夜雨聆风
OpenAI Research · 2026 年 5 月 20 日 · 研究里程碑
近 80 年来，数学家们一直在研究一个看似简单的问题：如果在平面上放置 n 个点，最多能有多少对点之间的距离恰好等于 1？
这就是平面单位距离问题（planar unit distance problem），由保罗·埃尔多什（Paul Erdős）于 1946 年首次提出。它是组合几何（combinatorial geometry）中最著名的问题之一——表述简单，却异常难以解决。2005 年 Brass、Moser 和 Pach 合著的《离散几何中的研究问题》一书称它"可能是组合几何中最广为人知（也最易于解释）的问题"。普林斯顿大学顶尖组合学家诺加·阿隆（Noga Alon）形容这是"埃尔多什最喜爱的问题之一"。埃尔多什甚至为解决这一问题悬赏过奖金。
今天，我们要分享在单位距离问题上的一项突破。
自埃尔多什的原始工作以来，学界长期以来都相信：下文展示的"正方形网格"构造在最大化单位距离对的数量这件事上，本质上已经是最优的。OpenAI 的一个内部模型推翻了这一长期猜想，给出了一个无穷的构造族，实现了多项式级（polynomial）的提升。该证明已由一组外部数学家审核通过。他们还撰写了一篇配套论文，对论证过程加以阐释，并为该结果的重要意义提供了进一步的背景与脉络。
这一结果之所以引人注目，还在于它是如何被发现的。证明来自一个全新的通用推理模型（general-purpose reasoning model）——不是为数学专门训练的系统，也没有被脚手架式地引导去搜索证明策略，更没有针对单位距离问题做过特别优化。作为评估前沿模型能否对前沿研究做出贡献的更大努力的一部分，我们在一组埃尔多什问题上对该模型进行了测试。在这个问题上，它给出了一份解决了这一开放问题的证明。
这份证明对数学界和 AI 界都是一座重要的里程碑。这是首次有一个位于某个数学子领域核心位置的著名开放问题，被 AI 自主解决。 它同时展示了这些系统当前所能支撑的推理深度。数学为推理提供了一个特别清晰的试验场：问题精确、潜在证明可被验证，并且一个长论证只有在从头到尾的推理都站得住脚时才有效。
证明所使用的方法本身同样值得注意。它把代数数论（algebraic number theory）中那些出人意料的、精巧的思想，引入到了一个本质上初等的几何问题中。菲尔兹奖得主蒂姆·高尔斯（Tim Gowers）在配套论文中称这一结果是"AI 数学的一座里程碑"。顶尖数论学家 Arul Shankar 则表示："在我看来，这篇论文表明，当前的 AI 模型已经超越了仅仅是人类数学家的助手——它们具备了产生原创且精巧的想法、并将其最终付诸实现的能力。"
数学家们的评价
这是埃尔多什最喜爱的问题之一，我亲耳听他在多次讲座中提到它。我认为可以公平地说，每一位从事组合几何研究的数学家都思考过这个问题，许多在其他领域工作的数学家也至少花过一些时间想过它……OpenAI 内部模型给出的解答，在我看来是一项杰出的成就，了结了一个长期悬而未决的开放问题。最终答案不是 n^(1+o(1)) 令人惊讶，而构造本身及其分析以一种优雅而精巧的方式调用了代数数论中相当复杂的工具。— 诺加·阿隆（Noga Alon）
毫无疑问，对单位距离问题的求解是 AI 数学的一座里程碑：如果是一位人类作者写出这篇论文并投稿到《数学年刊》（Annals of Mathematics），而我被请求给出快速意见，我会毫不犹豫地建议接收。此前没有任何 AI 生成的证明能接近这一水准。— 蒂姆·高尔斯（Tim Gowers），菲尔兹奖得主
该模型的思维链（CoT）非常值得玩味。引人注目的是，绝大多数想法都在尝试为那个被广泛相信的上界构造反例，而不是去证明它。这表明该模型兼具良好的直觉、愿意尝试社群眼中长期不被看好的路径的意愿，以及一种倾向于尝试"构造"的偏好……在我看来，这篇论文表明，当前的 AI 模型已经超越了仅仅是人类数学家的助手——它们具备了产生原创且精巧的想法、并将其最终付诸实现的能力。— Arul Shankar
这是一项非常出色的工作，我会毫不犹豫地为任何期刊接收它。我曾经短暂地研究过这个问题，尝试构造反例，但没能取得进展……即使你已经知道大概在做什么，要彻底读懂这个构造也相当令人望而生畏，自己动手去玩一遍就更困难了。— Jacob Tsimerman
📷 原文配图：先前已知的、来自重新缩放正方形网格的多个单位距离构造
单位距离问题
设 u(n) 表示平面上 n 个点之间单位距离对数的最大可能值。
达到线性增长率的例子很容易构造：将 n 个点放在一条直线上可以得到 n−1 对；放成一个正方形网格则大约能得到 2n 对。先前已知的最佳构造来自一个重新缩放过的正方形网格，事实上给出的更多：n^(1 + C/log log(n))，其中 C 是一个常数。由于 log log(n) 随 n 趋于无穷，指数中的附加项趋于 0，意味着这些构造的增长率只比线性稍快一点。
几十年来，人们普遍认为这一增长率本质上已经是最优的，没有任何构造能够显著超越正方形网格。用技术性的语言说，埃尔多什猜想存在一个 n^(1+o(1)) 的上界，其中 o(1) 表示一个随 n 趋于 0 的附加项。
我们的新结果推翻了这一猜想。
更准确地说，对于无穷多个 n，该证明构造出了具有至少 n^(1+δ) 个单位距离对的 n 点配置，其中 δ > 0 是一个固定的指数。（最初的 AI 证明没有给出 δ 的显式数值；但普林斯顿大学数学教授 Will Sawin 即将发表的一个精炼版本表明，可以取到 δ = 0.014。）
这一问题的历史能帮助我们理解为什么这一结果如此令人意外。最佳已知下界自埃尔多什 1946 年的原始构造以来本质上未曾改变。最佳上界 O(n^(4/3)) 来自 Spencer、Szemerédi 与 Trotter 1984 年的工作；尽管 Székely、Katz 与 Silier、Pach、Raz、Solymosi 等人后续做了精炼和相关的结构性工作，上界本质上一直没有改变。作为支持该猜想的旁证，Matoušek 与 Alon-Bucić-Sauermann 研究了平面上非欧距离的版本，并证明了"大多数"这类非欧距离在某种意义上服从该猜想。
令人惊讶的是，构造的关键成分来自一个非常不同的数学分支——代数数论，它研究的是整数的扩张（被称为代数数域，algebraic number fields）中的因子分解等概念。
在验证了初始证明后，我们研究了模型在不同测试时算力（test-time compute）下的成功率。
📷 原文配图：模型在该问题上的成功率随测试时算力变化
来自代数数论的新技术
从高层次看，证明从一个我们熟悉的几何想法出发，并将其推向了一个意想不到的方向。
埃尔多什最初的下界可以通过高斯整数（Gaussian integers）来理解：形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 是整数，i 是 −1 的平方根。高斯整数扩展了普通整数，并与它们一样，享有诸如"唯一素因子分解"等性质。这类对普通整数或有理数的扩张被称为代数数域。
新的论证用代数数论中更复杂的推广替换了高斯整数：这些更丰富的对称性能制造出更多的单位长度差值。精确的论证使用了无限类域塔（infinite class field towers）与 Golod–Shafarevich 理论等工具，证明该论证所需的数域确实存在。这些思想对代数数论学家来说并不陌生，但它们竟然对欧几里得平面上的几何问题有所启示，这一点令人惊讶不已。
这对数学意味着什么
这一结果标志着 AI 与数学互动史上的一个重要时刻：一个 AI 系统自主解决了一个位于活跃数学领域中心的、长期悬而未决的开放问题。 它也提供了一种新型的 AI 与人类数学家协作模式的早期一瞥。在本案中，外部数学家撰写的配套工作描绘出了一幅比原始解答本身丰富得多的图景。
正如 Thomas Bloom 在配套笔记中所写：
在评估一份 AI 生成的证明的重要性与影响力时，我会问自己一个问题：它有没有让我们对这个问题学到一些新的东西？我们对离散几何的理解，现在是否更深了？我觉得答案是有所保留的"是"：这表明，数论构造对这一类问题能说的东西，比我们以前怀疑的要多得多；而且所需的数论可以非常深刻。毫无疑问，未来几个月里许多代数数论学家将会仔细审视离散几何中其他的开放问题。— Thomas Bloom
这一结果所揭示的代数数论与离散几何之间出人意料的联系，正是它引人注目的部分原因。它不仅仅了结了一个具体的猜想，更可能为数学家们架起一座桥梁，去开始探索更多相关的问题。
Bloom 还指向了一种更广泛的可能性：
知识的前沿是高度参差不齐的（spiky），毫无疑问，未来几个月乃至数年里，我们将在数学的许多其他领域看到类似的成果——长期悬而未决的开放问题被 AI 通过揭示出人意料的联系、并将现有技术机器推向极限的方式所解决。AI 正在帮助我们更充分地探索我们几个世纪以来建造的"数学大教堂"；还有多少未曾被看见的奇迹正在幕后等待登场？— Thomas Bloom
AI 贡献的不只是一份解答，更是一项数学发现，其意义会随后续的人类理解而变得愈发清晰和丰富。
为什么这件事重要
更大的启示超出了这一具体结果本身。
更好的数学推理能力可以让 AI 成为更强的研究伙伴：一个能够把困难的思路链条整体保持成立、连接相距甚远的知识领域的想法、浮现专家可能未曾优先考虑的有希望路径，以及在那些原本因过于复杂或耗时而难以攻克的问题上帮助研究者取得进展的伙伴。
这些能力的意义远超出数学本身。如果一个模型能让一个复杂论证保持自洽、跨越遥远领域连接想法，并产出经得起专家审视的工作，那么这些能力在生物学、物理学、材料科学、工程学和医学中同样有用——它们也是我们走向更自动化研究的更长期路径的一部分：能帮助科学家和工程师探索更多想法、追问更难的技术问题的系统。
AI 即将开始在研究的创造性环节中扮演非常严肃的角色，最重要的是在 AI 研究自身之中。
尽管这一进展并非意料之外，它强化了我们对理解 AI 发展的下一阶段、对齐高度智能系统所面临的挑战、以及人类与 AI 协作的未来所感受到的紧迫感。
那个未来仍然依赖于人类的判断。专业能力变得更有价值，而不是更没价值。AI 可以帮助搜索、建议与验证。人则选择那些重要的问题，诠释结果，并决定接下来要追问什么。
原文：OpenAI Research · An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry
发布于 2026 年 5 月 20 日
原文链接、证明全文、配套论文与模型思维链摘要均可在 openai.com 官方博客中找到。
中文编译：Apex Learn
