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上一节的概念播客我们学了无穷小的定义、无穷小与极限的关系、还有无穷大。今天来做习题1-4的前三道题——都是关于用定义证明无穷小和无穷大的经典题目。
这三道题非常重要。第1题是概念辨析——两个无穷小的商是否一定是无穷小？第2题和第3题是用厄普西龙-德尔塔定义和埃姆-德尔塔定义来证明无穷小和无穷大——这是必须掌握的基本功。我们一道一道来。
第1题
第1题——两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。
答案是：不一定。教材给了一个非常简洁的例子：阿尔法埃克斯等于2倍埃克斯，贝塔埃克斯等于3倍埃克斯，它们都是埃克斯趋于0时的无穷小。但它们的商——阿尔法埃克斯除以贝塔埃克斯，等于2倍埃克斯除以3倍埃克斯，也就是3分之2——是一个常数，不是无穷小。
为什么两个趋于零的量的比值不一定趋于零？
关键在于趋于零的速度。阿尔法等于2倍埃克斯和贝塔等于3倍埃克斯，当埃克斯趋于0时，两者都快慢差不多，比值趋于一个常数。如果分子趋于零的速度比分母快，比如埃克斯的平方除以埃克斯，比值趋于零——就是无穷小。如果分母趋于零的速度更快，比如埃克斯除以埃克斯的平方，比值趋于无穷大——就是无穷大。所以两个无穷小的比值取决于它们趋于零的相对速度，这正是后面要学的"无穷小的比较"。
解题要点：两个无穷小的商不一定还是无穷小，取决于二者趋于零的速度快慢。比值可能为常数、无穷小或无穷大。
第2题
第2题——根据定义证明两问。第一问，y等于埃克斯的平方减9除以埃克斯加3，是埃克斯趋于3时的无穷小。
先用平方差公式化简——埃克斯的平方减9等于埃克斯加3乘以埃克斯减3，除以埃克斯加3，结果就是埃克斯减3。所以y等于埃克斯减3。要证明它是无穷小，就是要证明埃克斯减3的极限是0——这不就是当埃克斯趋于3时埃克斯减3趋于0吗？用厄普西龙-德尔塔定义：对任意给定的厄普西龙大于0，取德尔塔等于厄普西龙，则当埃克斯减3的绝对值小于德尔塔时，y的绝对值就等于埃克斯减3的绝对值，小于厄普西龙。证毕。
关键就是先化简，把分式变成埃克斯减3，后面的证明就水到渠成了。
对！第二问——y等于埃克斯乘以赛因埃克斯分之一，是埃克斯趋于0时的无穷小。这里要用到一个重要的不等式：赛因任何数的绝对值不超过1，所以埃克斯乘以赛因埃克斯分之一的绝对值，不超过埃克斯的绝对值。对任意厄普西龙大于0，取德尔塔等于厄普西龙，则当埃克斯的绝对值小于德尔塔时，y的绝对值不超过埃克斯的绝对值，小于厄普西龙。证毕。
这个证明用到了"有界函数乘以无穷小仍然是无穷小"的结论。
没错！赛因埃克斯分之一虽然震荡剧烈，但它是有界的——绝对值不超过1。所以把它乘以无穷小埃克斯，结果还是无穷小。这个结论在后面解题中会经常用到。
解题要点：用定义证明无穷小——①先化简表达式②对任意厄普西龙大于0③找到合适的德尔塔④验证当0<|x-x₀|<δ时|f(x)|<ε。关键技巧：利用不等式放缩。
第3题
第3题——证明y等于1加2埃克斯除以埃克斯是埃克斯趋于0时的无穷大。还要求埃克斯满足什么条件能使y的绝对值大于10的4次方。
这道题要用无穷大的埃姆-德尔塔定义来证。目标是：对任意给定的正数埃姆，要找到德尔塔，使得当埃克斯的绝对值小于德尔塔时，y的绝对值大于埃姆。
怎么找这个德尔塔？
先变形——y的绝对值等于1加2埃克斯除以埃克斯的绝对值。把这个写成1除以埃克斯加2的绝对值。根据绝对值不等式，它大于等于1除以埃克斯的绝对值减2。所以我们只需要让1除以埃克斯的绝对值减2大于埃姆——也就是1除以埃克斯的绝对值大于埃姆加2——即埃克斯的绝对值小于埃姆加2分之1。
所以令德尔塔等于埃姆加2分之1？
对！对任意埃姆大于0，取德尔塔等于埃姆加2分之1，则当埃克斯的绝对值小于德尔塔时，y的绝对值就大于埃姆。这就证明了y是无穷大。
第二问要求y的绝对值大于10的4次方。
令埃姆等于10的4次方，则取德尔塔等于10的4次方加2分之1。所以当埃克斯的绝对值小于这个数时，就能保证y的绝对值大于10的4次方。教材在注解中特别提到：本题证明时先对表达式做等价变形，然后适当缩小，使缩小后的量大于埃姆——这种方法是证明无穷大的常用技巧。
解题要点：用定义证明无穷大——①变形放大|f(x)|②找到下界表达式③令下界>M解出|x|<δ的条件④取δ完成证明。关键是适当放缩的技巧。
总结
好，三道题讲完了。这3道题是对无穷小与无穷大定义的直接应用，我总结一下核心方法：
第一，第1题给我们的启示——两个无穷小的商不一定还是无穷小。这个结论打破了直觉，也引出了一个重要问题：无穷小之间的"快慢比较"，这就是后面"无穷小的比较"这一节要深入研究的。
第二，第2题展示的方法——用厄普西龙-德尔塔定义证明无穷小，核心是不等式放缩。第一问先用代数化简再找德尔塔；第二问用有界函数乘无穷小仍为无穷小的结论。这两种技巧在后面会反复用到。
第三，第3题展示的方法——用埃姆-德尔塔定义证明无穷大，核心也是放缩。通过等价变形找到下界，再解不等式求出德尔塔。注意这里德尔塔的表达式中带有埃姆，和埃普西龙-德尔塔定义中的德尔塔依赖埃普西龙是一样的道理。
无穷小和无穷大虽然是一对"反义词"，但它们的定义方式是对称的——一个用埃普西龙-德尔塔，一个用埃姆-德尔塔。掌握了第2题和第3题的证明方法，就掌握了用定义证明无穷小和无穷大的核心技能。后面遇到类似的证明题，思路都是一样的。
