逐题拆解!长郡高一第一次月考数学卷深度解析

📌 核心结论 · 30 秒看懂这份卷

① 结构：单选 8×5=40 ＋ 多选 3×6=18 ＋ 填空 3×5=15 ＋ 解答 5 题 77 分，标准新高考 19 题卷；

② 板块主调：不等式约 82 分（性质解法 46＋基本不等式 36）是绝对主干，集合约 29 分、逻辑约 22 分、新定义压轴 17 分——函数 0 分，就是检验"集合＋不等式"这一章学没学透；

③ 五大卡点：题 8 端点取舍、题 14 max 型最值（答案 3）、题 16 待定系数、题 17(2) 空集陷阱（m≤−3 或 m≥1）、题 19 分拆压轴（4·3⁶⁷⁴）；

④ 官方参考答案已公布，本篇结论已与官方逐题核对一致（题 1、题 15(2) 初版笔误已按官方更正）；

⑤ 基础盘约 95 分（题 1–6、12、13、15 等），把空集讨论、端点取舍、待定系数三个动作练成肌肉记忆，比刷十套卷管用。

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1、26年10月长郡长双高一数学试题.pdf

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一、考什么？板块占比一览

二、答案速查

注：答案已与官方参考答案逐题核对；如学校后续发布评分细则，以学校为准。

三、卡在哪？五大拉分点逐题拆

题 8 ｜ 含参不等式"恰有一个整数解"（★★★★）

化为 (x−1)[(a−1)x−1]＜0，a＞1 时解集 (1, 1/(a−1))，恰含一个整数只能是 x=2，于是 2＜1/(a−1)≤3，得 4/3≤a＜3/2（选 A）。最易错的是右端：1/(a−1)=3 时 3 恰好不在开区间里，所以 a=4/3 能取、a=3/2 不能取——两端取舍想清楚，这题就赢了。

题 14 ｜ max 型最值（★★★★）

三式直接求和下界 4√2+3≈8.66，平均 2.89 取不到等。正确姿势：按 ½:¼:¼ 加权——½S₁+¼S₂+¼S₃ 恰好拆成三个均值不等式，下界 3；a=1、b=2、c=1 时三式同时等于 3，所以 S 的最小值就是 3。

题 16 ｜ 范围放缩别"各自取一半"（★★★）

2a=(a+b)+(a−b)∈[−4,3] 得 a∈[−2,3]；2b=(a+b)−(a−b)∈[−7,3] 得 b∈[−7/2,3/2]。第（2）问必须待定系数：3a−2b=½(a+b)+(5/2)(a−b)∈[−4,11]。若拿 a、b 范围直接组合会得到 −13＜3a−2b＜11，范围被人为放大，是非等价放缩，考试必扣分。

题 17 ｜ 空集陷阱，本卷第一大坑（★★★）

p 为假 ⟺ ax²+2x−1=0 无实根 ⟹ a＜−1。第（2）问 B={x|3m＜x＜m+2}，B⊆A 除了 m+2≤−1（m≤−3），别忘了 B=∅（m≥1）也满足。漏掉空集这一支，5～6 分直接没了。

题 18 ｜ 海报设计建模（★★★★）

设栏高 y：两个直角三角形 xy/2×2 ＋ 等腰梯形（上底 2x、下底 4x）3xy ＝ 4xy=20000，即 xy=5000。（1）x=50 时海报 240×120，周长 720cm；（2）面积 (4x+40)(y+20)=20800+80x+200000/x≥28800，x=50 取等——海报 240×120cm、最小 28800cm²。彩蛋：第（1）问的 x=50 正是最优尺寸，两问数据互相呼应。

题 19 ｜ 正整数分拆压轴（★★★★★）

(1) Ω₄ 中 T＞2 的元素：(1,3)、(2,2)。(2)(i) 整数离散性：aᵢ₊₁≥aᵢ+1，移项即得 aᵢaᵢ₊₁≤(aᵢ+1)(aᵢ₊₁−1)。(ii) M₁₂=3⁴=81、M₁₃=108。(3) 2026=3×675+1，把"3+1"合成 4，得 M₂₀₂₆=4·3⁶⁷⁴，相应元素有两组：(3,…,3,4)（674 个 3 和 1 个 4）与 (2,2,3,…,3)（2 个 2 和 674 个 3）——两组和同为 2026、积同为最大值，只写一组拿不到满分。策略一句话：多拆 3、不留 1、见 1 并 3 变 4。

四、怎么补？分层建议＋考场时间表

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