文档内容
一 分 数 乘 法
一、分数乘整数
1.分数乘整数的意义。
分数乘整数的意义与整数乘法的意
求几个相同加数的和的简便运算。
义相同。
2.分数乘整数的计算方法。
易错点:分数与整数相乘时,误将分子
用．分．数．的．分．子．与．整．数．相．乘．的．积．作．分．子．．,分．母．不．变．。．当．整．
与整数约分,这是不对的,一定要注意是分
数．与．分．母．能．约．分．时．．,可．以．先．约．分．．,再．计．算．．,结果不变。 母与整数约分。
举例:计算 ×6。
3.分数乘整数的计算方法同样适用于整数乘分数。
错解: ×6= × =
4.一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多
少。 正解: ×6= × =
5.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算,即这个
数乘几分之几。
6.单位“1”的量×比较量占单位“1”的几分之几=比较量。
二、分数乘分数 举例:计算 × 。
1.分数乘分数的意义。 错解: × =
求一个分数的几分之几是多少。
正解: × =
2.分数乘分数的计算方法。
用．分．子．和．分．子．相．乘．的．积．作．分．子．．,分．母．和．分．母．相．乘．的．积．作．
分．母．。．计算分数乘分数时,能约分的应先约分,再计算。
3.分数乘分数的特殊情况。
(1)分数乘分数的计算方法也适用于小数乘分数,即先把
小数化成分数,再计算。例如,0.5× = × = 。
(2)分数乘分数,这里的分数也可以是带分数,计算时要先
把带分数化成假分数。例如,1 × = × = 。
4.因数与积的关系。
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数; 易错点:混淆单位“1”的量。
一个数(0除外)乘大于0且小于1的数,积小于这个数; 举例:甲数的 正好是乙数,这句话中
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。 单位“1”的量是( )。
三、分数连乘 错解:乙数
1.连续求一个数的几分之几是多少的实际问题,解题关 正解:甲数
键是理．清．每．一．步．中．谁．是．单．位．．“1．．”．,谁．是．谁．的．几．分．之．几．．,同．时．明．确．
题．中．的．数．量．关．系．。．
2．．.一．般．题．目．中．和．．“谁．．”比．．,．“谁．．”就．是．单．位．．“1．．”的．量．。．
(1)一种是题目里有典型特征的“比”字,“比”后面的量,即
为单位“1”的量。
(2)另一种是题目中没有“比”字,但是题目中的两个数量
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页可以看作两数的比较关系,如“占”“是”“相当于”后面的量即为
单位“1”的量。
3.分．数．连．乘．的．计．算．方．法．．:用分子相乘的积作分子,用分母
相乘的积作分母;如果有整数,用整数与分子相乘的积作分
子,用分母相乘的积作分母。计算过程中能约分的,要先约
分,再计算。
四、倒数
1.倒数的意义。 易错点:倒数表示的是乘积是1的两
乘积是l的两个数互．为．倒．数．。“互为倒数”是指两个数之 个数相互依存的关系,不是数值相等的两
个数的数量关系,因此不能把互为倒数的
间是相互依存的,一个数不能称为倒数。
两个数用等号连接。
例如, × =1,可以说 和 互为倒数,也可以说 的倒数是 ,
或者说 的倒数是 。
举例:写出 的倒数。
2.求一个数的倒数的方法。
错解: = 。
(1)求真．分．数．、．假．分．数．的倒数:调．换．分．子．、．分．母．的．位．置．。
正解: 的倒数是 。
(2)求整．数．的倒数:先把整数(0除外)看．作．分．母．是．1．的．假．
分．数．,再调换分子、分母的位置。
(3)求带分数的倒数:先．把．带．分．数．化．为．假．分．数．．,再．求．假．分．数．
的．倒．数．。．
3.真．分．数．的．倒．数．大．于．1．．,假．分．数．的．倒．数．等．于．或．小．于．它．本．
身．。．
4.1．的．倒．数．是．1．．,0．没．有．倒．数．。．
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页二 分 数 除 法
一、分数除法的意义和分数除以整数
1.分数除法的意义。
无论是分数除以整数,还是分数除
分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因
以分数,都可以转化成被除数乘除数的
数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。
倒数。
2.一个带分数除以整数,先把这个带分数化成假分数,再按
照分数除以整数的计算方法进行计算。例如,4 ÷4= × = 。 易错点:在除法算式中,易忽略除
二、一个数除以分数 数不能为0这个条件。
1.一个数除以分数的计算方法。 举例:
(1)计算方法:一个数除以分数,等于乘分数的倒数。 判断:甲数除以乙数,等于甲数乘
(2)将除法转化成乘法的要点。 乙数的倒数。( )
①被除数不变。②除号变乘号。③除数变成它的倒数。 错解:√
2.被除数与商的规律。 正解:✕
(1)当被除数不等于0时,0<除数<1,商>被除数。例 分析:此题错在忽略了除数不能为
如, ÷ > 。除数=1,商=被除数。例如, ÷1= 。除数>1,商<被除 0这个条件。
数。例如, ÷ < 。
(2)当被除数=0,除数≠0时,商=被除数。例如,0÷ =0。
三、分数除法的计算方法
甲．数．除．以．乙．数．．(0．除．外．．)．,等．于．甲．数．乘．乙．数．的．倒．数．。．
四、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的简单实际
问题
1.“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的简单实际问
题的解题方法。
(1)方程法。
①找出单位“1”,设单位“1”的量为x。 易错点:用算术法解分数除法应用
②找出题中的等量关系式。 题时,先找准单位“1”的量,再根据分数
③列出方程并解答。 除法的意义列式解答。易把除法算式
列．方．程．解．题．的．关．键．是．找．出．题．中．的．等．量．关．系．。． 列为乘法算式。
举例:小丽家养了一些兔子,灰兔
(2)算术法。
有12只,正好是白兔只数的 。白兔有
①找出单位“1”。
②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几。 多少只?
③列出除法算式并解答。 错解:12× =9(只)
用．算．术．法．解．除．法．应．用．题．的．关．键．是．找．准．已．知．量．占．单．位．．“1．．”的． 答:白兔有9只。
正解:12÷ =16(只)
几．分．之．几．。．
答:白兔有16只。
2.算术法与方程法的区别。
用算术法解分数除法的实际问题需要逆向思考,从“已知一
个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系;用方
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页程法解分数除法的实际问题,只要根据分数乘法的意义顺向思
考,找到等量关系式列出方程并解答即可,方程法比算术法更易
于理解。
五、分数四则混合运算及简便算法
1.分数四则混合运算的运算顺序。 易错点:同一级运算,按照从左到
(1)分数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的 右的顺序计算。带括号的,要先算括号
运算顺序相同。 里面的,再算括号外面的。同级混合运
如果算式中含有两级运算,要先算乘、除法,后算加、减法; 算(没有括号)要按照从左到右的顺序
如果只含有同一级运算,要按照从左到右的顺序计算;如果有括 计算。
号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面 举例:计算 ×8÷ ×8。
的。
错解: ×8÷ ×8
(2)在计算过程中能约分的要先约分,这样可以使计算简
= × ÷ ×
便。
=3÷3
2.整数乘法运算定律在分数四则混合运算中的运用。
=1
整．数．乘．法．运．算．定．律．在．分．数．四．则．混．合．运．算．中．同．样．适．用．。．在分
正解: ×8÷ ×8
数四则混合运算中,适合整数乘法运算定律的,使用整数乘法运 = × × ×8
算定律,可以使计算简便。 =64
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)c=ac+bc
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页三 百 分 数
一、百分数的意义及读、写方法
1.百分数的意．义．:表示一个数是另一个数的百分之几的数,
叫作百分数。百分数又叫作百．分．比．或．百．分．率．。 “%”的书写:两个小圈写得要小些,
以免与数字0混淆。
2.百分数的写．法．:百分数通常不写成分母是100的分数形
式,而是在原来分子的后面添上百分号“%”来表示。写百分数时, 易错点:读百分数时,当百分号前
是小数时,易漏读小数点前面的0,把小
百分号前面的数按整数、小数的写法来写,在写出的数的后面
数读成整数。写百分数时,易把分子写
加百分号。
错。
3.百分数的读．法．:读百分数时,百分号前面的数按整数、小
举例:读、写出下面各百分数。
数的读法来读,只是在前面加“百分之”。 0.645%读作: ,
二、百分数和分数的联系与区别 百分之五百写作: 。
1.百分数和分数的联系:都可以表示两个数之间的倍数关 错解:百分之六百四十五
系。 5%
2.百分数和分数的区别。 正解:百分之零点六四五
(1)意义不同,百分数只表示两个数之间的倍数关系,不能带 500%
单位名称;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数之间的
倍数关系,表示具体的数时可以带单位名称。
(2)百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不
能是小数,只能是除0以外的自然数;百分数不可以约分,分数一
般要约分成最简分数。 易错点:百分数只能表示两个数之
(3)应用范围不同,百分数在生产和生活中常用于调查、统 间的倍数关系,不能表示具体数量,不
计、分析和比较,分数常常在计算、测量中得不到整数结果时 能带单位名称。
使用。 举例:
拓展提高 判断:一块布长27%米。
1.表示一个数是另一个数的千分之几的数,叫作千分数,千 ( )
分数也叫作千分率。与百分数一样,千分数也有千分号,千分号 错解:√
用“‰”表示。 正解:✕
2.认识成数。
(1)成数的意义。
“成数”广泛应用于工农业生产和日常生活,用来表示增减情
况。如“今年小麦比去年增产10%”,可以说成“今年小麦比去年
增产一成”。
(2)成数与百分数的关系。
几成表示十分之几,也就是百分之几十。如“一成”是十分之
一,改写成百分数就是10%;“二成”是十分之二,改写成百分数就
是20%;“三成五”是十分之三点五,改写成百分数就是35%。 现价=原价×折扣
3.认识折扣。
(1)折扣的意义。 易错点:把百分数化成小数,去掉
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页“折扣”是指商家降价出售商品,即按原价的百分之几十或百 百分号后,把小数点向左移动两位,位
分之几出售。 数不够时,用“0”补足,易出现漏补“0”的
(2)折扣与百分数的关系。 情况。
几折就是原价的百分之几十,几几折就是原价的百分之几 举例:把5.4%化成小数。
十几。如七五折就是75%,九折就是90%。 错解:5.4%=0.54
三、百分数和小数、分数的互化 正解:5.4%=0.054
1.百分数和小数的互化。 易错点:把小数化成百分数,是把
(1)百分数化成小数的方法:把．百．分．号．去．掉．．,同．时．把．小．数．点．向． 小数点向右移动两位,而不是去掉小数
点。
左．移．动．两．位．．,位．数．不．够．时．．,用．．“0．．”补．足．。．
举例:把0.0326化成百分数。
(2)小数化成百分数的方法:把．小．数．点．向．右．移．动．两．位．．,同．时．在． 错解:0.0326=326%
正解:0.0326=3.26%
后．面．添．上．百．分．号．．,位．数．不．够．时．．,用．．“0．．”补．足．。．
2.百分数和分数的互化。
(1)分数化成百分数的方法:先．把．分．数．化．成．小．数．．,除．不．尽．时．．,通．
常．保．留．三．位．小．数．．,再．化．成．百．分．数．。．
(2)百分数化成分数的方法:先．把．百．分．数．化．成．分．数．．,再．把．能．约．
分．的．约．成．最．简．分．数．。．分子是小数的百分数化成分数,先用分数
的基本性质,把百分数化成分子是整数的分数,再化简。如
12.5%= = = 。
四、生活中的百分数
1.求一个数是另一个数的百分之几的实际问题。
求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一个数是
另一个数的几分之几的解题方法相同,用“一个数÷另一个数”,然
后将计算结果化成百分数。
2.求百分率。 出勤率是百分率的一种,公式本身
应该用百分数的形式表示。如果不乘
100%,公式只是分数形式,乘100%既
保持数值不变,又是百分数的形式。
拓展提高 出勤率、成活率、合格率、发芽
1.生活中各种百分率的意义。 率等最高是100%,完成率、增长率、
发芽率:发芽种子数占试验种子总数的百分之几。 利润率等可以超过100%。
出米率:出米的质量占稻谷的质量的百分之几。
及格率:及格人数占考试总人数的百分之几。
2.各种百分率的计算方法。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第6页关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第7页四 解 决 问 题
一、“求一个数的几分之几(或百分之几)是多少”的实际问题
1.“已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个部分量是多
少”的实际问题的解题方法。 “已知一个部分量占总量的百
(1)单位“1”的量-单位“1”的量×一个部分量占单位“1”的几分之 分之几,求另一个部分量是多少”的
几=另一个部分量。 实际问题的解题方法与“已知一个
(2)单位“1”的量×(1-一个部分量占单位“1”的几分之几)=另一个 部分量占总量的几分之几,求另一
部分量。 个部分量是多少”的实际问题的解
2.“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的实际问题 题方法相同。
的解题方法。 “已知一个数比另一个数多百
(1)单位“1”的量+单位“1”的量×一个数比单位“1”的量多的几分 分之几,求这个数”的解题方法与“已
之几=这个数。 知一个数比另一个数多几分之几,
(2)单位“1”的量×(1+一个数比单位“1”的量多的几分之几)=这 求这个数”的解题方法相同。
个数。
3.“已知一个数比另一个数少几分之几,求这个数”的解题思路
易错点:在解答百分数问题时,
与“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的解题思路相同,
一定要找准单位“1”,单位“1”的量未
只不过在列式时把加法换成减法。
知,可以用除法求出单位“1”的量。
二、“已知一个数的百分之几(或几分之几)是多少,求这个数”
举例:李强六月份的生活费为
的实际问题
255元,比计划节省了15%,节省了
1.简单的“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的问题的
多少钱?
解题方法。
错解:
(1)方程法。
255×15%=38.25(元)
①找出单位“1”,设单位“1”的量为x。
答:节省了38.25元。
②找出题中的等量关系。
正解: 255÷(1-15%)-255
③列出方程并解答。
=300-255
(2)算术法。
=45(元)
①找出单位“1”。
答:节省了45元。
②找出己知量和己知量占单位“1”的百分之几。
求一个数比另一个数多(或少)
③列除法算式解决问题。
百分之几,实质上就是求两个数的
2.稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的问题
差是另一个数(单位“1”)的百分之
的解题方法。
几。
(1)找出题中的等量关系,设单位“1”的量为x,列出方程并解
答。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页(2)找到题中的单位“1”,计算出已知量是单位“1”的几分之几,根
据分数除法的意义列式解答。
易错点:相同的差和不同的标
用算术法的解题关键:找准单位“1”,还要看清所求问题与单位
准量比较,结果不同;两个不同的数
“1”的关系并计算出已知量是单位“1”的几分之几。
和同一个标准量比较,结果也不
三、“求一个数比另一个数多(或少)百分之几”的实际问题
同。
1.求甲数比乙数多百分之几的解题方法。
举例:甲数比乙数多25%,乙数
．(1．．)．(甲．数．-．乙．数．．)÷．乙．数．。． ．(2．．)甲．数．÷．乙．数．-．1．。．
比甲数少( )。(甲、乙两数均不
2.求乙数比甲数少百分之几的解题方法。
为0)
．(1．．)．(甲．数．-．乙．数．．)÷．甲．数．。． ．(2．．)1．-．乙．数．÷．甲．数．。．
错解:25%
四、工程问题
正解:20%
工程问题的解题方法:
1.把工作总量看作单位“1”,用工作总量除以完成工作的时间, 易错点:解答工程问题时,不要
就是工作效率。 认为只要分子是“1”的分数就表示
2.根据数量关系式“工．作．总．量．=．工．作．效．率．×．工．作．时．间．”解决工程 工作效率。
举例:一项工程,甲单独做 小时
问题。
完成,乙单独做 小时完成。如果两
五、利率和纳税
个人合作,几小时可以完成?
1.利息和利率。
错解:
(1)了解储蓄。
1÷ = (时)
①储蓄的意义:把钱存入银行就是储蓄。
答: 小时可以完成。
②储蓄的好处:可以支援国家建设;可以使个人钱财更安全;可
正解: l÷
以增加一些收入。
=1÷(3+4)
(2)理解本金、利息、利率的意义。
= (时)
①本金的意义:存入银行的钱叫作本金。
答: 小时可以完成。
②利息的意义:取款时,银行除归还本金外,还要多付一些钱,多
付的钱叫作利息。
③利率的意义:利息占本金的百分之几叫作利率。一般情况
下,利率根据计量的期限标准不同而不同,表示方法有年利率、月
利率和日利率。
(3)存款的方式。
①活期:可以随时支取,随时存入。 计算利息时,易忘记乘存
②定期。 期。
整存整取:一起存入一定钱数,存期到时支取。
税收取之于民,用之于民,依法
零存整取:每月存入一定钱数,存期到时支取。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第9页③定活两便:存款时不确定存期,一次性存入本金,随时可以一 纳税是每个公民应尽的义务。
次性支取。 税收的种类不同,税率也各不
(4)利息的计算公式。 相同。每种税的税率都是由国家财
利．息．=．本．金．×．利．率．×．存．期． 政部门规定的。
2.纳税。
(1)纳税的意义。
纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个
人收入的一部分缴纳给国家。
(2)税收的用途。
税收是国家收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经
济、科技、教育、文化和国防等事业,不断提高人民的物质和文化
水平,保卫国家安全。
(3)税收的种类。
税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等几
类。
(4)税收的相关概念。
税款:集体或个人收入中的一部分要上缴给国家,上缴的钱叫
作税款。
应纳税额:缴纳的税款叫作应纳税额。
税率:应纳税额与各种收入(销售额、营业额……)的比率叫作
税率。
(5)应纳税额=应纳税所得额×税率。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第10页五 圆
一、圆的认识
1.圆的意义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。
2.圆的画法。(用圆规画圆的方法)
圆是由一条曲线围成的封闭图形,
(1)把带有针尖的脚固定在圆心上。
长方形、三角形、正方形都是由线段围
(2)定好两脚间的距离,即半径。
成的封闭图形。
(3)把装有铅笔的脚旋转一周,就画出一个圆。
(4)用圆规画圆时,应注意以下两点:
①带有针尖的脚不能移动。②两脚间的距离不能改变。
3.圆的各部分名称及特征。
圆心决定圆的位置,半径(或直径)决
(1)认识圆各部分的名称。
定圆的大小。
①认识圆心。
圆心的意义:用圆规画圆时,固定的一点叫作圆心。
圆心的字母表示法:圆心一般用字母O表示。
判断半径的方法:半径是一端在圆
圆心的作用:圆．心．决．定．圆．的．位．置．。．
心,另一端在圆上的线段。
②认识半径。
半径的意义:连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径。
半径的字母表示法:半径一般用字母r表示。
半径的作用:半．径．决．定．圆．的．大．小．。．半径越长,圆越大;半径 直径是圆内最长的线段。
判断圆的直径的方法:①看是否通
越短,圆越小。
过圆心。②看线段的两端是否都在圆
上。
③认识直径。 半径和直径都是线段。直径所在的
直径的意义:通．过．圆．心．并且两．端． 直线是圆的对称轴。
圆的半径和直径都分别相等必须是
都．在．圆．上．的线段叫作直径。
在同圆或等圆中。
直径的字母表示法:直径一般用字母d表示。
(2)在同圆或等圆中半径和直径的关系。
在．同．圆．或．等．圆．中．．,半径的长度是直径的 ,直径的长度是半
径的2倍。用字母表示为d．=．2．r．或．r．====．。
(3)圆的对称性。
圆．是．轴．对．称．图．形．,直径所在的直线都是圆的对称轴,圆．有．
无．数．条．对．称．轴．。
拓展提高
1.等圆:两个半径相等的圆叫作等圆,等圆经过平移可以完
全重合。
2.同心圆:圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。
3.在同圆或等圆中,半径扩大到原来的几倍,直径也扩大到
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第11页原来的几倍;半径缩小到原来的几分之一,直径也缩小到原来
的几分之一。
二、圆的周长
1.圆的周长的认识及计算公式。
(1)圆的周长的意义:围成圆的曲线的长叫作圆的周长。
(2)圆的周长的测量方法。
①绕绳法。
先把一根绳子绕圆一周,剪去多余的部分或在重叠处做好 π是一个固定的数,不随周长和直径
标记,再拉直量出它的长度,就是这个圆的周长。 的改变而改变。
②滚动法。
在圆上找一个点并做好标记。把圆放在直尺上,标记点对
准直尺的0刻度,滚动一周后标记点所对的刻度就是圆的周 易错点:圆周率是一个无限不循环
长。 小数,在实际应用中常常只取它的近似
(3)圆周率。 值。
任何一个圆的周长除以它的直径,得到的商是一个固定的 举例:
数,这个数叫作圆周率。 判断:因为一个圆的周长总是它的
圆周率用希腊字母“π”表示,π是一个无限不循环小数。 直径的3倍多一些,所以π=3.14。
π=3.141592653……在实际应用中,通常取它的近似值,即π≈ ( )
3.14。 错解:√
(4)圆的周长的计算公式。 正解:✕
①根据圆的周长与直径之间的关系推导圆的周长的计算
公式。
=．圆．周．率． 圆．的．周．长．=．圆．周．率．×．直．径．
②圆的周长的计算公式的字母表达式。
在判断时,圆周长是它直径的π倍,
如果用字母C表示圆的周长,r表示圆的半径,d表示圆的
而不是3.14倍。
直径,那么圆的周长的计算公式为圆的周长=圆周率×直径=圆
计算圆周长的关键是确定半径。
周率×半径×2,用字母表示为C．=．π．d．或．C．=．2．π．r．。． 一个圆的半径增加a厘米,周长就
增加2πa厘米。
2.圆的周长的计算公式的应用。
一个圆的直径增加b厘米,周长就
(1)已知直径,求周长,根据C．=．π．d．来．计．算．。．
增加πb厘米。
(2)已知半径,求周长,根据C．=．2．π．r．来．计．算．。．
拓展提高
1.圆的周长与它的半径、直径的关系。
(1)如果圆的半径、直径扩大到原来的若干倍,那么它的
周长也扩大到原来的若干倍。例如,一个圆的半径扩大到原来
的3倍,它的周长也扩大到原来的3倍。
(2)如果圆的半径、直径缩小到原来的几分之一,那么它
的周长也缩小到原来的几分之一。例如,一个圆的半径缩小到
原来的 ,它的周长也缩小到原来的 。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第12页2.两个圆的半径之比等于它们的直径之比,也等于它们的
周长之比。
3.半圆的周长指的是圆的周长的一半加上一条直径的长
或两条半径的长,半．圆．的．周．长．的．计．算．公．式．是．C．半．圆． ===．π．d．+．d．或．C．
半．圆．
=．π．r．+．2．r．。．
4.圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份,其中
一份的长度,圆的周长的一半的计算公式是C =πr
圆的周长的—半
理解半圆的周长时,可以结合半圆
或C === 。
圆的周长的—半
的图形来理解。
三、圆的面积
1.探究圆的面积的计算方法和公式。
把圆的面积转化为平行四边形的面
(1)通过正多边形求圆的面积。
积,体现了转化的数学思想。
在圆内画正多边形,如果把正多形的边数分得越来越多,
不可求的部分变得越来越少,那么正多边形的面积就越来越接
近圆的面积。通过此种方法,可近似地求出圆的面积。
易错点:周长和面积不是同类量,无
(2)借助方格求圆的面积。
法进行比较。
在圆内画小方格,小方格的面积可以求出,余下的边边角
举例:
角的面积不知道怎么求。如果分割得越多,小方格越来越小,
判断:半径是2厘米的圆,它的周长
那么可以求出来的小方格的面积和就越来越接近圆的面积。
和面积相等。( )
通过此种方法,可近似地求出圆的面积。
错解:√
(3)转化成平行四边形,推导圆的面积计算公式。
正解:✕
①转化演示。
把圆分成8、16、32……等份(偶数份),剪开后,用这些近
圆的面积的大小与半径的长短有
似的等腰三角形拼一拼,会拼成一个近似的平行四边形。如下
关,因为S=πr2
图:
8等份:
易错点:在计算圆的面积时,不要把
r2计算成r×2,r2应该是r×r。
16等份: 举例:一颗圆形纽扣的半径是1.5
厘米,它的面积是多少?
错解:3.14×1.52=3.14×3=9.42(平
32等份:
方厘米)
发现:把圆等分的份数越多,每一份就越小,曲边就越接近
答:它的面积是9.42平方厘米。
直边,拼出来的图形就越接近平行四边形。
正解: 3.14×1.52
②探究拼成的近似平行四边形的底和高与圆的周长和半
=3.14×2.25
径之间的关系。
=7.065(平方厘米)
答:它的面积是7.065平方厘米。
易错点:如果圆的直径扩大到原来
③公式推导。 的a(a不为0)倍,那么它的面积就扩大
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第13页圆的面积=平行四边形的面积 到原来的a2倍。
=底×高 举例:大圆直径是小圆直径的4倍,
====×r 大圆面积就是小圆面积的( )倍。
=πr×r 错解:4
=πr2 正解:16
如．果．用．S．表．示．圆．的．面．积．．,那．么．圆．的．面．积．计．算．公．式．是．
圆环的面积实际是两个同心圆的面
S．=．π．r． 2．。．
积差。
2.运用圆的面积计算公式解决实际问题。 易错点:已知内圆直径和环宽,求外
(1)已知圆的半径,可直接运用圆的面积计算公式S=πr2 圆直径,应该用内圆直径加上2个环宽;
求出圆的面积。 已知外圆直径和环宽,求内圆直径,应该
(2)已知圆的周长,则圆的面积S=π×(C÷π÷2)2。 用外圆直径减去2个环宽。
(3)已知圆的直径,则圆的面积S=π×(d÷2)2。 举例:在一个直径为6米的圆形花
拓展提高 坛周围铺一条2米宽的环形小路,这条
1.如果一个圆的半径(直径或周长)扩大到原来的n倍,那 小路的面积是多少平方米?
么圆的面积就扩大到原来的n2倍。例如,若圆的半径扩大到 错解:6+2=8(米)
原来的5倍,则圆的面积就扩大到原来的52倍,即25倍。 3.14×(8÷2)2-
2.如果一个圆的半径(直径或周长)缩小到原来的 ,那么圆
3.14×(6÷2)2=21.98(平方米)
答:这条小路的面积是21.98平方
的面积就缩小到原来的 。例如,若圆的半径缩小到原来的
米。
,则圆的面积就缩小到原来的 ,即 。
正解:6+2×2=10(米)
四、圆环的面积
3.14×(10÷2)2-
1.圆环的意义:两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作
3.14×(6÷2)2=50.24(平方米)
圆环,也叫作环形。
答:这条小路的面积是50.24平方
2.圆环面积的计算方法:用R表示外圆半径,用r表示内圆
米。
半径,用S表示圆环的面积,那么圆环的面积计算公式是
扇形是圆的一部分。
S．=．π．R． 2．-．π．r． 2．或．S．=．π．．(R． 2．-．r． 2．．)。． 判断一个图形是不是扇形,主要看
圆心角的顶点在不在圆心上,如果顶点
3.圆环是轴对称图形,它有无数条对称轴。通过圆心的直
不在圆心上,就不是扇形。
线都是它的对称轴。
五、扇形
1.弧的认识:圆上任意两点之间的部分叫作弧。
2.圆心角的认识:顶点在圆心的角,叫作圆心角。
3.扇形的意义。
由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形,叫作
扇形。
4.扇形的对称性。
扇形是轴对称图形,只有一条对称轴。
左边探究圆的面积的计算方法,(1)和(2)虽然都能近
似地求出圆的面积,但计算难度大,操作性差,且误差大,不能作
为通用的求圆的面积的方法。在剪拼的过程中,图形的形状虽
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第14页然改变了,但面积的大小并没有改变,因此圆的面积等于拼成
的近似平行四边形的面积。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第15页六 扇形统计图
一、扇形统计图的特点及绘制方法
1.扇形统计图的意义:用整个圆表示总数,用圆
内大小不等的扇形表示各部分数量与总数之间的
关系。
2.扇形统计图的特点:可．以．清．楚．地．表．示．出．各．部．
分．数．量．与．总．数．之．间．的．关．系．。．
当扇形统计图中有“其他”部分时,要注意“其他”
部分具有不确定性。
3.扇形统计图的绘制方法。
(1)算出各部分数量占总数的百分比。
(2)算出表示各部分数量所对应的扇形的圆心
角度数。
(3)画一个大小适中的圆,并按照算出的圆心角
的度数在圆里画出各个扇形。
(4)在各个扇形中标明所表示的数量的名称和
所占的百分比,并用不同的颜色或底纹把各个扇形
区分开,也可以用图例注明。
(5)写上统计图的名称和制图日期。
二、统计图的选择
1.要清楚地表示出每个项目的具体数量,一般
每种统计图都有各自不同的特点,在选择时要
选择条形统计图。
充分利用它们的特性,以达到更好的展示效果。
2.要清楚地反映事物的变化规律,一般选择折
线统计图。
3.要清楚地反映各部分数量与总数量之间的
关系,一般选择扇形统计图。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第16页七 数学百花园
一、黄金螺旋线
1.了解黄金螺旋线。
自然界中存在着许多美丽的图案,鹦鹉螺外壳上的优美曲线被
称为黄金螺旋线。黄金螺旋线可以用大小不同的扇形的弧线画出
来。
2.明确黄金螺旋线的画法。
黄金螺旋线在生活中应用广
(1)画一个边长为1厘米的正方形,以正方形的右下顶点为圆心,
泛。在摄影方面,可利用黄金螺旋
以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形 。 线进行拍照;在设计方面,有不少设
(2)在正方形的右边画一个同样大小的正方形,以正方形的左下 计师从黄金螺旋线中获得了灵感,
顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。 创造出了许多优秀的作品。
(3)以组成的长方形的长为边长画—个正方形,以正方形的左上
顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
(4)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的右
上顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
(5)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的右
下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
(6)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的左
下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
3.观察扇形的半径,发现其中的规律,如下表所示。
扇形编
一 二 三 四 五 六 ……
号
半径/厘
1 1 2 3 5 8 ……
米
第一个扇形的半径:1
第二个扇形的半径:1
第三个扇形的半径:2=1+1(第二个扇形的半径+第一个扇形的
半径)
第四个扇形的半径:3=2+1(第三个扇形的半径+第二个扇形的
半径)
第五个扇形的半径:5=3+2(第四个扇形的半径+第三个扇形的
半径)
第六个扇形的半径:8=5+3(第五个扇形的半径+第四个扇形的
半径)
由此得出规律:从第三个扇形起,每个扇形的半径都是它前面两
个相邻扇形的半径之和,所以,第七个扇形的半径=第六个扇形的半
径+第五个扇形的半径=8+5=13(厘米)。
4.验证规律是否正确。
方法一:画出半径是13厘米的扇形,刚好符合黄金螺旋线的画
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第17页法。(画图略)
方法二:观察图形发现,从第三个正方形起,每个正方形的边长都
是它前面两个相邻正方形的边长之和,所以每一个扇形的半径都是
它前面两个相邻扇形的半径之和。
由此得出:规律正确。
5.根据发现的规律,将这串数继续写下去。
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……
这个数列就是著名的“斐波那契数列”。
拓展提高
斐波那契数列,从第8项开始,每相邻两项的比值都接近
0.618, ≈0.618, ≈0.618, ≈0.618, ≈0.618, ≈0.618……
0.618为黄金分割数。
二、铁链的长度
1.明确解题思路。
一个铁环,内直径是8厘米,外直径是10厘米。把10个这样的
铁环连成一条铁链,求拉直后有多长,就是用10个铁环的长度减去
铁环连接处重复计算部分的长度。
2.计算铁环连接处的长度。
铁环的内直径为8厘米,外直径为10厘米,因此每个铁环的壁
厚=(外直径-内直径)÷2=(10-8)÷2=1(厘米),所以两个铁环连接处的
长度是2厘米,也就是重合部分的长度为2厘米。
3.探究铁链长度的求法。
(1)用第一个铁环的长度依次加上增加的长度。
①发现:第一个铁环的长度是10厘米,增加一个铁环后,因为有
2厘米的连接处是重合部分,需要减去2厘米,所以增加的长度是8
厘米。增加几个铁环,长度就增加几个8厘米,由此可以推出,n个铁
环连在一起拉直后的长度的计算公式为10+(n-1)×8。
通过用不同的方法探索铁链
②当n=10时,10+(10-1)×8=82(厘米),所以10个铁环连在一起
拉直后的长度,认识解决问题的多
拉直后的长度为82厘米。
样性。
(2)用铁环的总长度减去连接处的长度。
①发现:第一个铁环的长度是10厘米,每增加一个铁环,就增加
一个2厘米的连接处,增加几个铁环,就增加几个2厘米的连接处,用
铁环的总长度减去连接处的长度,就是几个铁环连在一起拉直后的
长度,所以,n个铁环连在一起拉直后的长度的计算公式为10n-(n-
1)×2。
②当n=10时,10×10-(10-1)×2=82(厘米),所以10个铁环连在一起
拉直后的长度为82厘米。
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