西电开学考第4题·15种解法(下)

第 4 题。这道题的答案只有 5 位数，但路有 15 条。
题目：设 aₙ 为最接近 √n 的整数，求 {aₙ} 前 2026 项之和。
答案：60810。
「最接近 √n 的整数」这句话，把 1…2026 切成了 44 段。
第 k 段里的每个 n 都满足 aₙ = k，而这一段的长度恰好是 2k。
整道题的地基就这一句 —— 后面的 15 条路，全是在算 Σ2k²。
下篇 8 种：
解法八 换序求和法 —— 改编号：看每个值被数了几次
解法九 分部求和法 —— 用差分把求和降一阶
解法十 立方差累加法 —— 用 (k+1)³ − k³ 造出 k²
解法十一 穷举验证法 —— 老老实实把 2026 项跑一遍
解法十二 母函数法 —— 把数列压成幂级数
解法十三 望远镜求和法 —— 找一个原函数，让中间项全部消掉
解法十四 数学归纳法 —— 先猜公式，再严格证明它
解法十五 矩阵传递法 —— 把「推进一段」写成矩阵的高次幂
同一个 Σ2k²，可以被读成平方和公式、可以被读成补满再减、也可以被读成一次母函数展开。