）（本题满分11分） 设某种元件的使用寿命T 的分布函数为   1e (  t )m ,t 0 F(t)  0, 其他. 其中,m为参数且大于零. （Ⅰ）求概率P  T t 与P  T  stT  s  ,其中s 0,t 0; （Ⅱ）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t ,t ,,t ,若m已知，求的最大似 1 2 n 然估计值ˆ . 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化