一 长方体和正方体
一、长方体的认识
易错点:误认为一个长方体中
1.认识长方体的面、棱、顶点。
最多有4条相等的棱。这是错误的,
(1)从不同的角度观察同一个长方体。
一定要注意长方体的6个面不一
把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最．多．只．
定都是长方形,也可能有2个相对
能．同．时．观．察．到．长．方．体．的．三．个．面．。．
的面是正方形。当长方体有2个相
(2)长方体的棱和顶点。
对的面是正方形时,就有8条棱长
长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相
度相等。
交的点叫作长方体的顶点。
2.长方体的特征。
直观图中的实线表示从某个
长方体是由6个长方形(也可能有2个相对的面是
角度能够看到的棱,虚线表示看不
正方形)围成的立体图形,它有6个面、12条棱和8个顶
到的棱。
点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度
相等。
长方体12条棱的长度和叫作
3.长方体长、宽、高的含义。
长方体的棱长总和。长方体的棱长
长．方．体．相．交．于．同．一．顶．点．的．三．条．棱．的．长．度．．,分．别．叫．作．
总和=(长+宽+高)×4。
它．的．长．、．宽．、．高．。．
4.长方体的长、宽、高不是固定不变的,它与长方体
的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中,
通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直 易错点:误认为有6个面、12
方向的一条棱叫作它的高。 条棱、8个顶点的立体图形不是长
二、正方体的认识 方体就是正方体。这是不正确的,
1.正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方 一定要注意有6个面、12条棱、8
形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形,12 个顶点并不代表它就是长方体或
条棱的长度都相等,有8个顶点。 正方体,要看它是否具备长方体或
2.正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。 正方体的所有特征,如下图,这个立
3.长方体和正方体的特征的异同。 体图形既不是长方体,也不是正方
①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点,相对的 体。
面完全相同,相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的6个面都是长方形(也可能有2
个相对的面是正方形);一般情况下,棱有3组,每组4条棱
长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条
棱的长度都相等。
正方体的棱长总和:棱长×12。
三、正方体、长方体的展开图
正方体具有长方体的一切特
1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。
征,正方体是特殊的长方体。
正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成
的,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。
同一个立体图形,沿不同的棱
剪开,得到的展开图不同。
2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有3组相 技巧:
对的面,相．对．的．面．完．全．相．同．．,相．对．的．面．完．全．隔．开．。． 正方体有6个相同的面,可以
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页通过观察、折叠找到3组相对的
面。
长方体有3组相对的面,可以
通过看是否完全隔开,完全隔开的
一组面就是相对的两个面。
3.沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开,可以把正方
体(或长方体)展开成一个平面图形,这个平面图形就是
正方体(或长方体)的展开图。在展开图中,正方体的6个
面完全相同(长方体相对的面完全相同),相对的面完全 当所求的长方体的表面积是6
隔开。 个面的面积时,先分别求出每组相
四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法 对的面中一个面的面积,相加后再
1.表面积的意义:长．方．体．．(或．正．方．体．．)6．个．面．的．总．面．积．．, 乘2较简便。
叫．作．它．的．表．面．积．。．
2.长方体和正方体表面积的计算方法。
(1)长．方．体．的．表．面．积．=．长．×．宽．×．2．+．长．×．高．×．2．+．宽．×．高．
×．2．=．．(长．×．宽．+．长．×．高．+．宽．×．高．．)×．2．。．
如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表
示长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是
举例:大厅里有8根高为5米
S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)×2。
的方柱需要涂油漆,方柱的横截面
(2)正．方．体．的．表．面．积．=．棱．长．×．棱．长．×．6．。． 是边长为0.5米的正方形,若1千克
油漆可以涂5平方米,则涂这8根
如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长,那么
方柱需要多少千克油漆?
正方体表面积的计算公式是S=6a2。
错
五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实 解:(0.5×0.5×2+0.5×5×4)×8÷5×1=
际问题 16.8(千克)
答:涂这8根方柱需要16.8千
1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是
克油漆。
要根据实际情况确定好求几个面的面积和。 正解:0.5×5×4×8÷5×1=16(千
2.在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都 克)
答:涂这8根方柱需要16千克
有6个面,如长方体的鱼缸只有5个面,通风管只有4个
油漆。
面。因此,在计算时要根据实际情况解题。
六、体积和容积的意义
一个容器容积的大小与它所
1.物．体．所．占．空．间．的．大．小．叫．作．物．体．的．体．积．。． 能盛装物体的多少有关。因为容器
都有一定的厚度,所以一个容器的
2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其
体积一般大于它的容积。
他物体的都不是容器。
3.容．器．所．能．容．纳．物．体．的．体．积．叫．作．容．器．的．容．积．。．
4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一
定有容积。
七、体积单位
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页1.棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米。 并不是只有棱长是1cm、1
2.棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米。 dm、1m的正方体的体积才是1
3.棱长是1米的正方体,体积是1立方米。 cm3、1dm3和1m3。
4.常．用．的．体．积．单．位．有．立．方．厘．米．、．立．方．分．米．和．立．方．米．．,
用．字．母．表．示．分．别．是．c．m． 3．、．d．m． 3．和．m． 3．。．
八、容积单位
1.容积单位的使用方法。
易错点:误认为容积就是体积,
计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如
这是不对的,一定要注意“容积”与
水、油等,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表
“体积”的不同。如一本书有体积,
示分别为L和mL,其中1L=1000 mL。
却没有容积。
2.容积单位的换算。
1．d．m． 3．=．1．L． 1．c．m． 3．=．1．m．L．
较大容器盛装液体时用“升”作
高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向
单位,较小容器盛装液体时用“毫升”
高级单位转换用除法计算。
作单位。
3.“容积”与“体积”的区别。
(1)意义不同。
巧记:
体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所
体积单位常用到,相邻进率是
能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容
1000。
积。
高级单位化低级,要把此数乘
(2)测量方法不同。
1000。
求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高
低级单位化高级,除以1000
进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、
把数算。
宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说,它的
转换过程要细心,掌握进率是
容积要比体积小。
关键。
(3)单位名称不完全相同。
体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固
体、气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位
一般用升、毫升。
九、长方体体积公式的推导
明确摆成不同形状长方体的
1.以取12个1立方厘米的小正方体,摆出不同形状
长、宽、高分别是多少。
的长方体为例,如下图:
1立方厘米的小正方体的边长
是1厘米。长方体的长、宽、高由
几个小正方体摆成,它的长、宽、
高就分别是几厘米,它的体积正好
等于摆成长方体所需小正方体的
个数。
每个小正方体的体积是1立方厘米,每个长方体是
由12个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是
12立方厘米。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页2.填写表格。
长 宽 高 小正方体 体积
/cm /cm /cm 的个数 /cm3
长方
12 1 1 12 12
体①
长方
6 2 1 12 12
体②
长方
4 3 1 12 12
体③
长方
3 2 2 12 12
体④
3.(1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当
于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方
举例:如果一个长方体的长、
体的高。
(2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等
宽、高都扩大到原来的2倍,那么
于长方体长、宽、高的乘积。
4.长方体体积公式的字母表达式。
它的体积就扩大到原来的23倍,即
如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示
长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成
8倍;反之,如果一个长方体的长、
V=abh。
1
宽、高都缩小到原来的 ,那么它的
2
1 1
体积就缩小到原来的 ,即 。
23 8
长．方．体．的．体．积．=．长．×．宽．×．高．．,字．母．公．式．为．V．=．a．b．h．。．
a·a·a也可以写成“a3”,即
5.拓展提高。
a·a·a=a3,读作“a的立方”,表示3个
a相乘。因此,正方体的体积公式一
当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时,它
般写成V=a3。写a3时,“3”要写在a
的右上角,且要略小一些。
的体积就扩大到原来的n3(n×n×n=n3)倍;当长方体的
举例:如果一个正方体的棱长
1
长、宽、高都缩小到原来的 时,它的体积就缩小到原来
(cid:1866)
扩大到原来的2倍,那么它的体积
1 1 1 1 1
的 × × (cid:3404) 。
(cid:1866)3 (cid:1866) (cid:1866) (cid:1866) (cid:1866)3
就扩大到原来的8倍;反之,如果一
十、正方体体积公式的推导
1.长方体的体积=长 × 宽 × 高 1
个正方体的棱长缩小到原来的 ,那
2
↓ ↓ ↓
正．方．体．的．体．积．=．棱．长．×．棱．长．×．棱．长．
么它的体积就缩小到原来的
1
。
8
2.正方体体积的字母公式。
如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱
在有些实际问题中,也可以用
长,那么正方体体积的字母公式可以写成V．=．a．．·a．．·a．=．a． 3．。．
“横截面的面积×长”来计算体积。
3.拓展提高。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页当正方体的棱长扩大到原来的n倍时,它的体积就
扩大到原来的n3倍;当正方体的棱长缩小到原来的 1 时,
(cid:1866)
1
它的体积就缩小到原来的 。
(cid:1866)3
十一、运用体积公式解决实际问题
如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具
备,那么可直接利用公式计算体积。 运用通用公式进行计算时,一
十二、长方体和正方体体积的通用公式 定要注意单位的统一。如一个长方
1.长方体和正方体底面积的意义。 体的底面积是8平方厘米,高是3
长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面 分米,求体积。
错解:8×3=24(立方厘米)
接触,通常把这个面叫作底面。长．方．体．和．正．方．体．底．面．的．面．
正解:3分米=30厘
积．．,叫．作．它．们．的．底．面．积．。．
米,8×30=240(立方厘米)
2.长方体和正方体底面积的计算方法。
(1)长方体的底面积=长×宽。
(2)正方体的底面积=棱长×棱长。
3.长方体和正方体体积公式的推导。
长方体的体积(cid:3404)长×宽×高
↓ ↓ 计算体积从外面测量长、宽、
高;计算容积从里面测量长、宽、
底面积高
长方体(或正 高。有的物体既有体积,也有容积,
正方体的体积(cid:3404)棱长×棱长×棱长
如箱子、油桶、瓶子等。有的物体
↓↓
有体积,却没有容积,如石头、木头
底面积可看作高 这类实心的物体。既有体积又有容
积的物体,它的体积一定大于它的
方体)的体积=底面积×高 容积。只有在容器厚度忽略不计的
情况下,容积才可以看作与体积相
长．方．体．．(或．正．方．体．．)的．体．积．=．底．面．积．×．高．。．如果用V表
等。
示体积,S表示底面积,h表示高,那么长方体(或正方体)
巧记:
的体积公式可以写成V=Sh。 容积、体积孪兄弟,只是度量
十三、容积的计算方法 不统一。
1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的 容积心中装物体,体积只想占
计算方法相同,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公 空间。
式求出物体的容积。 容积尺寸从里测,体积尺寸从
2.体积和容积的区别与联系。 外量。
(1)不同点。 记住二者不同处,计算才能少
①意义不同。 失误。
Ⅰ.物体所占空间的大小叫作物体的体积。
Ⅱ.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
②测量方法不同。
Ⅰ.求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高
或棱长。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页Ⅱ.求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高
或棱长。
③单位名称不完全相同。
Ⅰ.体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。
Ⅱ.容积一般用体积单位,但在计量液体(如药水、汽
油等)的体积时,常用升或毫升作单位。
(2)相同点。
计算公式相同。长方体(或正方体)的体积(或容积)=
底面积×高。
二 分 数 乘 法
一、分数与整数相乘的意义和计算方法
巧记:
1.整数乘法的意义。 分数乘整数,计算很简单;
求几个相同加数的和的简便运算。 分子乘整数,分母不用变;
2.(1)分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都 计算想简便,约分要在先;
结果要想准,分数化最简。
是求．几．个．相．同．加．数．的．和．的．简．便．运．算．。．
(2)分数与整数相乘的计算方法:用．分．数．的．分．子．和．整．
数．相．乘．的．积．作．分．子．．,分．母．不．变．。．能．约．分．的．要．先．约．分．．,再．计．
算．。． 在解决求一个数的几分之几
是多少的实际问题时,关键是要弄
二、求一个数的几分之几是多少
清哪个量是单位“1”。
1.求．一．个．数．的．几．分．之．几．是．多．少．．,用．乘．法．计．算．。．
2.求一个数的几倍与求一个数的几分之几实质上是
相同的,它们都表示两个数的倍比关系。只是在用整数或
小数表示这种倍比关系时,要说成一个数是另一个数的
几倍,而在用分数表示时,要说成一个数是另一个数的几 当相乘的两个分数的分子和
分母能够约分时,可以先约分,再计
3
分之几。如一个数的1.5倍,也可以表示为一个数的 。 算。
2
因此,求一个数的几倍是多少与求一个数的几分之几是
多少都可以用乘法计算。 找准每步计算的单位“1”是解
答连续求一个数的几分之几是多
三、分数乘分数的意义和计算方法
少的实际问题的关键。
1.分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多
少。
2.分．数．和．分．数．相．乘．．,用．分．子．相．乘．的．积．作．分．子．．,分．母．相． 易错点:比较积与第一个因数
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第6页的大小只考虑按第二个因数的大
乘．的．积．作．分．母．。．能．约．分．的．要．先．约．分．．,再．计．算．。．
小进行判断,这是不对的,一定要注
3.整数可以看成分母是1的分数,所以分数与整数相
意前提条件是“第一个因数”不能为
乘,也可以看成是分数与分数相乘,即分数与分数相乘的
0。
计算方法适用于分数与整数相乘。
四、连续求一个数的几分之几是多少的解题方法及
分数连乘的计算方法
1.连续求一个数的几分之几是多少的解题方法:先
求出中间的间接量,再求出最后要求的量。
2.分数连乘的计算方法:分子和分子相乘的积作分
单独一个数不能称为倒数。因
子,分母和分母相乘的积作分母。能约分的要先约分,再 为互为倒数的两个数是相互依存
计算。 的。
五、积与因数的大小关系
积与因数的大小关系:
a×b=c(a不为0),当b>1时,c>a;当b<1时,c<a;当
b=1时,c=a。
六、倒数的意义
1.意义。
乘．积．是．1．的．两．个．数．互．为．倒．数．。．
2.理解“互为倒数”。 注意:互为倒数的两个数不能
“互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,
用等号连接,即把一个数和它的倒
不能单独说某个数是倒数。
七、求倒数的方法
3
数不能表示成相等关系。例如:求
1.观察互为倒数的两个数的分子、分母的特点,发现 7
互为倒数的两个数,它们分子、分母的位置是互换的。 3 7 3 7
的倒数。可写成 → 或 的倒数是 ,
2.求一个数的倒数的方法。 7 3 7 3
(1)求真分数、假分数的倒数,可以直．接．调．换．这．个．分． 而不能写成 3 = 7 。
7 3
数．的．分．子．、．分．母．的．位．置．。．
3 7
7 3
3 2
2 3
(2)求一个整数(0除外)的倒数,先把整数看作分母是
1的假分数,再调换这个分数分子、分母的位置。
(3)求小数的倒数,先把小数化成最简分数,再调换分
子、分母的位置,也可以根据倒数的意义来找。
巧记:
例如:0.8
4 5
,所以
学．习．倒．数．需．牢．记．．,
5 4
相．互．关．系．不．可．弃．。．
5
0.8的倒数是 ,或0.8×1.25=1,所以0.8的倒数是1.25。
4 两．数．相．乘．积．为．．“1．．”．,
(4)求带分数的倒数,先把带分数化成假分数,再调换 子．母．颠．倒．即．完．毕．。．
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第7页分子、分母的位置。
1 16 3
例如:5 ,所以
3 3 16
1 3
5 的倒数是 。
3 16
3.特殊数的倒数。
(1)1．的．倒．数．是．1．。．
因为1×1=1,所以1的倒数是1。
(2)0．没．有．倒．数．。．
因为0与任何数相乘都得0,没有一个数与0相乘的积是
1,所以0没有倒数。
三 分 数 除 法
一、分数除以整数和一个数除以分数的计算方
把除法转化为乘法,是由一种
法
形式变换成另一种形式,而其本身
1.分数除以整数的计算方法。
的大小不变。
(1)整数除法的意义:已知两个因数的积和其中一个
因数,求另一个因数的运算。
(2)分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已 易错点:在进行计算时,把除号
知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
(3)分．数．除．以．整．数．．(0．除．外．．)．,等．于．分．数．乘．这．个．整．数．的．倒．
变为乘号后忘记变为除数的倒数。
数．。．
2.整数除以分数的计算方法。 如 4 ÷ 2 = 4 × 2 = 8 ,应为 4 ÷ 2 = 4 × 5 =2。
5 5 5 5 25 5 5 5 2
整．数．除．以．分．数．．,等．于．整．数．乘．这．个．分．数．的．倒．数．。．
3.分数除以分数的计算方法。
分数除以分数,可以用被除数乘除数的倒数来计算。
举
4.推导分数除法的计算方法。
(1)利用商不变的规律进行推导。 7 14 7 15 14 15 5 5
例: ÷ = × ÷ × = ÷1=
9 15 9 14 15 14 6 6
被除数和除数同时乘除数的倒数,让除数变为1。
(2)利用等式的基本性质进行推导。 被除数(0除外)与商的大小关
5.分数除法的计算方法。 系取决于除数与1的大小关系。
甲．数．除．以．乙．数．．(0．除．外．．)．,等．于．甲．数．乘．乙．数．的．倒．数．。．
6.商与被除数的大小关系。
技巧:
小于1的数→商大于被除数 (1)找出单位“1”的量。
(2)看谁和单位“1”的量相比,找
一个数(0除外)除以 1→商等于被除数
出比较量和比较量对应的几分之
大于1的数→商小于被除数
几。
注意:有时一道题中的单位“1”
二、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解
不止一个,有两个或多个。一个数
题方法
量在某一个条件中是单位“1”,在另
1.已知一个数的几分之几是多少,求这个数,是把这
一个条件中有可能就不是单位“1”,
个数看作单位“1”,单位“1”的量是未知的,可以设单位“1”
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页的量为x,根据乘法的意义列方程解答。 解题时要认真比较,找准几分之几
2.可以用算术法解答“已知一个数的几分之几是多 对应的单位“1”,才能正确解答。
少,求这个数”的应用题。算术解法和方程解法都要根据 巧记:
数量之间的相等关系来列式。 解决问题并不难,读懂题意最
3.比较分数乘法应用题与分数除法应用题的异同: 关键。
结构特征 重点找准单位“1”,画出线段破
比较量 难关。
应用题类 单 比
对应 计算方法 根据等量列方程,解答完毕要
型 位 较
的几分 检验。
“1” 量
之几
求一个 乘法:单位
数的几 已 未 “1”的量×
已知
分之几 知 知 几分之几
是多少 =比较量
求一个
除法:比较
数是另
已 已 量÷单位
一个数 未知
知 知 “1”的量=
的几分
几分之几 注意:计算分数连除时,一定要
之几
连续地乘除数的倒数,不要只把第
除法:比较
一个除数变成它的倒数,其他除数
已知一 量÷几分
只变符号不变数。
个数的 之几=单
几分之 未 已 位“1”的量
(1)两个数的比可以表示两个
已知
几是多 知 知 方程:单位
少,求这 “1”的量×
数之间的倍数关系。如果汁有2
个数 几分之几
=比较量
三、分数连除和乘除混合运算 杯,牛奶有3杯,果汁与牛奶杯数的
1.乘除混合运算的计算方法。
计算分数乘除混合运算时,先把其中的除法转化为 比是2比3,可以理解为果汁有2
乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。
2.连除运算的计算方法。 份,牛奶有3份;也可以理解为果汁
计．算．分．数．连．除．时．．,先．把．其．中．的．除．法．转．化．为．乘．法．．,再．按．
2
照．分．数．连．乘．的．方．法．进．行．计．算．。． 的杯数相当于牛奶的 ,牛奶的杯
3
四、比的意义
1.比的意义及各部分名称。 数相当于果汁的 3 。
2
(1)比的意义:两．个．数．相．除．又．叫．作．两．个．数．的．比．。．
(2)两个数的比可以表示两个
(2)比的读、写方法。
数相除。
“比”可以用比号“∶”来代替,也可以写成分数的形式,
3
两种形式的比都读“几比几”。如3 比2,写作3∶2或 ,读 举例:鱼缸里有3条红金鱼,5
2
条黑金鱼,黑金鱼和红金鱼的数量
作3比2。 比是( )。
错解:3∶5
(3)比的各部分名称。
正解:5∶3
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第9页比值是一个数,它可以是分
数、小数或整数。
注意:求两个不同单位的同类
量的比,要先把单位统一。如小明
(4)比是有序的。
看一本漫画书用了1小时,小东看
求一个量和另一个量的比,则前一个量是比的前项,
同一本漫画书用了43分钟,小明
后一个量是比的后项。
和小东所用的时间比是( )。
2.比值的意义和求法。
错解:1∶43
(1)比值的意义:比的前项除以后项所得的商。
正解:60∶43
(2)求比值的方法:用．比．的．前．项．除．以．后．项．。．
3.比和比值的联系与区别。
因．为．除．数．和．分．母．都．不．能．为．0．．,所．以．
(1)比和比值的联系:都可以用分数形式表示。
比．的．后．项．也．不．能．为．0．。．
(2)比和比值的区别:①比表示两个数的倍比关系,比
(cid:1853)
值是一个数值;②比只能写成a∶b或 的形式,而比值可以
(cid:1854)
是分数、小数或整数。
4.比与分数、除法的关系。
联系:比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分
数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分
数值、商。
区别:比是一种关系;分数是一类数;除法是一种运
算。
5.比与除法、分数之间的区别。
(1)意义不同:比是表示两个量(或数)的一种关系;除
法是一种运算;分数则是一类数。
(2)表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分
数表示;比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的
比。
(3)结果表达不同:除法一般要求出商;比只有要求计
算时才求出比值;分数本身就是一个数值,无需计算。
6.反比:把一个比的前项作为后项,后项作为前项,所
得的比和原来的比互成反比。如3∶5是5∶3的反比,5∶3
知识巧记:
也是3∶5的反比。互成反比的两个比的比值互为倒数。
比的意义很重要,记忆方法有
7.复比:把两个(或两个以上)比的前项相乘的积作为
诀窍。
前项,后项相乘的积作为后项,所成的比叫作这些比的复
两数相除即为比,除号变点挺
比。如甲、乙两人的速度比是3∶4,时间比是5∶6,那么他
奇妙。
们所行的路程比就是(3×5)∶(4×6)=5∶8,路程比就是速度
前项后项和比值,位置顺序不
比和时间比的复比。复比的比值等于组成它的各个单比
能调。
比值的乘积。
分数除法比相联,相互关系要
8.连比:三个(或三个以上)量组成的比叫作连比。如
记牢。
果甲与乙的比是a∶b,乙与丙的比是b∶c,那么甲、乙、丙
三个量的比可以写作a∶b∶c,a∶b∶c就叫作甲、乙、丙三
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第10页个量的连比。可以把几个比组成连比,也可以把连比分成
几个比。比可以看作比的前项除以后项,但是连比不能看
作组成连比的几个数连除。连比与连除的含义是不同
的。
化简比的方法:可以用求比值
五、比的基本性质
的方法化简比。
1.比的基本性质。
判断一个比是不是最简单的
比．的．前．项．和．后．项．同．时．乘．或．除．以．相．同．的．数．．(0．除．外．．)．,比． 整数比的方法:看这个比的前项和
值．不．变．。．这．是．比．的．基．本．性．质．。． 后项是不是只有公因数1。
2.化简比。
1 1
举例:化简比 ∶ 。
2 6
比的前项和后项
1 1 1 1
错解: ∶ = ×6 ∶ ×6 =3
分数比 同时乘两分数分 2 6 2 6
母的最小公倍数 正解: 1 ∶ 1 = 1 ×6 ∶ 1 ×6 =3∶1
整数比 2 6 2 6
比的前项和后项
易错点:误认为化简同类量的
小数比 的小数点向右移 比时只要化为最简整数比就是正
确的。一定要注意先统一单位,再
动相同的位数
化简,但化简后的比不能有单位。
如化简0.8 L∶1.4 mL。
比的前项和后项 错解:4L∶7mL
正解:4000∶7
同时除以它们的 最简单的
最大公因数
解答按比分配的问题时,一定
整数比 要找准分配的总量和分配的份数。
如一个长方形的周长是84厘米,
化．简．比．的．结．果．是．一．个．比．．,不．是．一．个．数．。．
长与宽的比是4∶3,这个长方形的
3.化简比与求比值的区别:
长和宽各是多少厘米?
计算(化
方法 结果 因为周长是两个长与两个宽
简)依据
把比的 的和,所以应该先用周长84除以2
前项和 后,再按比分配。
化 后项同 是一个最
比的基本
简 时乘或 简单的整
性质
比 除以相 数比
同的数(0
除外)
用比的 是一个数,
求
前项除 可以是分
比 比的意义
以比的 数、小数
值
后项 或整数
六、按比分配问题的意义及解题方法
1.在．工．农．业．生．产．和．日．常．生．活．中．．,常．常．需．要．把．一．个．数．
量．按．照．一．定．的．比．来．进．行．分．配．．,这．种．分．配．方．法．通．常．叫．作．按．
比．分．配．。．
2.按比分配问题的解题方法。
(1)用整数乘、除法解决问题:①求出总份数;②求出
每份是多少;③求出各部分的数量。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第11页(2)用分数乘法解决问题:①先根据比求出总份数;②
再求出各部分量占总量的几分之几;③最后求出各部分
的数量。
3.解决按比分配问题时,无论总数分成几部分,解题
方法都是相同的。
四 解决问题的策略
用假设的策略解决实际问题
在保证满足总量的前提下,也
在解决两个或两个以上的未知数量的问题时,按照一般
可以假设两种量分别是多少进行
的解题思路不易找到正确的解答方法,此时可以采用“假
推理。
设”的策略来解决问题。先假设全部为一种量,并从假设
后数量关系的变化情况出发,结合示意图先推算出其中
一种量,再求另一种量。
五 分数四则混合运算
一、分数四则混合运算
1.分数四则混合运算的运算顺序。
当算式中含有多个二
(1)分．数．四．则．混．合．运．算．的．运．算．顺．序．与．整．数．四．则．混．合．运．算．的． 级运算时,二级运算可以同
运．算．顺．序．相．同．。． 时运算。如
(2)在一个算式里,如果只含有同级运算,要按照从左往右的 7 4 11
×4+ ×
8 11 16
顺序进行计算。
(3)在一个算式里,如果含有两级运算,要先算二级运算(乘法 7 1
= +
2 4
或除法),后算一级运算(加法或减法)。
(4)在一个算式里,如果有括号,要先算小括号里面的,再算中 15
=
4
括号里面的,最后算中括号外面的。
2.分数四则混合运算的简便运算。
(1)整．数．的．运．算．律．或．运．算．性．质．对．于．分．数．同．样．适．用．。．
举例:计算
5
-
3
+
1
。
6 5 5
①加法交换律:a+b=b+a
②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 错解: 5 - 3 + 1
6 5 5
③乘法交换律:a×b=b×a
5 3 1
④乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) = - (cid:3397)
6 5 5
⑤乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
1
(2)恰当地运用运算律或运算性质可以使计算简便。 =
30
在加减混合运算中,加括号或去括号时要注意括号前面的
5 3 1
符号,如果是加号,括号里面不变号;如果是减号,括号里面加变 正解: - +
6 5 5
减、减变加。
5 3 1
二、用乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题 = - ‐
6 5 5
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第12页13
1.已知总量及一个部分量占总量的几分之几,求另一个部分 =
30
(cid:1855) (cid:1855)
量时,可以列形如a-a×或a×1‐ 的算式解题(b≠0)。
(cid:1854) (cid:1854) 找准单位“1”是关键。
2.已知一个量及另一个量比它多(或少)几分之几,求另一个
分析问题时,先抓住关
(cid:1855) (cid:1855) 键词语,如是、比、多、少、
量时,可以列形如a±a×或a×1± 的算式解题(b≠0)。
(cid:1854) (cid:1854) 增加、减少、提高、降低、
扩大、缩小等,再根据题意
进行正确解答。
六 百 分 数
一、百分数的意义和读写方法
1.意义:一．个．数．是．另．一．个．数．的．百．分．之．几．的．数．．,叫．作．百． 写“%”时,两个圈要写得小些,
分．数．。．百．分．数．又．叫．作．百．分．比．或．百．分．率．。． 以免与数字“0”混淆。
2.百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子
后面加上“%”来表示。
百分数读作“百分之几”,不读
3.百分数的读法:先读百分号(分母),读成“百分之”;再
作“一百分之几”。
读百分号前面的数(分子),是几就读几。
4.分数与百分数的区别:
分数 百分数
分数是把单
位“1”平均分
表示一个数是另
成若干份,表
一个数的百分之
示这样的一
几的数,叫作百分 注意:百分数只表示两个数量
份或几份的
意 数。百分数又叫
数,它既可以
义 作百分比或百分 间的倍比关系,不能用来表示具体
表示两个数
率。它只表示两
量间的倍比
个数量间的倍比
的数量,后面不带单位名称。如把
关系,又可以
关系
表示具体数
20
值 千克写成20%千克是错误的,
100
百分数的分母固
定是100,并且用 因为具体的数量不能用百分数表
分数的表现
百分号表示;分子
形式有真分
表 可以是整数或小 示。
数、假分数和
现 数;分子可以大于
带分数,计算
形 分母,也可以小于
结果一般要
式 或等于分母;百分
化成最简分
数不能约分,也不
数
能写成带分数的
形式
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第13页如果表示具
体的数量,就
单 要带单位名 百分数只表示两
位 称;如果表示 个数量间的倍比
名 两个数量间 关系,后面不带单
称 的倍比关系, 位名称
就不带单位
名称 当小数点向右移动两位时,得
分数主要是 百分数主要用于
应
在测量和计 日常生活中特定 到的数就扩大到原来的100倍,再
用
算得不到整 的百分率及调
范
数结果时使 查、统计、分析 添上百分号,又缩小到得到的数的
围
用 和比较
二、百分数和小数的互化 1
,所以当添上百分号时,百分号
100
1.小．数．改．写．成．百．分．数．．,把．小．数．点．向．右．移．动．两．位．．,如．果．
位．数．不．够．．,用．．“0．．”补．位．．,同．时．在．后．面．添．上．百．分．号．。． 前的数要扩大到原来的100倍。
2.百．分．数．改．写．成．小．数．．,把．百．分．号．去．掉．．,同．时．把．小．数．点．
向．左．移．动．两．位．．,如．果．位．数．不．够．．,用．．“0．．”补．位．。．
3.百分数和小数可以互化,这只是从数值上看,在具
体运用时,这两者的意义不完全一样,不能互相代替。如 不是所有的分数都能改写成
分母是100的分数,只有能改写成
一个数的75%是75不能写成一个数的0.75是75。又
有限小数的分数,才可以改写成分
如“求比68多25%的数”和“求比68多0.25的数”的意义
母是100的分数。
完全不同。这是因为百分数是表示两个数的倍比关系,
而小数表示的是数值。如比68多25%的数表示为
一个百分数去掉百分号后,所
68×(1+25%),而比68多0.25的数表示为68+0.25。
得到的数就扩大到原来的100倍。
三、百分数和分数的互化
百分数化成分数要约分成最简分
1.分．数．改．写．成．百．分．数．．,一．般．先．把．分．数．改．写．成．小．数．．(除．
数。百分数、小数、分数之间相互
不．尽．时．．,一．般．保．留．三．位．小．数．．)．,再．把．小．数．改．写．成．百．分．数．。． 转化,只是数的表示方式发生变化,
2.把百分数改写成分数时,可以先把百分数改写成 数的大小不变。
分母是100的分数,再进行化简;分子是小数时,先利用分
举例:
数的基本性质把分子、分母同时扩大到原来的若干倍,
判断:10克糖溶解在100克水
把分子化成整数,再进行约分。
中,糖占糖水的10%。( )
3.能化成有限小数的分数,分母中只含有质因数2和
错解:√
5,否则就不能化成有限小数。判断一个分数能不能改写
此题错在单位“1”(标准量)找错
成有限小数,先要看这个分数是不是最简分数,不是最简
了。此题中的单位“1”应该是糖水
分数的,要把它化成最简分数后再运用这一规律来判断。
的总质量,而不是水的质量。
四、求一个数是另一个数的百分之几的实际问题
正解:✕
1.求一个数是另一个数的百分之几的解题方法。
(1)百分数表示一个数是另一个数的百分之几,也就
出勤率是百分率的一种,公式
是“一个数是另一个数的几分之几”的特殊的表示方法,因 本身应该用百分数的形式表示。如
此,求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一 果不乘100%,公式只是分数形式,
个数是另一个数的几分之几的解题方法相同,都用除法 乘100%既保持数值不变,又是百
计算。 分数的形式。计算时,“100”参与计
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第14页算,“%”保留。
(2)解“求一个数是另一个数的百分之几”的实际问题,
出勤率、成活率、发芽率等生
用除法计算,用一．个．数．÷．另．一．个．数．。
活中特定的百分率不能超过
(3)求一个数是另一个数的百分之几,必须找准单位
100%。
“1”。
巧记:
2.求简单的百分率。
各种率,挺简单,计算形式记心
(1)求出勤率等百分率的问题,实际上就是求一个数 间。
是另一个数的百分之几。 除法结果是小数,最后化成百
(2)常见的百分率。 分数。
实际出勤人数
出勤率= ×100% 百分数实际问题的解题思路与分
应出勤人数
数实际问题的解题思路相同。求一
个数比另一个数多(或少)百分之
成活棵数
成活率= ×100% 几,就是求两个数的差量占另一个
种植总棵数
数(单位“1”)的百分之几。
发芽种子数
发芽率= ×100%
试验种子总数
应缴纳营业税税额=营业额×
合格产品数
合格率= ×100%
营业税税率
产品总数
五、求一个数比另一个数多(或少)百分之几的实际
问题
1.求甲数比乙数多百分之几的实际问题的解题方
法:．(甲．数．．-乙．数．．)÷．乙．数．或．甲．数．÷．乙．数．．-1．。
注意:任何一种存款,在计算利
2.求甲数比乙数少百分之几的实际问题的解题方
息时,都要乘存入时间。如王叔叔
法:．(乙．数．．-甲．数．．)÷．乙．数．或．1．．-甲．数．÷．乙．数．。
把2000元存入银行,存期三年,年
3.解题关键:确．定．单．位．．“1．．”。 利率为3.75%。到期后可得利息多
少元?应是
2000×3.75%×3=225(元),而不是
2000×3.75%=75(元)。
六、纳税和利息问题
1.应纳税额的计算方法。
(1)求．应．纳．税．额．实．际．上．就．是．求．一．个．数．的．百．分．之．几．是．
多．少．．,用．乘．法．计．算．．,即．应．纳．税．额．=．收．入．额．×．税．率．。．
(2)当纳税的方法不同且税率也不同时,要先判断应
纳税额是按哪个税率缴纳的税款。如果收入中有不纳税
易错点:误认为打几折就是减
的部分,那么应纳税额÷税率=应纳税所得额,收入额=应
少(降低)百分之几。如一件上衣原
纳税所得额+不纳税金额。
价180元,现在打七折出售,比原价
2.“本金”“利息”及“利率”的含义。
降低了多少元?列式为
(1)本金:存．入．银．行．的．钱．叫．作．本．金．。．
180×70%=126(元),这样是不对
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第15页(2)利息:取．款．时．银．行．除．还．给．本．金．外．．,另．外．付．的．钱．叫．作． 的,只求出了现价,没有求出现价比
原价降低了多少元,应为
利．息．．,也．叫．应．得．利．息．。．
180-180×70%=54(元)。
(3)利率:利．息．占．本．金．的．百．分．率．叫．作．利．率．,按年计算的
叫作年利率,按月计算的叫作月利率。
商品打折后,比原价降低的金
3.利息的计算方法。 额=原价-现价。
利息=本金×利率×时间
4.本息的计算方法。
本息=本金+利息 找准等量关系是列方程解决
七、折扣问题 实际问题的关键。
1.折扣问题的解题方法。
商店有时要把商品按原价的百分之几出售,通常称
为打折出售。几．折．就．是．原．价．的．百．分．之．几．十．．,几．几．折．就．是．原．
价．的．百．分．之．几．十．几．。．
2. “已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的实
际问题的解题方法:可以列方程解答,先找出单位“1”的量,
并设为x,再根据等量关系列方程。
3.表示一个数是另一个数十分之几的数,叫作成数。
通常用在工农业生产中表示生产的增长状况。“一成”就
是十分之一,改写成百分数就是10%;“二成五”就是十分
之二点五,改写成百分数就是25%。
八、列方程解决稍复杂的百分数实际问题
1.稍复杂的百分数实际问题的解题方法。
在实际问题中,单位“1”未知时,通常设单位“1”为x,先
找出题中的等量关系,再列方程解决问题。
2.解决有关百分数的实际问题,在找准单位“1”的同时,还
要看清所要求的问题与单位“1”的关系。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第16页
