上册 · 01

分数乘法

分数 × 整数 · 分数 × 分数 · 意义 · 应用

a/b × n = a×n/b

a/b × c/d = a×c/b×d

3/5 × 4 = 12/5 = 2又2/5

2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2

📌 计算步骤：

① 能约分的先约分 → ② 分子相乘作分子 → ③ 分母相乘作分母

④ 结果化成最简分数（或带分数）

分数乘整数：用分子乘整数的积作分子，分母不变

分数乘法应用

单位“1” × 分率 = 对应量

单位“1” × 分率 = 对应量

例：80 × 3/4 = 60

已知单位“1” → 用乘法：对应量 = 单位“1” × 分率

已知对应量 → 用除法：单位“1” = 对应量 ÷ 分率

关键是找准单位“1”，通常“的”字前面的量就是单位“1”

上册 · 02

分数除法

除以整数 · 除以分数 · 倒数 · 应用

a/b ÷ n = a/(b×n)

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc

÷ 一个数 = × 这个数的倒数

a/b × b/a = 1（倒数关系）

0 没有倒数；1 的倒数是 1

📌 应用：单位“1” = 对应量 ÷ 分率

例：60 ÷ 3/4 = 60 × 4/3 = 80

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数

上册 · 03

比

比的意义 · 比值 · 化简 · 按比分配

a : b = a ÷ b（b≠0）

比值 = 前项 ÷ 后项

a:b = (a×n):(b×n)（比的基本性质）

12:18 = 2:3

0.5:0.25 = 50:25 = 2:1

📌 按比分配：

总份数 = 各部分比相加

每份 = 总量 ÷ 总份数

部分量 = 每份 × 对应份数

比的后项不能为0；比表示两个数的关系，不是一个数

上册 · 04

圆

圆心 · 半径 · 直径 · 周长 · 面积

d = 2r　　r = d ÷ 2

C = πd = 2πr

S = πr²

π ≈ 3.14（圆周率）

半圆周长 = πr + 2r（含直径）

半圆面积 = πr² ÷ 2

📌 常用数据：

π×1=3.14　π×2=6.28　π×3=9.42

π×4=12.56　π×5=15.7　π×6=18.84

π×7=21.98　π×8=25.12　π×9=28.26

圆是轴对称图形，有无数条对称轴（每条直径所在直线）

半圆

周长 · 面积

S半圆 = πr² ÷ 2

C半圆 = πr + 2r = πr + d

半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径

半圆的周长不是圆周长的一半，要加上直径

上册 · 05

百分数

百分数 · 小数 · 分数 · 应用

25% = 25/100 = 0.25

1% = 1/100 = 0.01

100% = 1

百分数 → 小数：小数点向左移两位

小数 → 百分数：小数点向右移两位，添%

百分数 → 分数：写成分母是100的分数再约分

📌 核心公式：

部分量 = 总量 × 百分率

总量 = 部分量 ÷ 百分率

百分率 = 部分量 ÷ 总量 × 100%

增长率 =（现量 − 原量）÷ 原量 × 100%

百分数只表示两个数的倍比关系，后面不能带单位

百分数应用

折扣 · 税率 · 利率 · 成数

折扣 = 现价 ÷ 原价 × 100%

现价 = 原价 × 折扣

原价 = 现价 ÷ 折扣

八折 = 80%　九折 = 90%

税额 = 应纳税额 × 税率

利息 = 本金 × 利率 × 时间

本息 = 本金 + 利息

成数：几成 = 百分之几十

打折问题中，原价是单位“1”；求现价用乘法，求原价用除法

下册 · 01

负数

正数 · 负数 · 数轴 · 比较

正数 > 0 > 负数

5 > 2 > 0 > −2 > −5

0 既不是正数，也不是负数

负数：−1、−2、−3……

正数前面可以加“+”，也可以省略

数轴上，右边的数总比左边的数大

下册 · 02

圆柱

侧面积 · 表面积 · 体积

S侧 = C × h = 2πrh = πdh

S表 = S侧 + 2×S底 = 2πrh + 2πr²

V = S底 × h = πr²h

无盖圆柱：S = S侧 + 1个底面

无底无盖（通风管）：S = S侧

沿高剪开：侧面展开是长方形；沿斜线剪开：是平行四边形

下册 · 03

圆锥

体积 · 与圆柱关系

V = 1/3 × S底 × h

V = 1/3 × πr²h

同底等高：V圆锥 = 1/3 × V圆柱

V圆柱 = 3 × V圆锥

等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的三分之一

下册 · 04

比例

意义 · 基本性质 · 解比例

a : b = c : d

外项积 = 内项积 → ad = bc

x : 6 = 4 : 3 → 3x = 24 → x = 8

📌 解比例：根据比例的基本性质 → 转化为方程 → 求解

例：3:4 = 6:x → 3x = 24 → x = 8

比例中两个比的比值相等

下册 · 05

比例尺

图上距离 · 实际距离

比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离

图上距离 = 实际距离 × 比例尺

实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺

缩小比例尺：前项是1（1:100）

放大比例尺：后项是1（100:1）

计算前，图上距离和实际距离的单位要统一

下册 · 06

正比例

比值一定 · 同增同减

y / x = k（k一定）

y = kx

x扩大n倍，y也扩大n倍

x缩小n倍，y也缩小n倍

图像是过原点的直线

判断正比例：看两个量的比值是否一定

下册 · 07

反比例

乘积一定 · 一增一减

x × y = k（k一定）

y = k / x

x扩大n倍，y反而缩小n倍

x缩小n倍，y反而扩大n倍

图像是一条曲线（不与坐标轴相交）

判断反比例：看两个量的乘积是否一定

下册 · 08

统计图

条形 · 折线 · 扇形

条形图 → 数量多少

折线图 → 变化趋势

扇形图 → 百分比

部分量 = 总量 × 百分率

百分率 = 部分量 ÷ 总量 × 100%

扇形圆心角 = 百分率 × 360°

要反映变化趋势用折线图；要反映数量多少用条形图；要反映百分比用扇形图

下册 · 09

鸽巢问题

抽屉原理 · 最不利原则

n+1 个物体 → n 个抽屉

至少有一个抽屉 ≥ 2 个物体

推广：kn+1 个物体 → n 个抽屉

至少有一个抽屉 ≥ k+1 个物体

“至少”问题用最不利原则：先考虑最坏情况，再加1