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一 小手艺展示——分数乘法
一、分数乘法的意义
1.分数乘整数的意义:求几个相同(分数)加数和的简
便运算。 2 2
例如: ×3,表示:3个 相加
2.一个数乘分数的意义:表示这个数的几分之几是多 3 3
少。
的和。
5 5
例如:6× ,表示6的 的和。
12 12 注意:得到的结果要化到最
2 7 2 7 简。
×,表示 的 是多少。
7 8 7 8
二、分数乘法的计算法则 分数乘整数时,可以把分数
1.分数乘整数的计算方法:分子与整数相乘,分母不 看作分母是1的假分数,进行约
变。
分计算。
例如: 6×
5
=
6×5
=
5
12 12 2
分子、分母是互质数的分数
2.分数乘分数的计算方法:用分子相乘的积作分子,分
叫作最简分数。
母相乘的积作分母。
例如:
2
×
7
=
2×7
=
1
2 3
7 8 7×8 4 如 、 都叫作最简分数。
3 4
(1)分数化简的方法:分子、分母同时除以它们的最大
公因数。
(2)在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两个可以同
时约分的数先画去,再分别在它们的上、下方写出约分后的
0与任何数相乘的积都等于
数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算后
0。
的结果才是最简分数)
三、分数乘法的特点
如果几个不为0的数与不
比较积和因数的大小:
同分数相乘的积相等,那么与大
(1)一个数(0除外)乘比1大的数,积就大于这个数。
分数相乘的因数反而小,与小分
(2)一个数(0除外)乘比1小的数,积就小于这个数。
(3)一个数(0除外)乘1,积就等于这个数。 数相乘的因数反而大。
四、倒数
1.倒数的意义。
乘积是1的两个数互为倒数。倒数表示两个数之间的 强调:互为倒数,即倒数是两
关系,这两个数是相互依存的,不能单独存在。 个数的关系,它们互相依存,倒数
2.求一个数倒数的方法。 不能单独存在。
(1)求一个数的倒数(0除外),就是把这个数的分子、分
母交换位置。
(2)求小数的倒数的方法:把小数化为分数后再交换位
置。
3.1的倒数是1,0没有倒数。 找单位“1”的量:在含有分数
4.真分数的倒数一定大于1,假分数的倒数小于或等 (分率)的语句中,感悟哪个是整
于1,一个非0自然数的倒数一定小于1。 体,把谁给平均分了,分率前面对
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页五、解决实际中的分数乘法问题 应的量就是单位“1”对应的量,找
1.分数应用题一般解题步骤。 关键词“占”“是”“比”字后面的量是
(1)找出含有分率的关键句。 单位“1”。
(2)找出单位“1”的量。
(3)根据线段图写出等量关系式:单位“1”的量×对应分
率=对应量。
(4)根据已知条件和问题列式解答。
2.乘法应用题有关概念。
(1)乘法应用题的解题思路:已知一个数,求这个数的几
分之几是多少?
(2)找单位“1”的方法:从含有分数的关键句中找,注意
“的”前“比”后的规则。当句子中的单位“1”不明显时,把原来
的量看作单位“1”。
3.分数的连乘。
解决分数连乘时,先找出具体的数量,一般是单位“1”,再
看比较量与单位“1”的关系,确定另一个单位“1”;最后根据第
三种量与单位“1”的关系计算。
注:可以通过画图的方法找到整体量,也就是单位“1”。
画图时,先找出单位“1”,再把单位“1”平均分成分母份数,
最后把分子的份数表示出来。
线段图是分析问题的最佳
7
如公牛有30头,母牛的头数相当于公牛的 ,小牛的头 方法,先确定第一个单位“1”,根据
10
第一个单位“1”确定第二个单位
16
数相当于母牛的
21
,小牛有多少头? “1”,再表示出未知量。线段图可
以直观表示出数量关系。
要求小牛的头数,就要知道母牛的量;母牛的头数又和
公牛的头数有关,先画一条线段,表示公牛的头数,再画一条
线段,表示母牛的头数,根据小牛和母牛的关系,画出表示小
牛的头数。
7 16
可得:小牛的头数=公牛头数× × 。
10 21
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页二 摸球游戏——可能性
一、有些事情的发生是确定的,有些是不确定的
可能 (cid:4666)不确定(cid:4667)
有些事件发生的结果可以
可能性 不可能
预测,有些不可以预测。
(cid:4666)一定(cid:4667)
一定
事件发生的可能性是有大
有小的,可能性的大小与事件的
二、事件发生的机会(或概率)有大小
基础条件及发展过程等许多因
大 数量多
可能性
小 数量少 素有关。
三、客观事件中,“不可能”出现的现象用数据表示为
本题考查的是可能性大小
“可能性是0”;客观事件中,“一定能”出现的现象用数据表示
的判断,解决这类题目要注意具
为“可能性是1”;当可能性是相等的时候,用数据表述是“2”
体情况具体分析。用到的知识点
四、典例
为可能性等于所求情况数与总
情况数之比。
解决生活现象的推理、判断
的过程,先要掌握出现逻辑推理
问题的解决方法,如排除法、假设
法、图解法等,并加以应用。
思路分析:
(1)任意摸出一个球,有2种结果,摸到白球的可能性
小。
(2)任意摸出2个球,有3种结果:2蓝,2白,1蓝1白。
答案:
(1)有2种结果;摸到白球的可能性小。
(2)任意摸出2个球,有3种结果。
画图表示如下:
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页三 布艺兴趣小组——分数除法
一、分数除法
1.分数除法的意义与整数除法的意义相同:已知两个
因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 分数除法算式中出现小数
2.一个数除以不为0的数等于乘这个数的倒数。 时要先化成分数、假分数,再计
3.比较商与被除数的大小。 算。
除数小于1,商大于被除数;
除数等于1,商等于被除数;
除数大于1,商小于被除数。
4.分数四则混合运算的运算顺序。 在进行分数运算时,可运用
(1)先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里面的,同 运算律使计算简便。
级运算从左到右; 解决分数除法问题的关键
(2)分数连除运算可转化成连乘运算,能约分的先约分, 是找准单位“1”,求单位“1”时用具
再计算; 体的数除以它所占的分率,得出
(3)在进行分数运算时,运用运算律可以使计算简便。 的就是比较量。
5.运用分数除法解决问题。 基本的数量关系:
知识点一:“已知一个数的几分之几是多少,求这个数” 比较量÷标准量=分率。
的问题的解法。 用方程解决问题时,未知量
方程解法:找出单位“1”,设未知量为x;找出题中的数量 用x代替,参与列式。
关系式;列出方程。 基本的数量关系:
算术法:(1)找出单位“1”; 分率对应的比较量÷分率=
(2)找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几; 标准量。
(3)列除法算式,即已知量÷已知量占单位“1”的几分之
几=单位“1”的量。 用方程解与用算术法解的
知识点二:“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多 不同点:用方程解未知量参与列
少,求这个数”的问题。 式;用算术法解未知量不参与列
解题方法: 式。
(1)用方程解:把一个数设为未知量x,根据题目中的数
量关系列出方程。
(2)算术法解:把一个数看作单位“1”,先计算出已知量占
单位“1”的几分之几, 已知量÷已知量占单位“1”的几分之几
=单位“1”的量 。
知识点一、二总结: 基本的数量关系:
(1)找单位“1”的关键词。 两个数的和÷(1+一个数是
(2)已知单位“1”用乘法,未知单位“1”用除法。 另一个数的几分之几)=另一个
知识点三:“已知一个数是另一个数的几分之几与这两 数
个数的和,求这两个数”的问题的解法。
解题方法:
(1)用方程解:找到题中数量间的等量关系,设单位“1”的
量为x,列出方程。
(2)用算术法解:找到题中的单位“1”,计算出两个数的和
占单位“1”的几分之几,两个数的和÷两个数的和占单位“1”
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页的几分之几=单位“1”的量。
知识点四:工程问题。
解决工程合修天数问题的方法:
一设:设这项工程为具体的数量或者单位“1”;
二列:根据“工作总量÷两队工作效率之和=工作时间”
列式;
三算:计算并验算写答。
二、典例讲解
例1 学校组织爬山活动,小明上山平均每小时走2.4 解决工程问题,把工作总量
千米。原路返回,下山平均每小时走3.6千米。小明上山、 看作单位“1”,然后按照份数计算。
下山的平均速度是多少?
思路分析:把路程看作单位“1”,那么小明上山走了
把上山和下山的总路程看
5 2
作单位“1”,来回的路程就是
1÷2.4= (时),下山走了1÷3.5=(时)。根据平均速度的公
12 7 1+1=2,除以时间和就是平均速
度。
式:(上山路程+下山路程)÷(上山时间+下山时间)=平均速
度。
答案:
5 2 168
(1+1)÷( +)= (千米)
12 7 59
量、率对应关系的训练是解
168 较复杂分数应用题的重要环节。
答:小明上山、下山的平均速度是 千米。
59
根据应用题的已知条件发挥联
1 想,找出各种量、率间接的对应
例2 一批货物,第一次运走总数的 ,第二次运走总数
5
关系,为正确解题铺平道路。
1
的 ,还剩下143吨。这批货物有多少吨?
4
思路分析:
量、率的对应关系: 货物的总质量 “1”,第一次运走
1 1
的质量 ;第二次运走的质量 ;两次共运走的质量
5 4
1 1 1 1
+ ;还剩下143吨 1--。
5 4 5 4
答案:
1 1
143÷(1--)
5 4
11
=143÷
20
=260(吨)
答:这批货物有260吨。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页四 人体的奥秘——比
一、比值的意义
1.比式中,比号(∶)前面的数叫作前项,比号后面的项
叫作后项,比号相当于除号。 两个数相除又叫作两个数
2.比的前项除以后项的商叫作比值,比值通常用分 的比。
数、小数和整数表示。 比的后项不能为0。
3.求几个数的连比的方法。
如已知甲数与乙数的比是5∶6,乙数与丙数的比是
8∶7,求甲、乙、丙三个数的连比。 连比时,先求出相同量的两
解题时,可先把两个比排列成下面竖式的形式,再在两 个数的最小公倍数,再根据比的
个空位上填入左边或右边相邻的数(为了与比的项相区别, 基本性质计算出另外两种量的
用括号括起来),最后将每一竖行的两个数相乘,就得出了 数,最后把几种量的比化简成最
简整数比。
甲、乙、丙这三个数的连比。如果这个连比中各项都含有
除1以外的公因数,就用各项上的数除以公因数,直到它们
的最大公因数是1为止,从而将这一连比化简。
甲 ∶ 乙 ∶ 丙
5 ∶ 6
8 ∶ 7
(5×8) ∶ 48 ∶ (7×6)
比是一个式子,表示两个数
40 ∶ 48 ∶ 42 的关系,可以写成比,也可以写成
化简:20∶24∶21 分数的形式。
4.比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分
数的形式,读作几比几。
运用比的基本性质可以化
简比。
12∶20读作:12比20
比和比值的区别:比值是一个数,通常用分数表示,也可
以是整数、小数。
5.比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同 根据比的前项和后项的特
的数(0除外),比值不变。 点可以用不同的方法化简比。
6.化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。
(1)化简整数比:找前项和后项的最大公因数,前项、后
项同时除以最大公因数,化成最简整数比。
(2)化简分数比:找前项和后项分母的最小公倍数,前
项、后项同时乘最小公倍数,再化简整数比。
有些比的单位不同,化简时
(3)化简小数比:把小数转化成整数,再化简整数比。 先统一单位。如3米∶50厘米
(4)整数和整数的比:前、后项除以它们的最大公因数; =300厘米∶50厘米=6∶1。
(5)整数和分数的比:前、后项乘分母,再化简;
(6)整数和小数的比:先把前、后项化成整数,再化简;
(7)小数和分数的比:把小数化成分数,再按分数与分数
的比化简,或者把分数化成小数,再按小数和小数的比来化
简。
求比值:写成除号再计算,结果是一个数(或分数),相当
于商,不是比。
7.比和除法、分数的区别:
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第6页除号 除数不 商不变的性 除法是一种 商不变性质:被除数和除数
除法 被除数
(÷) 能为0 质 运算 同时乘或除以相同的数(0除外),
分数 分子 分数线 分母(不 分数的基本 分数是一个 商不变。
(——) 能为0) 性质 数
比号 后项(不 比的基本性 比表示两个
比 前项
(∶) 能为0) 质 数的关系
用语言描述:比的前项相当于除法的被除数,相当于分 分数的基本性质:分子和分
数的分子;比号相当于除号,相当于分数线;比的后项相当于 母同时乘或除以相同的数(0除
除法的除数,相当于分数的分母;比值相当于除法的商,相当 外),分数的大小不变。
于分数的值。
二、按比分配
1.意义。
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照
一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫作按比分
配。
方法:首先求出各部分占总
2.解决按比分配应用题的方法:
(1) 转化法: 量的几分之几,然后求出总数的
几分之几是多少。
(cid:4666) (cid:4667)
分率 转化比 转化倍数
(cid:4666) (cid:4667) 按比分配的方法解决实际
一般是把几个数的比转化成几个数分别占总数的几 问题的一般步骤:
分之几,再根据分数乘法的意义,求出这几个数。
第一种类型的按比分配应
(2) 把比化为分数,用分数来解答:
用题的解题步骤可以总结为(1)
找出已知数量部分的份数; 求另外部分占已知数量的
几分之几;用分数乘法求出另一部分是多少。 求平均分得的总份数; (2)求每
(3) 用比的知识来解答: 个部分占总数量的几分之几;(3)
求出部分之间的份数差; 求出每个部分占份数差的几
用分数乘法求出每部分是多少。
分之几;用分数乘法求出每个部分是多少。
3.典例讲解。
(1)甲、乙、丙三人合租一辆车运送同样的货物从A地
按比分配应用题:
1
到B地,甲在全程的
3
处卸货,乙在行程刚好一半的地方卸 题型1:已知各种量,求比。
题型2:已知比和其中一个
货,只有丙运到终点,共付运费440元,他们该怎样分摊运费
量,求其他量。
题型3:已知比和总量,求每
比较合理?
一份的量。这是按比分配的基本
思路分析: 题型,也是小学阶段能解决的比
1 的基本问题。
此题要分配的总量是440元,根据甲在全程的 处卸货,
3
乙在行程刚好一半的地方卸货,只有丙运到终点,可得出
看成份数时,要注意份数与
分量之间要对应准确。
甲、乙、丙三人合租这辆车需按照卸货地点的远近分摊运
1 1
费,运费的比是 ∶∶1,即2∶3∶6,先求出总份数,再分别
3 2
求出甲、乙、丙分摊的运费占总运费的几分之几,进而分别
求得甲、乙、丙分摊的运费。
答案:
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第7页1 1
甲、乙、丙分摊运费的比: ∶∶1=2∶3∶6
3 2
总份数:2+3+6=11(份)
2
甲分摊的运费:440× =80(元)
11
3
乙分摊的运费:440× =120(元)
11
6
丙分摊的运费:440× =240(元)
11
答:他们应该按照卸货地点的远近分摊运费比较合理,
甲分摊的运费是80元,乙分摊的运费是120元,丙分摊的运
费是240元。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页五 完美的图形——圆
一、圆的定义
感知圆的特征:以前学过长方形、正方形、平行四边形、
梯形、三角形等,都是由线段围成的平面图形,而圆是由曲
圆与其他平面图形不同的,
线围成的一种平面图形。
圆是曲线图形,其他图形是线段
二、圆的各部分名称
图形。
1.圆心:用圆规画出圆以后,针尖固定的一点就是圆心,
通常用字母O表示。
2.半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫作半径。一
般用字母r表示。 把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是 直径和半径的关系只能在
同圆和等圆中。
圆的半径。
3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。
用字母表示:d=2r
一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。
三、圆的主要特征
1.在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所
有的半径都相等,所有的直径都相等。
2.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的
不能说直径是圆的对称轴。
1 (cid:1856) 因为对称轴是一条直线。
长度是直径的 。用字母表示为d=2r或r=。
2 2
3.如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够
完全重合,这个图形是轴对称图形。圆是轴对称图形且有无
数条对称轴。
4.画圆的方法:
(1)用手指画圆。以大拇指为圆心,以食指与大拇指之 圆心决定圆的位置,半径决
定圆的大小。
间的距离为半径,旋转一周所形成的图形就是圆。
(2)用线绳、图钉和笔画圆。用图钉固定线绳的一端作 半径越大,画出的圆越大。
圆心,将笔系在线绳的另一端,拉直绳子作半径,旋转线绳一
周所形成的图形就是圆。 我们通常选用圆规画圆,既
(3)用圆规画圆。将圆规的一个针脚固定在本上作圆 便捷又准确。
心,用圆规两脚间的距离作半径,旋转圆规一周所形成的图
形就是圆。
(4)用物体的圆形面画圆。按住物体的圆形面,用笔在
可以用绳测法或滚动法找
物体的圆形面的圆周上画一圈,所形成的图形就是一个圆。 出圆的直径和周长的关系。
四、圆的周长的认识
1.围成圆的曲线的长叫作圆的周长。
2.周长与圆的直径有关,圆的直径越长,圆的周长就越
大。
五、 圆周率的意义及圆的周长公式
1.圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度
线对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。 世界上第一个把圆周率算
2.发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个
出来的人是我国的数学家祖冲
固定数。 之。
3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一
个固定的数,我们把它叫作圆周率。用字母π(pài)表示。
4.一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第9页是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计 在判断时,圆周长与它直径
算时,一般取π ≈ 3.14。 的比值是π倍,而不是3.14倍。
5.圆的周长公式:C=πd→ d=C÷π或C=2πr→
r=C÷2π。
一个图形的周长就是围成
6.区分周长的一半和半圆的周长:
这个图形一周的长,具体情况要
(1)周长的一半:等于圆的周长÷2。计算方法:2πr÷
具体分析。
2,即 π r。
(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。 计算
在长方形或正方形内画最
方法:πr+2r,即 5.14 r。
大圆,关键是以对角线的交点为
7.正方形里最大的圆与正方形的关系。
圆心,以到正方形的边长或长方
两者联系:正方形的边长=圆的直径,圆的面积=78.5%
形宽的距离为半径。
正方形的面积。
8.画法:
(1)在正方形里画最大的圆。
①画出正方形的两条对角线;②以对角线的交点为圆
心,以边长为直径画圆。
(2)长方形里最大的圆。 记忆常用3.14的倍数,可以
两者联系:宽=直径 使平时的计算快捷、正确。
画法:
①画出长方形的两条对角线;②以对角线的交点为圆
心,以宽为直径画圆。
圆的面积与以它的半径为
五、常用的3.14的倍数
边长的正方形的面积的关系:以
3.14×2=6.28 3.14×3=9.42
正方形的边长为半径画的圆,正
3.14×4=12.56
方形的面积实际就是这个圆半
3.14×5=15.7 3.14×6=18.84
径的平方,因此得出“圆的面积是
3.14×7=21.98
它半径平方的3倍多一些”圆的
3.14×8=25.12 3.14×9=28.26
面积大约等于半径×半径×3。
3.14×12=37.68
3.14×14=43.96 3.14×16=50.24
3.14×18=56.52
3.14×24=75.36 3.14×25=78.5
3.14×36=113.04
3.14×49=153.86 3.14×64=200.96 注意:切拼后的长方形的周
3.14×81=254.34 长比圆的周长多了两条半径。C
六、圆的面积公式 =2πr+2r=C +d。
长方形 圆
把圆拼成近似的长方形,只是形状改变了,图形的大小
并没有发生变化,因此圆的面积=拼成的近似长方形的面
周长相等的平面图形中,圆
积。 的面积最大;面积相等的平面图
圆的面积推导: 形中,圆的周长最短。
要求圆的面积只要知道圆
的半径或者知道圆的半径的平
方。
圆可以切拼成近似的长方形,长方形的面积与圆的面
积相等(即S =S );长方形的宽是圆的半径(即b=r);长
长方形 圆
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第10页方形的长是圆周长的一半(即a=C÷2=πr)。
S =a×b
长方形
S =πr×r
圆
=πr2
所以,S =πr2。 圆环的意义:
圆
七、圆环的意义及面积的计算 两个同心圆形成一个圆环。
1.圆环的意义:以同一点为圆心,半径不相等的两个圆 设小圆和大圆(或内圆和外
组成的图形,两圆之间的部分就是圆环。
圆)的半径和直径分别为r和R。
(R﹥r)
同样大小的外圆,内圆越小,
圆环的面积越大。
半圆环的面积=它所在的圆
环面积的一半。
2.圆环中半径较大的圆叫作外圆,半径较小的圆叫作
单独一个圆,半径(直径)越
内圆。外圆半径与内圆半径的差叫作环宽,两圆中间的部分 大,周长就越大,面积也越大;如
的大小叫作圆环的面积。 果两个圆的半径相等,那么它们
3.外圆的半径=内圆半径+1个环宽;外圆的直径=内圆
的周长就相等,面积也相等。
直径+2个环宽。
4.求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面
积,还可以利用乘法分配律进行简便计算。S =S -S
圆环 外圆 内
=πR2-πr2=π(R2-r2)。
圆
5.几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长 在同一个圆中,扇形的大小
与这个扇形的圆心角的大小有
(如图)。
关,圆心角大的扇形大,圆心角小
的扇形小。
在同圆或等圆中,圆心角越
大,扇形越大;反之,圆心角越小,
扇形就越小。
几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的面积。
八、扇形的认识
1.扇形是由“一条弧”和“经过这条弧两端的两条半径”
所围成的图形。
扇形是所在圆上的一部分,∠AOB是圆心角;扇形是由
两条半径和圆上一段曲线围成的。
2.扇形与三角形的区别。
扇形是由两条半径和一条弧围成的图形;三角形是由
三条线段围成的图形。尽管有的图形的两条边也是圆的半
径,但是第三条边不是弧,而是线段,这样的图形不能称为扇
形,它是三角形。弧是圆的一部分,是曲线,而线段是直线的
一部分。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第11页关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第12页六 中国的世界遗产——分数四则混合运算
分数四则混合运算
1.运算顺序:
(1) 同级运算,从左到右。 在第一级运算中,某两分数
小技巧:可以随便调换位置,但要连同数字前面的运算 直接相加或相减得整数的情况
符号一起调换。 除外。
对于二级运算,遇“÷”先变“ ×”,除数变倒数,“一线到底”
约分到最简分数。所谓“一线到底”,在加减法中,先通分再计
算;在乘除法中,遇“除” 变“乘”,一次性约分,约到不能再约分
为主。
(2)异级运算,先乘除,后加减。
(3)有括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的, 除了学过的运算,还可以用
最后算中括号外面的。 下面的方法简算。
2.简便运算。 减法的性质:
在分数四则混合运算中,可以同时运用整数运算律,使 a-b-c=a-(b+c)
计算简便。 或a-(b+c) =a-b-c
加法交换律:a+b=b+a 除法的性质:
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) a÷b÷c=a÷(b×c)或
乘法交换律:ab=ba a÷(b×c)=a÷b÷c
乘法结合律:(ab)c=a(bc)
乘法分配律:a(b+c)=ac+bc 正确区分分数和分率,才能
3.审题技巧。 解答正确。
4
分数乘法的意义在文字题中是个“陷阱”,如比5吨多
5
首先判断单位“1”的量:知道
是多少吨?
单位“1”的量(用乘法),不知道单
4
位“1”的量(用除法),为确定解题
这道题中的“比5吨多 ”不是“差比”,而是“倍比”,一不小
5 方法奠定基础;然后会把“比”字句
4 4 转化成“是”字句;最后能将省略式
心就会列成5+,正确的列式为5+5×。
5 5 的分率句换说成比较详细的句
4.用方程解文字题是一种顺向思维的列式,在解决问 子的能力。
题过程中可以把未知数用x代替,找出等量关系,然后把x
作为已知量参与运算,最终得到等式求出未知量。
典例讲解
1 1
修一条路,第一天修了全长的 ,第二天修了全长的 ,第
3 4
未知数的设法:
二天比第一天多修了300米,这条路长多少米?
在分数应用题中,我们设单
思路分析: 位“1”为x; 在有比的问题中,设1
根据“第一天比第二天多修了300米”可以列出等量关 份数为x;在有和的问题中,设其
系式,即“第一天修的长度-第二天修的长度=300米”把全长 中任意一个为x都可以,比如说
看作单位“1”,列出方程计算。 两个班共有50人,设其中一个班
答案: 有x人。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第13页解:设这条路长x米。
1 1
x-x=300
3 4 解决分数应用题时:
1
x=300 先要弄清两个概念:带单位
12
1
x=300÷ 的分数和不带单位的分数。 带
12
x=3600
3
单位的分数,如 吨,叫数量,表示
答:这条路长3600米。 4
5.分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系:
一个物体的具体的数量。不带单
(1)分率:表示一个数是另一个数的几分之几,这几分之
几通常称为分率。 3
位的分数,如 ,叫分率,它表示一
(2)标准量:解答分数应用题时,通常把题目中作为单位 4
“1”的那个数,称为标准量。(也叫单位“1”的数量)
个数的几分之几。
(3)比较量:解答分数应用题时,通常把题目中同标准量
比较的那个数,称为比较量。(也叫分率对应的数量) 应用题解题思路:
6.分数应用题的分类。 第一步:确定单位“1”。 找
(1)求一个数的几分之几是多少。(解这类应用题用乘 单位“1”的方法:找到题中不带单
法) 位的分数的那句话,“谁”的几分之
这类问题特点是已知一个看作单位“1”的数,求它的几 几,那个“谁”就是单位“1”。第二步:
分之几是多少,它反映的是整体与部分之间关系的应用题。 确定乘除法 。(1)题中直接或间
(2)已知一个数的几分之几是多少,求这个数。(解这类 接告诉单位“1”的或可直接算出
应用题用除法) 单位“1”的,用乘法;(2)题中单位“1”
这类问题特点是已知一个数的几分之几是多少的数 是未知的,用除法。第三步:列式。
量,求单位“1”的量。 第四步:检查 。
(3)求一个数是另一个数的几分之几。(解这类应用题
用除法)
这类问题特点是已知两个数量,比较它们之间的倍数
关系。
7.稍复杂的分数问题:
(1)已知甲数,乙数比甲数的几分之几多(或少)多少,求
乙数。
(2)已知总数,甲是总数的几分之几,乙是总数的几分之
几,求甲、乙的和或者差。(两种关系式,两种思路)
(3)已知总数,其中甲是总数的几分之几,求剩下的。(两
种关系式,两种思路)
(4)已知甲数和乙数比甲数多(或少)几分之几,求乙数。
(两种关系式,两种思路)
(5)已知一个数的几分之几是多少,求这个数,既可以用
除法计算,也可以列方程解答。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第14页七 体检中的百分数——百分数(一)
一、百分数的认识
1.百分数的意义。
(1)表示一个数是另一个数的百分之几。
(2)百分数是指两个数的比,因此也叫百分率或百分 百分数表示两个数的关系,
比。 不表示一个具体的数,所以不能
(3)百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”,百分 有单位。
数后面不能带单位名称。
2.百分数和分数的主要联系与区别。 百分号前面的数相当于分
(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。 数的分子,百分号后面的数相当
(2)区别。 于分数的分母。
①意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表
示具体的数量,所以不能带单位;分数既可以表示具体的 百分数的分子部分可以是
数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。
小数、整数,可以大于100,小于
②百分数的分子可以是整数,也可以是小数,如2.5%; 100或等于100。
而分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
③百分数的读法和分数的读法大体相同,也是先读分
母,后读分子,但要注意读百分数的分母时,不能读成一百
分之几,而只能读作“百分之几”。
3.百分数的写法。
通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表
在进行分数、小数和百分数
示。如5%,20%。
互化的过程中,不能改变原来数
4.百分数、分数、小数的互化。
的大小。
(1)小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后
面添上百分号。
如0.23、5、0.026 三个数字化成百分数是23%、
比较百分数、分数和小数的
500%、2.6%。
大小时,要先将这些数转化成相
(2)百分数化成小数:把小数点向左移动两位,同时去掉
同的数,再进行比较。最后结果要
百分号。
写成原数进行比较。
如20%,56%,3.7%三个数字化成小数是0.2、0.56、
0.037。
(3)百分数化成分数:先把百分数化成分数,再把百分数
当分数的分子除以分母不
改写成分母是100的分数,能约分要约成最简分数。
能得到有限小数时,化成百分数
25 1 40 2
如25%、40%,化成分数是25%= = 、40%= = 。
就是一个近似数。
100 4 100 5
(4)分数化成百分数。
① 用分数的基本性质,把分数的分母扩大或缩小成
分母是100的分数,再写成百分数形式。
如
2
化成百分数形式:
2
=
2×20
=
40
=40%。
5 5 5×20 100
如发芽率、出勤率、合格率、
② 先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),
成活率、中奖率、命中率、出生
再把小数化成百分数。
率、死亡 率、优秀率、及格率、
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第15页3 3 出油率、出错率、入学率、含盐
如 化成百分数形式: =3÷4=0.75=75%。
4 4 率、含糖率、增长率、近视率、
二、常用百分率的计算 收视率等最大不会超过100%。增
长率可以大于100%。
合格产品数 成活的棵数
合格率= ×100%;成活率= ×100%;
产品总数 总棵数
烘干后的质量 发芽种子数
烘干率= ×100%;发芽率= ×100%;
烘干前的质量 种子总数
达标学生人数
达标率= ×100%;
学生总人数
烘干前的质量‐烘干后的质量
含水率= ×100%。
实际生活中,人们常用增加
烘干前的质量
了百分之几、减少了百分之几、
三、解决百分数问题的方法
节约了百分之几等来表示增加
1.求一个数是另一个数的百分之几。
或减少的幅度。 口诀:“一减一
计算方法:把另一个数看作单位“1”,用一个数除以单位
除”。(两数的差÷单位“1”=百分
“1”。
之几)
即一个数÷另一个数;最后的结果化成百分数。
2.“求数A比数B多(或少)百分之几?”的实际问题。
已知条件:数A、数B;
求:两数差的百分数;
解题方法:(大数-小数)÷单位“1”。
3.“数A比数B多(或少)百分之几,求数A是多少?”的实
际问题。
已知条件:数B、 两数和(差)的百分数。
求:数A(非单位“1”)
解题方法:数B×(1+百分数)——两数和的方法
数B×(1-百分数)——两数差的方法
4.“数A比数B多(或少)百分之几,求数B是多少?”的实
际问题。
已知条件:数A、两数和(差)的百分数
求:数B(单位“1”)
解题方法:
数A÷(1+百分数)——两数和的方法
数A÷(1-百分数)——两数差的方法
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