夜雨聆风
前天在群里看到了这样一个新领军模拟题. 当时正在吃饭，刚看完就知道要用选择公理，也没有列什么草稿迅速做完. 思路非常直接过程也不复杂，属于是题目中最简单的一类. 奈何有公众号说这题和出题的人逆天，我对此表达反对意见（而且它也没把本题最困难的地方写明白）.
固然强求高中生思考抽象的集合论道理有值得商榷之处，此题也不适合出现在面向中学生的考试里. 然而选择公理作为人们数学认识的朴素常识或者愿望，是非常自然的一件事，尤其是已经接受过现代数学训练的大学生. 这里还要强调一点，选择公理的哲学是，在不显式描述函数的情况下保证它的存在性. 毕竟题目实际上也没要求构造这样一个函数. 辨析存在性和可描述性的分别，是从高中生认知迈向现代数学的重要一步，可见这道题对于高中生的重大启发意义.
接下来我们讲解，为什么这题是几乎显然的（当然笔者承认此类问题的上限可以非常难，但就本题的条件而言，是相当简单的）.
设 是任意非代数数．证明：存在周期为 的函数 与可数集 ，使得对于所有 ，都有
Heuristic Proof
因为题目没有给出任何 的整体信息，所以这里最好是“目无全牛”，把 拆成若干个轨道，把 视为这些轨道内需要满足约束条件的解.
具体来说，这里有两组约束：一组是 以 为周期；另一组是
假如我们已经确定了 在某个点 处的值，那么由周期性立刻知道 处的值也就确定了；由上式改写，又知道 与 处的值也随之确定. 这些表达式还可以继续组合、递归，所以总之会得到一个“运算边界”. 用数学语言来说，就是这些关系会生成一个等价关系，而我们真正需要处理的是这些关系对应的等价类.
不过，这样粗暴地商去等价关系还是损失了太多信息，因为我们最好还要记录，对象究竟是通过什么路径连接起来的. 这件事在叠（stack）或者高阶范畴理论里也是很常见的想法. 所以这里我们考虑一张图，其顶点由 编号，两个点 之间连一条边，当且仅当满足下列条件之一：
如果不放心，也可以把边按照这两种来源染色，或者再赋予定向，不过这里都用不到. 总之，思考这类问题的时候，脑海里最好始终有这样一张图.
此时前面说的等价类，自然就是这张图的连通分支. 我们使用选择公理的目的，就是在每个连通分支里选一个代表元 ，并指定它的函数值，例如取 . 然后这个分支里的其他点都可以通过路径和 连接，于是我们就沿着路径把函数值传播出去. 具体地说，若已知 ，那么相邻点的赋值规则就是
以及
因此，只要给定了一个基点的值，沿着边就总可以把其他点的值定义出来.
然后需要考虑的就是，这样定义出来的东西是否良定义. 假如一个连通分支是一棵树，也就是根本没有环路，那么任意两点之间当然只有唯一一条路径，所以定义自然没有歧义. 一旦出现了环路，危机就来了，因为同一个点可能沿着不同路径得到不同的函数值. 这里有两种思考方式：一种是通过巧妙赋值修复这种危机，另一种是直接考察什么时候会发生这种危机. 前一种说法过于复杂无法言述；而且从题目里“除去一个可数集”的提示来看，显然应该直接走后一种路子.
从一个点 出发，沿着图中的边不断移动，最后到达某个点 ，那么 总可以写成
的形式，其中 ，而 是一个 Laurent 多项式.这其实就是标准答案中定义出的等价关系，你也可以直接验证它确实满足等价关系的三条性质，以及满足上述关系的 必在同一分支.
这里我们再切换一次视角. 这一步算是本文最难的地方，不过实际上仍然很好克服. 上述四类基本变换构成了一个 秩自由群其中 的作用是“加 ”， 的作用是“乘以 ”. 根据定义，它作用在 上. 而要说明每个连通分支是一棵树，需要且只需要说明这个作用在一个余可数的集合 上是自由的. 后面会看到，取 就可以了.
现在设 是一个非平凡元素. 例如可以写成约化词
这里只写出这一种交替形式，其他情况完全同理，其中各个 都非零. 假设存在某个点 被 固定，也就是
把作用实际展开以后，可以把 逐步写成下面的样子：
继续这样展开下去，最终得到
也就是说，
其中
以及
因此固定点条件就变成
这时注意到，因为 超越，若 ，那么上式只有在
时才可能成立. 但这又迫使上面那个约化词对应的作用平凡，从而与 非平凡矛盾.
因此，在 上，这个 作用是自由的. 于是每个连通分支都没有环路，也就是说，每个连通分支都是树（除去一个可数集）. 这样一来，一旦在每个分支上选定一个代表元，并指定它的 值，那么该分支上其余所有点的函数值就都被唯一确定了.
所以我们根本不需要，实际上也不可能，显式地把这个 完整写出来；但它的存在性已经被保证了，这就是一种选择公理式的哲学.
Further Remarks？
上面的做法依赖于“由若干局部变换生成的群作用”这个视角. 从这个角度看，相关的自然拓展之一确实就是 Baumslag–Solitar 群.
在本文这个问题里，我们用了两个基本操作：一个是平移 另一个是伸缩 直接计算可得 所以这里并不会出现像 这样的整数幂关系，因为右边的 作用是 ，而左边却是 . 除非 本身恰好是整数，否则它不属于通常的 Baumslag–Solitar 群图景.
不过，Baumslag–Solitar 群的思想确实和这里非常接近. 例如
就可以作用在某些数轴或树状对象上，其中 仍然像“平移”， 则把这个平移共轭成 倍. 如果把本文中的 特化成整数 ，那么就会看到
这时就真的落进了 的框架里.
所以，如果想把本文再往外推一步，可以这样理解：本文处理的是一个由平移与伸缩生成的仿射作用，当 取整数时（或者至少有理数），它和 Baumslag–Solitar 群的标准表示直接接轨；而当 是超越数时，这个作用反而更“自由”，也正因为如此，我们才能在去掉 以后得到若干 -挠子的结构.
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