Sobolev空间的记号说明

设  是非负整数，记

并规定其范数为

称  为  次连续可微的函数空间。

又设 ，记

并让其范数定义为

则称  为  次Hölder连续函数空间。要详细解释图片中定义的函数空间  和 ，需从多重指标与偏导数、空间定义、范数意义、Hölder连续性四个核心环节展开，步骤如下：

步骤1：理解多重指标与偏导数符号

在多元函数分析中，多重指标  是由非负整数组成的向量，其中 （）。定义：

• 多重指标的阶数：（表示偏导数的总阶数）。
• 阶偏导数：（即对  关于每个变量  求  次偏导）。

步骤2：定义 ：次连续可微函数空间

（1）空间定义设  是非负整数， 是  中的闭区域（紧集）。定义：

解释：

• 集合中的函数  是从闭区域  到实数集  的映射。
• 要求  的所有直到阶的偏导数（即  的所有 ）在  上连续。 例如，当  时， 是  上的连续函数空间；当  时， 是一阶偏导数连续的函数空间（即“连续可微”）。

（2）范数定义规定  的范数为：

解释：

•  是  在  上的上确界（因  是紧集，连续函数在紧集上达到最大值，故上确界即最大值）。
• 范数是各阶偏导数的最大绝对值之和，衡量函数  及其直到阶偏导数的“大小”。 例如，若  的0阶偏导数（即  本身）和1阶偏导数的最大值分别为 ，则 。

步骤3：定义 ：次Hölder连续函数空间

（1）Hölder连续性的背景Hölder连续性是比“连续”更精细的光滑性概念，用于刻画函数变化的“缓急程度”。设 （ 称为Hölder指数）：

• 若函数  满足 （ 为常数，），则称  在  上Hölder连续（指数）。
• 当  时，Hölder连续退化为Lipschitz连续（即 ）；当  时，Hölder连续允许函数变化率在局部更大，但整体满足  的衰减（如  时，）。

（2）空间定义设 ，定义：

解释：

• 首先要求 （即  有直到阶的连续偏导数）。
• 进一步要求：对于所有阶偏导数（即  的 ），其在  上是Hölder连续（指数）的。
• 数学上， 是  的Hölder连续性的“强度”，要求该上确界有限（即存在常数  使得上述不等式成立）。

（3）范数定义规定  的范数为：

解释：

• 第一项  是  及其直到阶偏导数的“大小”（来自  空间的范数）。
• 第二项是Hölder半范数，衡量阶偏导数的Hölder连续性：对于每个  的偏导数，计算  的上确界，再对所有  取上确界（或求和，此处是取上确界）。
• 范数的意义：全面刻画函数的光滑性——既要求直到阶的连续偏导数，又要求阶偏导数的Hölder连续性。

步骤4：总结两个空间的关系

•  是  的子空间：因为  要求阶偏导数有Hölder连续性，而  仅要求连续。
• 光滑性层次： 比  更“光滑”（在Hölder意义下），例如  是Lipschitz连续的  函数空间，比一般的  函数更光滑。

关键概念回顾

• 多重指标：用于表示多元函数的偏导数阶数， 是总阶数。
•  空间：次连续可微函数，范数衡量各阶偏导数的最大值之和。
• Hölder连续：函数变化的“缓急”程度，指数  越大，光滑性越高（ 时为Lipschitz连续）。
•  空间：次连续可微且阶偏导数Hölder连续的函数，范数结合了  范数和Hölder半范数。

通过以上步骤，可清晰理解  和  的定义、范数意义及Hölder连续性的作用，这些空间在偏微分方程、函数逼近等领域中用于刻画函数的光滑性。